Образовательный проект Леонида Некина

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

3.9. НОД и НОК: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Множество делителей

Рассмотрим такую задачу: найти делитель числа $140$. Очевидно, что у числа $140$ не один делитель, а несколько. В таких случаях говорят, что задача имеет множество решений. Найдем их все. Прежде всего разложим данное число на простые множители:

$140 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$.

Теперь мы без труда можем выписать все делители. Начнем с простых делителей, то есть тех, которые присутствуют в разложении, приведенном выше:

$2, ~5, ~7$.

Затем выпишем те, которые получаются попарным умножением простых делителей:

$2\cdot 2 = 4, ~~~2\cdot 5 = 10, ~~~2\cdot 7 = 14, ~~~5\cdot 7 = 35$.

Затем — те, которые содержат в себе три простых делителя:

$2\cdot 2\cdot 5 = 20, ~~~2\cdot 2\cdot 7 = 28, ~~~2\cdot 5\cdot 7 = 70$.

Наконец, не забудем единицу и само разлагаемое число:

$1, ~140$.

Все найденные нами делители образуют множество делителей числа $140$, которое записывается с помощью фигурных скобок:

Множество делителей числа $140~=$

$\{1, ~2, ~4, ~5, ~7, ~10, ~14, ~20, ~28, ~35, ~70, ~140\}$.

Для удобства восприятия мы выписали здесь делители (элементы множества) в порядке возрастания, но, вообще говоря, это делать необязательно. Кроме того, введем сокращение записи. Вместо «Множество делителей числа $140$» будем писать «Д$(140)$» (читается «Дэ от $140$»). Таким образом,

Д$(140) = \{1, ~2, ~4, ~5, ~7, ~10, ~14, ~20, ~28, ~35, ~70, ~140\}$.

Точно так же можно найти множество делителей для любого другого натурального числа. Например, из разложения

$105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

мы получаем:

Д$(105) = \{1, ~3, ~5, ~7, ~15, ~21, ~35, ~105\}$.

От множества всех делителей следует отличать множество простых делителей, которые для чисел $140$ и $105$ равны соответственно:

ПД$(140) = \{2, ~5, ~7\}$.

ПД$(105) = \{3, ~5, ~7\}$.

Следует особо подчеркнуть, что в разложении числа $140$ на простые множители двойка присутствует два раза, в то время как во множестве ПД$(140)$ — только один. Множество ПД$(140)$ — это, по своей сути, все ответы на задачу: «Найти простой множитель числа $140$». Ясно, что один и тот же ответ не следует повторять больше одного раза.

Сокращение дробей. Наибольший общий делитель

Рассмотрим дробь

$\dfrac{105}{140}$.

Мы знаем, что эту дробь можно сократить на такое число, которое одновременно является и делителем числителя ($105$) и делителем знаменателя ($140$). Взглянем на множества Д$(105)$ и Д$(140)$ и выпишем их общие элементы.

 

Д$(105) = \{1, ~3, ~5, ~7, ~15, ~21, ~35, ~105\}$;

Д$(140) = \{1, ~2, ~4, ~5, ~7, ~10, ~14, ~20, ~28, ~35, ~70, ~140\}$.

 

Общие элементы множеств Д$(105)$ и Д$(140)~=$

$\{1, ~5, ~7, ~35\}$.

 

Последнее равенство можно записать короче, а именно:

Д$(105)~\cap~$Д$(140)~=~\{1, ~5, ~7, ~35\}$.

Здесь специальный значок «$\cap$» («мешок отверстием вниз») как раз и указывает на то, что из двух множеств, записанных по разные стороны от него, надо выбрать только общие элементы. Запись «Д$(105)~\cap~$Д$(140)$» читается «пересечение множеств Дэ от $105$ и Дэ от $140$».

