3.11. Десятичные дроби и арифметические операции с ними

Проводить расчеты с дробями, прямо скажем, довольно утомительно, особенно когда требуется складывать и вычитать дроби с разными знаменателями. Но если уж без дробей совсем нельзя обойтись, то, может быть, можно как-нибудь договориться о том, чтобы хотя бы знаменатели у них всегда были одинаковыми? Заманчивая идея, не правда ли? Конечно, универсального знаменателя на все случаи жизни подобрать не удастся, но некий порядок в знаменателях мы всё же можем навести. Давайте будем использовать в качестве знаменателей только числа вида $10^n$, где $n$ — натуральное число, то есть числа, которые записываются в виде единицы с последующими нулями, такие как $10$, $100$, $1000$. Тогда дроби, с которыми мы будем иметь дело, будут выглядеть так:

$\dfrac{12}{10},~~ \dfrac{3}{100},~~ \dfrac{45678}{1000},~~ \dfrac{10009}{10000}$  и тому подобное.

Эту громоздкую, «двухэтажную» запись можно сделать более компактной, переписав знаменатели в виде десятки в отрицательной степени:

$\begin{align} \dfrac{12}{10} &= 12 \cdot 10^{-1},\\[2mm] \dfrac{3}{100} &= 3 \cdot 10^{-2},\\[2mm] \dfrac{45678}{1000} &= 45678 \cdot 10^{-3},\\[2mm] \dfrac{10009}{10000} &= 10009 \cdot 10^{-4} \end{align}$

Хорошо получилось? Не очень. Такие числа очень неудобно сравнивать между собой. Что больше ${12 \cdot 10^{-1}}$ или ${10009 \cdot 10^{-4}}$? С первого взгляда это не видно. Поэтому, чтобы облегчить сравнение чисел, представим их в виде суммы целой и дробной частей:

$\begin{array}{rlrl} 12 \cdot 10^{-1}&\!\!\!=&\!\!\!1&\!\!\!+~2 \cdot 10^{-1} \\[1mm] 3 \cdot 10^{-2}&\!\!\!=&\!\!\!0&\!\!\!+~03 \cdot 10^{-2} \\[1mm] 45678 \cdot 10^{-3}&\!\!\!=&\!\!\!45&\!\!\!+~678 \cdot 10^{-3} \\[1mm] 10009 \cdot 10^{-4}&\!\!\!=&\!\!\!1 &\!\!\!+~0009 \cdot 10^{-4} \end{array}$

Обратите внимание: здесь после знака «$+$» стоит всегда ровно столько цифр, каков показатель степени числа $10$, взятый с противоположным знаком. Для того чтобы соблюсти эту закономерность, мы в некоторых случаях к дробной части приписали слева нули, которые по сути ничего не меняют, но сильно облегчают сравнение чисел между собой. Если бы мы записали числа так:

$\begin{align} 1 &+ 2 \cdot 10^{-1},\\ 1 &+ 9 \cdot 10^{-4}, \end{align}$

то можно было бы по невнимательности вначале ошибочно подумать, что второе число больше первого, но поскольку мы приписали «лишние» нули, такая ошибка исключена:

$\begin{align} 1 &+ 2 \cdot 10^{-1},\\ 1 &+ 0009 \cdot 10^{-4}. \end{align}$

Однако после того как мы написали такие «лишние» нули, наша запись стала перегружена повторяющейся информацией. В самом деле, если показатель степени у десятки окажется неразборчивым, то мы всегда сможем его восстановить, просто пересчитав число цифр после знака «$+$». Возникает искушение просто отбросить десятку вместе с показателем степени, поскольку она не добавляет ничего нового. Но тогда мы придем к неверному равенству, такому как: ${1 + 2 \cdot 10^{-1} = 1 + 2}$. Впрочем, этой неприятности легко избежать, если одновременно с отбрасыванием десятки поменять знак «$+$» на какой-нибудь другой значок, не означающий никакого арифметического действия. В качестве такого значка, называемого десятичным разделителем, принято брать запятую:

$\begin{array}{ll} \phantom{0}1~+~2 \cdot 10^{-1}&\!\!\!\!=~\phantom{0}1{,}2; \\[1mm] \phantom{0}0~+~03 \cdot 10^{-2}&\!\!\!\!=~\phantom{0}0{,}03;\\[1mm] 45~+~678 \cdot 10^{-3}&\!\!\!\!=~45{,}678;\\[1mm] \phantom{0}1~+~0009 \cdot 10^{-4}&\!\!\!\!=~\phantom{0}1{,}0009. \end{array}$

