Образовательный проект Леонида Некина

Учить АНГЛИЙСКИЙ, НЕМЕЦКИЙ с микрофоном в руках:

попробуйте один раз — и по-другому Вы уже не захотите.

Поддержка бесплатно на все сто — нажать сюда!

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

3.10. Возведение в степень

Рассмотрим разложение на простые множители числа 32:

32 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2.

Как видно, в этом разложении пять двоек. Это можно записать короче, а именно:

32 = 25.

Выражение 25 читается «два в степени пять» или «два в пятой степени». Вообще, любое рациональное число a можно возвести в любую натуральную степень n. Запись

an

имеет тот же смысл, что и произведение n сомножителей, каждый из которых равен а. При этом число a называется основанием степени, а число n — показателем степени. Рассмотрим, в качестве примера, такие равенства:

a4 = aaaa;

a3 = aaa;

a2 = aa.

Здесь каждая последующая строка получается из предыдущей делением правой части на а и уменьшение показателя степени в левой части на единицу. Ничто не мешает нам продолжить выписывать равенства дальше, придерживаясь той же закономерности:

a1 = a;

a0 = 1;

 a−1

 1

;

 

 

 a−2

   1

;

 a 

 

 a−3

      1

;

 a 

и так далее.

Таким образом, мы определили операцию возведения в степень an не только для натурального, но и для любого целого показателя n (надо только оговориться, что основание a не должно быть равно нулю).

Следует отметить, что в сложных выражениях возведение в степень имеет приоритет над умножением и делением (и, тем более, над сложением и вычитанием):

abn = a ∙ (bn);

a / bn = a / (bn).

Новая операция обладает следующими очевидными свойствами:

(1)     an

  1

 an 

(2)     anam = an+m

(3)     (an)m = anm

(4)     (ab)n = anbn

Здесь a и b — рациональные числа, не равные нулю, а n и m — произвольные целые числа. Проиллюстрируем эти свойства на примере, в котором n = −3, а m = 2.
 

(1)  an

 a3 

 = 

 a3/a3 

 = 

  1

 

  1

 

 1

.

  1

  1/a3

 1/a3 

 a−3 

 an 

 

(2)  anam = a−3a2

   1

 ∙ aa = 

 1

 = a−1 = an+m.

 aaa 

 a 

 

(3)  (an)m = (a−3)2

   1

 ∙ 

   1

 = 

  1

  = a−6 = anm.

 aaa 

 aaa 

 a6 

 

(4)  (ab)n = (ab)−3

        1

 =

 1

 ∙ 

  1

 = a−3b−3 = anbn.

 ababab 

 a3 

 b3 

Примечательно, что число, обратное к числу a, можно представить в виде a−1. Это дает дополнительную возможность записывать дроби в одну строчку:

 a

 = a b−1 = b−1a. 

 

Иногда возведение в степень записывают, используя в качестве бинарного оператора символ «^», называемый «крышечкой», или «домиком», или, совсем по-научному,  «циркумфлексом»:

an = a^n.

Следует иметь в виду, что этот оператор не обладает ни свойствой коммутативности (перестановочности), ни свойством ассоциативности (сочетательности), так что в общем случае

(k^m) ≠ (m^k);

(k^m)^nk^(m^n).

 

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Подстановки и упрощение выражений типа (x±ay±b)n·(x±cy±d)±m («многоэтажная» запись)

Подстановки и упрощение выражений типа (x±ay±b)n·(x±cy±d)±m («одноэтажная» запись)

Параллельное упрощение выражений типа n(±ax ± by) ± m(±cx ± dy) и (x±ay± b)n·(x±cy± d)±m («многоэтажная» запись)

Параллельное упрощение выражений типа n(±ax ± by) ± m(±cx ± dy) и (x±ay± b)n·(x±cy± d)±m («одноэтажная» запись)