Замечание. Отметим по ходу дела, что с множествами можно производить разные бинарные операции, почти как с числами. Другой распространенной бинарной операцией является объединение, которое обозначается значком «$\cup$» («мешок отверстием вверх»). В объединение двух множеств входят все элементы как того, так и другого множества:

ПД$(105) = \{3, ~5, ~7\}$;

ПД$(140) = \{2, ~5, ~7\}$;

ПД$(105)~\cup~$ПД$(140) = \{2, ~3, ~5, ~7\}$.

Итак, мы выяснили, что дробь

$\dfrac{105}{140}$

можно сократить на любое из чисел, принадлежащих множеству

Д$(105)~\cap~$Д$(140) = \{1, ~5, ~7, ~35\}$

и нельзя сократить ни на какое другое натуральное число. Вот все возможные способы сокращения (за исключением неинтересного сокращения на единицу):

$\begin{align} &\frac{105}{140} = \frac{105/5}{140/5} = \frac{21}{28},\\ &\frac{105}{140} = \frac{105/7}{140/7} = \frac{15}{20},\\ &\frac{105}{140} = \frac{105/35}{140/35} = \frac{\,3\,}{4}. \end{align}$

Очевидно, что практичнее всего сокращать дробь на число, по возможности большее. В данном случае это число $35$, про которое говорят, что оно является наибольшим общим делителем (НОД) чисел $105$ и $140$. Это записывается как

НОД$(105, ~140) = 35$.

Впрочем, на практике, если нам даны два числа и требуется найти их наибольший общий делитель, мы вовсе не должны строить какие-либо множества. Достаточно просто разложить оба числа на простые множители и подчеркнуть те из этих множителей, которые являются общими для обоих разложений, например:

$105 = 3 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}$;

$140 = 2 \cdot 2 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}$.

Перемножая подчеркнутые числа (в любом из разложений), получаем:

НОД$(105, ~140) = 5 \cdot 7 = 35$.

Разумеется, возможен случай, когда подчеркнутых множителей окажется больше двух:

$168 = \underline{\,2\,} \cdot \underline{\,2\,} \cdot 2 \cdot \underline{\,3\,} \cdot 7$;

$396 = \underline{\,2\,} \cdot \underline{\,2\,} \cdot \underline{\,3\,} \cdot 3 \cdot 11$.

Отсюда видно, что

НОД$(168, ~396) = \underline{\,2\,} \cdot \underline{\,2\,} \cdot \underline{\,3\,} = 12$.

Особого упоминания заслуживает ситуация, когда общих множителей совсем нет и подчеркивать нечего, например:

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$;

$55 = 5 \cdot 11$.

В этом случае,

НОД$(42, \,55) = 1$.

Два натуральных числа, для которых НОД равен единице, называются взаимно простыми. Если из таких чисел составить дробь, например,

$\dfrac{42}{55}$,

то такая дробь является несократимой.

Вообще говоря, правило сокращения дробей можно записать в таком виде:

$\dfrac{\,a\,}{b} = \dfrac{a/\text{НОД}(a, b)}{b/\text{НОД}(a, b)}\,$.

Здесь предполагается, что $a$ и $b$ — натуральные числа, а вся дробь положительна. Если мы теперь припишем знак «минус» к обоим частям этого равенства, то получим соответствующее правило для отрицательных дробей.

Сложение и вычитание дробей. Наименьшее общее кратное

Пусть требуется вычислить сумму двух дробей:

$\dfrac{1}{105} + \dfrac{1}{140}$.

Мы уже знаем, как раскладываются на простые множители знаменатели:

$105 = 3 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}$;

$140 = 2 \cdot 2 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}$.

