3.10. Возведение в степень

Рассмотрим разложение на простые множители числа $32$:

$32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$.

Как видно, в этом разложении пять двоек. Это можно записать короче, а именно:

$32 = 2^5$.

Выражение $2^5$ читается «два в степени пять» или «два в пятой степени». Вообще, любое рациональное число $a$ можно возвести в любую натуральную степень $n$. Запись ${a^n}$ имеет тот же смысл, что и произведение $n$ сомножителей, каждый из которых равен $a$:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n~\text{сомножителей}}$.

При этом число $a$ называется основанием степени, а число $n$ — показателем степени. Рассмотрим в качестве примера такие равенства:

$a^4 = a \cdot a \cdot a \cdot a$,

$a^3 = a \cdot a \cdot a$,

$a^2 = a \cdot a$.

Здесь каждая последующая строка получается из предыдущей делением правой части на $a$ и уменьшение показателя степени в левой части на единицу. Ничто не мешает нам продолжить выписывать равенства дальше, придерживаясь той же закономерности:

$a^1 = a$,

$a^0 = 1$,

$a^{-1} = \dfrac{\,1\,}{a}$,

$a^{-2} = \dfrac{1}{a \cdot a}$

и так далее.

Таким образом, мы определили операцию возведения в степень $a^n$ не только для натурального, но и для любого целого показателя $n$ (надо только оговориться, что основание $a$ не должно быть равно нулю).

Следует отметить, что в сложных выражениях возведение в степень имеет приоритет над умножением и делением (и, тем более, над сложением и вычитанием):

$a \cdot b^n = a \cdot (b^n)$,

$a / b^n = a / (b^n)$.

Новая операция обладает следующими очевидными свойствами:

\[ \boxed{\quad \begin{array}{rl} (1) &a^{−n} = \dfrac{1}{a^n},\\ (2) &a^n \cdot a^m = a^{n+m},\\ (3) &(a^n)^m = a^{n \cdot m},\\ (4) &(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n. \phantom{\underbrace{1}} \end{array} } \]

Здесь $a$ и $b$ — рациональные числа, не равные нулю, а $n$ и $m$ — произвольные целые числа. Проиллюстрируем эти свойства на примере, в котором ${n = -3}$, а ${m = 2}$.

$(1)\quad a^{-n} = \dfrac{a^3}{1} = \dfrac{a^3/a^3}{1/a^3} = \dfrac{1}{1/a^3} = \dfrac{1}{a^n}$.

$(2)\quad a^n \cdot a^m = a^{-3} \cdot a^{2} = \dfrac{1}{a \cdot a \cdot a} \cdot a \cdot a = \dfrac{\,1\,}{a} = a^{-1} = a^{n + m}$.

$(3)\quad (a^n)^m = (a^{-3})^2 = \dfrac{1}{a \cdot a \cdot} \cdot \dfrac{1}{a \cdot a \cdot} = \dfrac{1}{a^6} = a^{-6} = a^{n \cdot m}$.

$(4)\quad (a \cdot b)^n = (a \cdot b)^{-3} = \dfrac{1}{a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot a \cdot b} = \dfrac{1}{a^3} \cdot \dfrac{1}{b^3} = a^n \cdot b^n$.

Примечательно, что число, обратное к числу $a$, можно представить в виде $a^{-1}$. Это дает дополнительную возможность записывать дроби в одну строчку:

$\dfrac{\,a\,}{b} = a \cdot b^{-1} = ab^{-1} = b^{-1}a$.

Иногда возведение в степень записывают, используя в качестве бинарного оператора символ «^», называемый «крышечкой», или «домиком», или, совсем по-научному,  «циркумфлексом»:

$a^n = a$^$n$.

Следует иметь в виду, что этот оператор не обладает ни свойствой коммутативности (перестановочности), ни свойством ассоциативности (сочетательности), так что в общем случае

$(k$^$m) \ne (m$^$k)$;

$(k$^$m)$^$n \ne k$^$(m$^$n)$.

Возведение в степень — это, вообще говоря, трудоемкая операция, для которой не существует специальной процедуры, облегчающий расчеты на бумаге — никаких вычислений «столбиком» или «уголком». Если нам вдруг понадобится возвести семерку в пятую степень, то нам придется просто «в лоб» выполнять все операции умножения. К счастью, на практике с подобной задачей приходится сталкиваться очень редко. В ближайшее время мы будем возводить в степень одно-единственное число, для которого эта процедура принимает исключительно простой вид. Речь идет о числе $10$. Действительно, для того чтобы возвести $10$ в степень $5$, надо просто к единице приписать пять нулей:

$10^5 = 100000$.

Возведение в отрицательную степень тоже никакой трудности не представляет:

$10^{-5} = \dfrac{1}{100000}$.

Конспект

1. Возведение рационального числа $a$, не равного нулю, в натуральную степень $n$ определяется как

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n~\text{сомножителей}}$,

при этом $a$ называется основанием, а $n$ — показателем степени. Возведение в степень определено также для нулевого и отрицательного показателя: $a^0 = 1$;  $a^{-n} = 1/a^n$ (здесь $n$, как и ранее, — натурально число).

2. Возведение в степень имеет приоритет над умножением и делением: ${a \cdot b^n = a \cdot (b^n)}$; ${a / b^n = a / (b^n)}$. В частности, дробь ${a / b}$ может быть записана как $ab^{-1}$.

3. Возведение в степень обладает следующими свойствами:

$a^{−n} = 1 / a^n$,

$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$,

$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$,

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$,

где $a$ и $b$ — рациональные числа, не равные нулю, а $n$ и $m$ — произвольные целые числа.

4. Чтобы возвести $10$ в натуральную степень $n$, надо к единице приписать $n$ нулей, например: $10^5 = 100000$. Соответственно, ${10^{-5} = 1 / 100000}$.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Раскрытие скобок типа (a·/b)·/(c·/d)

Параллельное раскрытие скобок типа (a ± b) ± (c ± d) и (a·/b)·/(c·/d)

Подстановки и упрощение выражений типа (x^±ay^±b)ⁿ·(x^±cy^±d)^±m («многоэтажная» запись)

Подстановки и упрощение выражений типа (x^±ay^±b)ⁿ·(x^±cy^±d)^±m («одноэтажная» запись)

Параллельное упрощение выражений типа n(±ax ± by) ± m(±cx ± dy) и (x^±ay^± b)ⁿ·(x^±cy^± d)^±m («многоэтажная» запись)

Параллельное упрощение выражений типа n(±ax ± by) ± m(±cx ± dy) и (x^±ay^± b)ⁿ·(x^±cy^± d)^±m («одноэтажная» запись)