Замечание. Надо признаться, что запятая для этой роли подходит плохо. Как мы теперь будем отличать число $1{,}2$ от перечисления двух чисел, единицы и двойки: ${1, 2}$? Единственное отличие заключается в том, что в перечислении ${1, 2}$ после запятой стоит пробел, а в числе $1{,}2$ такого пробела нет. Но это, прямо скажем, не такое отличие, которое сразу бросается в глаза. Но такова традиция, получившая распространение в европейских странах, и нам придется ей следовать. Во избежание путаницы мы теперь будем использовать при перечислениях не запятую, а точку с запятой: ${1; 2}$. В англоязычной литературе и в языках программирования в качестве десятичного разделителя используют точку, что следует признать более удачным выбором.

Новый вид дробей, в написании которых используется запятая, называются десятичными — для того чтобы отличать их от дробей, с которыми мы имели дело ранее, называемых обыкновенными. Читаются десятичные дроби так же, как и смешанные числа:

$1{,}2$ — одна целая две десятых;

$0{,}123$ — ноль целых сто двадцать три тысячных.

Такова, во всяком случае, высокая литературная норма, но на практике часто говорят просто:

$1{,}2$ — один и два;

$0{,}123$ — ноль и один два три.

Заметим, что формально любое целое число можно представить в виде десятичной дроби, приписав к нему справа запятую и ноль, или даже несколько нулей, например:

$15 = 15{,}0$ — пятнадцать целых ноль десятых;

$15 = 15{,}000$ — пятнадцать целых ноль тысячных.

Поэтому, говоря о десятичных дробях, мы не будем исключать, что на самом деле они могут оказаться целыми числами.

Десятичные дроби вполне могут быть отрицательными:

$-123{,}45 = -123 - 45 \cdot 10^{-2} = -\dfrac{12345}{100}$.

Если в каком-либо числе $a$, записанном в виде десятичной дроби, стереть запятую и все цифры после запятой, то мы получим целую часть числа $a$. Если же, напротив, все цифры перед запятой заменить на ноль, то мы получим дробную часть числа $a$. Так, у числа

$-123{,}45$

целая часть равна

$-123{,}0$

а дробная часть —

$-0{,}45$.

Очевидно, что у всех целых чисел дробная часть равна нулю.

Десятичную дробь можно разбить на разряды, подобно тому как мы это делали с целыми числами:

$\underline{123}{,}\underline{456} = \underline{1} \cdot 100 + \underline{2} \cdot 10 + \underline{3} \cdot 1 + \underline{4} \cdot 0{,}1 + \underline{5} \cdot 0{,}01 + \underline{6} \cdot 0{,}001$;

или

$\underline{123}{,}\underline{456} = \underline{1} \cdot 10^2 + \underline{2} \cdot 10^1 + \underline{3} \cdot 10^0 + \underline{4} \cdot 10^{-1} + \underline{5} \cdot 10^{-2} + \underline{6} \cdot 10^{-3}$;

Здесь за знакомым нам разрядом единиц (${1 = 10^0}$) следует разряд десятых (${0{,}1 = 10^{-1}}$), затем разряд сотых (${0{,}01 = 10^{-2}}$) и так далее.

Сложение и вычитание десятичных дробей делается очень просто, так как они легко приводятся к одному знаменателю. Например,

$\begin{align*} 0{,}432\phantom{.}\!&+ 0{,}1 =\\ 0{,}432\phantom{.}\!&+ 0{,}100 =\\ 0{,}532.\!&\phantom{+} \end{align*}$

Или же:

$\begin{align*} 0{,}432\phantom{.}\!&- 0{,}1 =\\ 0{,}432\phantom{.}\!&- 0{,}100 =\\ 0{,}332.\!&\phantom{+} \end{align*}$

Впрочем, вторые строчки в обеих этих цепочках равенств — совершенно лишние. Приписывать «недостающие» нули можно и мысленно. При сложении и вычитании столбиком запятые у чисел должны находиться одна под другой:

 

$+$	$3$	$2,$	$1$
		$0,$	$2$	$4$	$6$
	$3$	$2,$	$3$	$4$	$6$

Умножение десятичных дробей на $\boldsymbol{10^n}$

Мы уже знаем, что всякую десятичную дробь с дробной частью, не равной нулю, можно представить как

$a \cdot 10^k$,

где $a$ и $k$ — целые числа, причем ${k < 0}$. Вообразим себе, что целое число $a$ записано в виде десятичной дроби, то есть припишем к нему мысленно справа запятую и ноль, например:

$1234{,}0$.