Из этого разложения сразу следует, что, для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, достаточно числитель и знаменатель первой дроби умножить на $2 \cdot 2$ (произведение неподчеркнутых простых множителей второго знаменателя), а числитель и знаменатель второй дроби — на $3$ («произведение» неподчеркнутых простых множителей первого знаменателя). В результате знаменатели обеих дробей станут равны числу, которое можно представить так:

$\overbrace{\phantom{3 \cdot 5 \cdot 7}}^{105}$

$3 \cdot \underbrace{\underline{5} \cdot \underline{7} \cdot 2 \cdot 2}_{140} = 105 \cdot 2 \cdot 2 = 3 \cdot 140 = 420.\phantom{\overbrace{1}^{1}}$

Нетрудно видеть, что оба исходных знаменателя (как $105$, так и $140$) являются делителями числа $420$, а число $420$, в свою очередь, кратно обоим знаменателям, — и не просто кратно, оно является наименьшим общим кратным (НОК) чисел $105$ и $140$. Это записывается так:

НОК$(105, ~140) = 420$.

Итак, чтобы получить НОК чисел $105$ и $140$, мы разложили их на простые множители, подчеркнули те множители, которые являются общими для обоих чисел, а далее написали:

НОК $=$ все множители первого числа $\times$ неподчеркнутые множители второго числа.

Отсюда следует, что

НОК$(105, 140) = 105 \cdot 140 /~$НОД$(105, 140)$.

Это можно также переписать в несколько более изящной, «симметричной» форме:

$105 \cdot 140~=~$НОК$(105, 140)~\cdot~$НОД$(105, 140)$.

Точно так же, для произвольных натуральных чисел $b$ и $d$:

$b \cdot d~=~$НОК$(b, d)~\cdot~$НОД$(b, d)$.

Теперь давайте доведем до конца суммирование наших дробей:

$\begin{align} &\dfrac{1}{105} + \dfrac{1}{140} =\\[2mm] &= \dfrac{1}{3 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}} + \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}} =\\[2mm] &= \dfrac{2 \cdot 2 }{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}} + \dfrac{3}{3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}} =\\[2mm] &= \dfrac{4 + 3}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}} = \dfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}} = \dfrac{1}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \underline{\,5\,}} = \dfrac{1}{60}\,. \end{align}$

Подобным же образом можно посчитать разность:

$\dfrac{1}{105} - \dfrac{1}{140} = \dfrac{4}{4 \cdot 105} - \dfrac{3}{3 \cdot 140} = \dfrac{4}{420} - \dfrac{3}{420} = \dfrac{1}{420}$.

Для того чтобы получить общий знаменатель двух дробей $\frac{\,a\,}{b}$ и $\frac{\,c\,}{d}$, мы фактически проделываем ту же самую процедуру, что и при вычислении НОК$(b, d)$. Именно НОК$(b, d)$ и оказывается общим знаменателем. (Предполагается, что $a$, $b$, $c$ и $d$ — натуральные числа.)

Конспект

1. Правило сокращения дробей. Пусть $a$ и $b$ — натуральные числа (${b \ne 0}$). Тогда

$\dfrac{\,a\,}{b} = \dfrac{a/\text{НОД}(a, b)}{b/\text{НОД}(a, b)}$ ,

где НОД$(a, b)$ — наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$. Чтобы найти НОД, надо разложить числа $a$ и $b$ на простые множители и подчеркнуть те множители, которые являются общими для обоих чисел. НОД равен произведению подчеркнутых множителей, взятых в любом из разложений.

2. Приведение дробей к общему знаменателю. Пусть $\,a$, $\,b$, $\,c$ и $\,d$ — натуральные числа (${b \ne 0}$, ${\,d \ne 0}$). В качестве общего знаменателя двух дробей $\frac{\,a\,}{b}$ и $\frac{\,c\,}{d}$ удобно брать НОК$(b, d)$ — наименьшее общее кратное знаменателей $b$ и $d$. Чтобы получить НОК$(b, d)$, мы раскладываем числа $b$ и $d$ на простые множители, причем общие множители подчеркиваем. Тогда

НОК $=$ все множители числа $b~\times$ неподчеркнутые множители числа $d$.