Когда мы умножаем это число на $10^k$, где ${k < 0}$, мы просто переносим запятую на $|k|$ цифр влево (напомню, что под $|k|$ мы понимаем модуль $k$, то есть число $k$ с отброшенным знаком). Например,

$1234{,}0 \cdot 10^{-3} = 1{,}\underline{234}$.

Если $|k|$ окажется слишком велико, нам придется дописать «лишние» нули:

$1234{,}0 \cdot 10^{-5} = 0{,}\underline{01234}$.

Вернемся теперь к записи

$a \cdot 10^k$,

и посмотрим, что будет, если число $k$ окажется положительным или равным нулю. Этот случай нам, собственно, хорошо знаком. Для того чтобы умножить $a$ на $10^k$, надо просто приписать к числу $a$ справа $k$ нулей. Но теперь мы сформулируем это правило несколько по-другому. Мы скажем: чтобы умножить $a$ на $10^k$, где ${k \geqslant 0}$, надо перенести запятую в числе $a$ на $k$ цифр вправо, например:

$1234{,}0 \cdot 10^{3} = 1234\underline{000}{,}0$.

Само собой разумеется, что, когда нам не хватает знаков, мы просто приписываем лишние нули. Мы больше не будем всякий раз об этом напоминать.

Делая обобщение на случай, когда $k$ является произвольным целым числом, можно утверждать, что умножение произвольного целого числа $a$ на $10^k$ сводится к перемещению запятой на $k$ цифр вправо. Если $k$ отрицательно, то, в соответствии со смыслом отрицательных чисел, перемещение фактически происходит в противоположную сторону, то есть влево.

А что должно получиться, если мы умножим целое число а вначале на $10^k$, а потом — еще на $10^n$, где $n$ — еще одно произвольное целое число? Для того чтобы получить ответ, нам, очевидно, надо переместить запятую на ${(k+n)}$ цифр — в соответствии с тем фактом, что ${10^k \cdot 10^n = 10^{k+n}}$. Это перемещение можно разбить на два этапа: вначале переносим запятую на $k$ цифр, а потом — на $n$. Именно такая ситуация реализуется, когда мы десятичную дробь ${a \cdot 10^k}$ умножаем на $10^n$:

$(a \cdot 10^k) \cdot 10^n$.

Поскольку в десятичной дроби ${a \cdot 10^k}$ запятая уже перенесена на $k$ цифр, осталось ее перенести на $n$ цифр. В итоге мы пришли к таком правилу: для того чтобы умножить произвольную десятичную дробь на $10^n$, надо в ее записи переместить запятую на $n$ цифр вправо. Например,

$\begin{array}{ll} 3{,}21 \cdot 10^3 &\!\!\!\!=~3\underline{210}{,}0;\\ 3{,}21 \cdot 10^{-2} &\!\!\!\!=~\phantom{000}0{,}\underline{03}21. \end{array}$

Произведение двух десятичных дробей

Пусть

$x = a \cdot 10^k~~$и$~~y = b \cdot 10^n$,

где $a$, $b$, $k$ и $n$ — некоторые целые числа, причем $a$ и $b$ не оканчиваются на ноль. Тогда произведение ${x \cdot y}$, очевидно, равно

$x \cdot y = (a \cdot b) \cdot 10^{k+n}$.

Если оба показателя степени, $k$ и $n$, больше нуля, то мы приходим к давно известному нам правилу умножения «круглых» чисел: мы отбрасываем поначалу все конечные нули, выполняем умножение без них, а потом к результату приписываем столько нулей, сколько мы раньше отбросили в обоих сомножителях вместе взятых. Например,

$3\underline{00} \cdot 5\underline{0} = 15\underline{000}$;

Это же правило формально действует и в том случае, когда один из показателей степени положителен, а другой равен нулю:

$3\underline{00} \cdot 5 = 15\underline{00}$;

Если оба показателя степени, $k$ и $n$, меньше нуля, то числа $x$ и $y$ являются дробными. Для них правило умножения таково: мы отбрасываем в их записи запятые, выполняем умножение как с целыми числами, а потом в ответе отделяем запятой столько знаков, сколько их было отделено в обоих сомножителях вместе взятых. Например,

$0{,}\underline{03} \cdot 0{,}\underline{5} = 0{,}\underline{015}$;

Это же правило формально действует и в том случае, когда один из показателей степени отрицателен, а другой равен нулю:

$0,\underline{03} \cdot 5 = 0{,}\underline{15}$;