3. НОК и НОД связаны соотношением

$b \cdot d = \text{НОК}(b, d) \cdot \text{НОД}(b, d)$.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Задачи, где требуется разлагать числа на простые множители

Примечание. Для решения некоторых задач требуется знать, что такое квадрат числа. Квадратом числа $a$ называется число $a$, помноженное само на себя, то есть $a \cdot a$. (Оно называется так, потому что равно площади квадрата со стороной $a$).

 

 

 

Вопросы и комментарии

23 октября, 2019 - 09:57

Рашид

Найти числа аи б если заданы НОД и НОК этих чисел. как?

9 октября, 2018 - 09:28

Гость

класс

19 сентября, 2018 - 22:34

Алина

Что даёт НОК?

12 октября, 2017 - 09:25

диёра

ткань продают отрезами по5м или 7м.найдите наименьшуюдлину рулона ткани в метрах,чтобы после продажи не оставалось кусков ткани помогите пожалюста,заранее блогадарю

21 октября, 2017 - 12:18

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

5раз * 7м = 5м * 7раз = 35м
Но так можно решать только потому, что 5 и 7 - простые числа, а были бы они составными, решение могло бы оказаться посложнее.

16 февраля, 2017 - 12:49

Илья

нод и нок 4543 885?

7 февраля, 2017 - 15:40

аня

надо найти НОД НОК -21 27 36
14 15 18
24 30 38

29 ноября, 2015 - 21:10

карина

найдите множества всех делителей чисел 40 и 60 . Укажите для этих множеств . А\их общие элементы .все их элементы.

13 ноября, 2015 - 08:19

Виктор

На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн , чтобы проверить свои вычисления.

11 ноября, 2015 - 02:59

Виктор

Общий делитель двух данных чисел a и b это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b.

9 ноября, 2015 - 21:53

Наталия

Здравствуйте. Помогите пожалуйста решить пример, никак не получается.... Четыре седьмых умножить на пять шестых.

9 ноября, 2015 - 23:37

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

(4/7)*(5/6) = 4*5/(7*6) = 2*2*5/(7*2*3) = 2*5/(7*3) = 10/21.

26 апреля, 2015 - 15:22

Андрей

Здравствуйте. У меня возник вопрос по поводу перемножения разложенных множителей, которое мне не до конца понятно.

Разложено число 140 = 2*2*5*7
Затем выписаны множители - 2, 5, 7 далее
Следом происходит перемножение простых множителей по парно:
2*2=4, 2*5=10, 2*7=14, 5*7=35

Потом это же происходит в тройном сочетании
2*2*5=20, 2*2*7=28, 2*5*7=70

В четвёртом сочетании перемножить не получится 2*2*5*7 - от перестановки множителей произведение не меняется.

Они просто перемножаются между собой во всех возможных сочетаниях, я правильно понял?

Также прошу вас разложить число 105 и привести ещё пару примеров с бОльшими цифрами.

Заранее спасибо.

26 апреля, 2015 - 16:59

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Да, именно так: чтобы получить множество всех делителей какого-либо числа, надо взять все его простые множители (при этом они могут повторяться) и перемножить их между собой во всех возможных сочетаниях - парами, тройками и так далее (исключив при этом одинаковые сочетания). Потом результаты таких перемножений дополнить единицей и самими простыми множителями. Перемножение всех простых множителей дает, естественно, исходное число, его высчитывать не надо.
105 = 3*5*7.
Простые множители: 3, 5, 7.
Перемножение парами: 3*5=15, 3*7=21, 5*7=35.
Перемножение тройкой: 105 (можно не считать, и без того очевидно).
Итого:
Д(105)={1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}.
Что касается других чисел, предлагаю так: ты попробуешь сам и поделишься результатами и впечатлениями. Если что будет не так - я поправлю.

26 апреля, 2015 - 20:40

Андрей

36|3 120|2 541|541 (простое число)
12|2   60|2
  6|2   30|2
  3|3   15|3
            5|5

36 = 2*2*3*3
2, 3
2*2=4, 2*3=6, 3*3=9
2*2*3 = 12, 2*3*3=18

Д(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

120 = 2*2*2*3*5
2, 3, 5
2*2=4, 2*3=6, 2*5=10, 3*5=15
2*2*2=8, 2*2*3=12, 2*2*5=20, 2*3*5=30
2*2*2*3=24, 2*2*2*5=40, 2*2*3*5=60

Д(120) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

541 = 541

Д(541) = {1, 541}

26 апреля, 2015 - 23:27

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Отредактировал

27 апреля, 2015 - 05:37

Андрей

Спасибо. После отправки сообщения пробелы исчезли. Вечером напишу ещё несколько разложений на простые числа.

27 апреля, 2015 - 08:33

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Пробелы исчезают, потому что текст воспринимается как html-код (которым кодируются все веб-страницы), а, по правилам этого кода, несколько пробелов, идущих подряд, эквивалентны одному пробелу. По той же причине исчезают значки < и >, которые являются специальными символами этого кода. Но ты можешь писать, как тебе удобно. У меня есть возможность посмотреть написанное в первоначальной задумке и поправить.

27 апреля, 2015 - 20:12

Андрей

Кажется до меня дошло!

1704|2 3102|2     945|3
  852|2 1551|3     315|3
  426|2   517|11   105|3
  213|3     47|47     35|5
    71|71                   7|7

1704=2*2*2*3*71
2, 3, 71
2*2=4, 2*3=6, 2*71=142, 3*71=213
2*2*2=8, 2*2*3=12, 2*2*71=284, 2*3*71=426
2*2*2*3=24, 2*2*2*71=568, 2*2*3*71=912

Д(1704)={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 71, 142, 213, 284, 426, 568, 912, 1704}

3102=2*3*11*47
2, 3, 11, 47
2*3=6, 2*11=22, 2*47=94, 3*11=33, 3*47=141, 11*47=517
2*3*11=66, 2*3*47=282, 2*11*47=1034, 3*11*47=1551

Д(3102)={1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 47, 66, 94, 141, 282, 517, 1034, 1551, 3102}

945=3*3*3*5*7
3, 5, 7
3*3=9, 3*5=15, 3*7=21, 5*7=35
3*3*3=27, 3*3*5=45, 3*3*7=63, 3*5*7=105
3*3*3*5=135, 3*3*3*7=189, 3*3*5*7=315

Д(945)={1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 27, 35, 45, 63, 105, 135, 189, 315, 945}

27 апреля, 2015 - 22:29

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Да, принцип ты понял правильно. Осталось набить руку. Мне пришлось кое-что поправить.

10 декабря, 2014 - 16:17

старик

какой параноик придумал эту программу для 5 го класса?

13 декабря, 2014 - 11:15

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Вы, наверно, хотели сказать, что вам туго дается математика. Она потому вам туго дается, что вы, вместо того чтобы заниматься математикой, задаетесь совершенно бессмысленными вопросами о параноиках.

27 ноября, 2014 - 14:14

руслан

нок 15 18 найдите поизззз!1!

13 декабря, 2014 - 11:45

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

15 = 3*5
18 = 2*3*3
НОК(15,18) = 3*5 * 2*3 = 2*3*3 * 5

11 февраля, 2016 - 14:38

Вячеслав

НОК(15,18) = 90

10 октября, 2014 - 15:06

Гость

Нод 28 и 42

24 ноября, 2014 - 14:20

Гость

сам делай как тебе не стыдно двоешник

13 декабря, 2014 - 12:07

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Вопросы можно задавать любые. Иное дело, что не всякий вопрос настолько интересен, что хочется на него отвечать. Однако в любом случае, никакой вопрос не может служить поводом для того, чтобы стыдить и обзывать.
28 = 2*2*7
42 = 2*3*7
НОД(28,42) = 2*7

26 апреля, 2014 - 16:17

ойенький

да вы все мы прошли эту тему год назад

6 октября, 2015 - 22:44

Макс

Спасибо всё понел, 5+ автору сайта