Если же один из показателей степени положителен, а другой отрицателен, тогда мы имеем дело с умножением «круглого» числа на дробное. В «круглом» числе мы отбрасываем нули, в дробном отбрасываем запятую, и, выполнив умножение, ставим запятую на таком же удалении от конца, на котором она стояла в дробном сомножителе, а потом сдвигаем ее вправо на столько цифр, сколько мы отбросили нулей в «круглом» сомножителе. Например,

$3\underline{00} \cdot 0{,}\underline{5} = 15\underline{0}$;

$3\underline{0} \cdot 0{,}\underline{05} = 1{,}\underline{5}$;

Замечание о делении десятичных дробей

Сохраняя те же обозначения, что и раньше, мы можем, очевидно, записать частное двух чисел

$x = a \cdot 10^k~~\text{и}~~y = b \cdot 10^n$,

в таком виде:

$x / y = (a / b) \cdot 10^{k-n}$.

Если $a$ делится нацело на $b$, то в результате получается десятичная дробь (возможно, с нулевой дробной частью), и никаких больше проблем не возникает. Но что делать, если это не так? Об этом речь пойдет в двух следующих главах.

Конспект

1. Десятичная дробь — это дробь:

(1) которая представима в виде ${a \cdot 10^{-n}}$, где $a$ и $n$ — целые числа, причем ${n \geqslant 0}$. Например, ${1234/100 = 1234 \cdot 10^{-2}}$;

(2) в записи которой сомножитель $10^{-n}$ отброшен, зато последние $n$ цифр числа $a$ отделены от остальных десятичным разделителем (запятой). Например, ${1234 \cdot 10^{-2}= 12{,}45}$. При этом может понадобиться приписать к числу $a$ слева дополнительные нули: ${123 \cdot 10^{-4} = 0{,}0123}$. Если ${n = 0}$, то к числу $a$ просто приписывается «${,}0$»:  ${123 = 123 \cdot 10^0 = 123{,}0}$.

В отличие от десятичных, те дроби, с которыми мы имели дело раньше, называют обыкновенными.

2. Целая часть десятичной дроби получается отбрасыванием запятой и последующих цифр. Дробная часть получается заменой всех цифр, стоящих перед запятой, на ноль.

3. Десятичная дробь может быть разбита на разряды, например:

$123{,}456 = 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 + 4 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-2} + 6 \cdot 10^{-3}$;

За разрядом единиц следует разряд десятых, затем разряд сотых, затем разряд тысячных и так далее.

4. Сложение и вычитание десятичных дробей осуществляется по разрядам, то есть складываются или вычитаются одинаковые разряды, как это было в случае целых чисел.

5. Чтобы умножить произвольную десятичную дробь на $10^n$, где $n$ — целое число, надо в ее записи переместить запятую на $n$ цифр вправо (если $n$ отрицательно, то фактически перемещение происходит в противоположную сторону). Например, ${3{,}21 \cdot 10^3 = 3210{,}0}$; ${3{,}21 \cdot 10^{-2} = 0{,}0321}$.

6. Пусть ${x = a \cdot 10^k}$ и ${y = b \cdot 10^n}$, где $a$, $b$, $k$ и $n$ — целые числа. Тогда ${xy = ab \cdot 10^{k + n}}$. Следствия:

(1) Правило умножения друг на друга десятичных дробей (${k \leqslant 0}$, ${n \leqslant 0}$): мы отбрасываем в их записи запятые, выполняем умножение как с целыми числами, а потом в ответе отделяем запятой стояло столько знаков, сколько их было отделено в обоих сомножителях вместе взятых. Например: ${0{,}03 \cdot 0{,}5 = 0{,}015}$.

(2) Правило умножение дробного числа на «круглое» (${k \leqslant 0}$, ${n > 0}$). В дробном числе отбрасываем запятую, в «круглом» отбрасываем нули и, выполнив умножение, ставим запятую на таком же удалении от конца, на котором она стояла в дробном сомножителе, а потом сдвигаем ее вправо на столько цифр, сколько мы отбросили нулей в «круглом» сомножителе. Например, ${300 \cdot 0{,}5 = 150}$.

7. В тех же обозначениях ${x / y = (a / b) \cdot 10^{k-n}}$. В случае когда $a$ делится нацело на $b$ результатом деления $x/y$ является десятичная дробь (возможно, с нулевой дробной частью).

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Примечание: во всех приведенных ниже примерах деление сводится к делению нацело.

Примеры в два действия с десятичными дробями

Примеры в четыре действия с десятичными дробями

Примеры в семь действий с десятичными дробями

Примеры с десятичными дробями на сокращение «большой» дроби