Образовательный проект Леонида Некина

Полный курс АНГЛИЙСКОГО и НЕМЕЦКОГО

Бесплатно. В интернет-группе. Жать сюда!

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

3.11. Десятичные дроби: сложение, вычитание, умножение

Те дроби, с которыми мы имели дело до сих пор иногда называют обыкновенными, для того чтобы отличить их от дробей другого типа, называемых десятичными. Десятичная дробь — это дробь со знаменателем, кратным десяти, записанная в виде ряда цифр с запятой между ними. К примеру, дроби со знаменателем 10 выглядят так:

0,1 = 1/10 = 1 ∙ 10−1 («одна десятая»);

0,2 = 2/10 = 2 ∙ 10−1 («две десятых»);

1,5 = 1 5/10 = 15 ∙ 10−1 («одна целая 5 десятых»);

23,7 = 23 7/10 = 237 ∙ 10−1 («23 целых 7 десятых»).

Про десятичные дроби со знаменателем 10 говорят, что они имеют один знак после запятой. У дробей со знаменателем 100 после запятой два знака:

0,01 = 1/100 = 1 ∙ 10−2 («одна сотая»);

0,25 = 25/100 = 25 ∙ 10−2 («25 сотых»);

2,03 = 2 3/100 = 203 ∙ 10−2 («две целые 3 сотых»).

У дробей со знаменателем 1000 — три знака:

0,001 = 1/1000 = 1 ∙ 10−3 («ноль-запятая-ноль-ноль-один»);

0,018 = 18/1000 = 18 ∙ 10−3 («ноль-запятая-ноль-восемнадцать»);

0,999 = 999/1000 = 999 ∙ 10−3 («ноль и девять-девять-девять»);

1,008 = 1 8/1000 = 1008 ∙ 10−3 («один и ноль-ноль-восемь»).

И так далее. Иногда в записи десятичных дробей вместо запятой ставят точку.

Заметим, что формально любое целое число можно представить в виде десятичной дроби, приписав к нему справа запятую и ноль, или даже несколько нулей, например:

15 = 15,0 («пятнадцать целых ноль десятых»),

15 = 15,000 («пятнадцать целых ноль тысячных»).

Поэтому, говоря о десятичных дробях, мы не будем исключать, что на самом деле они могут оказаться целыми числами.

Если в каком-либо числе a, записанном в виде десятичной дроби, все цифры после запятой заменить на ноль, то мы получим целую часть числа a. Если, наоборот, все цифры перед запятой заменить на ноль, то мы получим дробную часть числа а. Так, у числа

−123,45

целая часть равна

−123,0

а дробная часть —

−0,45.

Очевидно, что у всех целых чисел дробная часть равна нулю.

Дробную часть, так же как и целую, можно разбить на разряды.

Числу 0,1 = 10−1 соответствует разряд десятых;

числу 0,01 = 10−2 — разряд сотых;

числу 0,001 = 10−3 — разряд тясячных;

числу 0,0001 = 10−4 — разряд десятитысячных;

и так далее.

Сложение и вычитание десятичных дробей делается очень просто, так как они легко приводятся к одному знаменателю. Например,

0,432 + 0,1 =

0,432 + 0,100 =

0,532.

Или же:

0,432 − 0,1 =

0,432 − 0,100 =

0,332.

Впрочем, вторые строчки в обеих этих цепочках равенств — совершенно лишние. Приписывать «недостающие» нули можно и мысленно. При сложении и вычитании столбиком запятые у чисел должны находиться одна под другой:

 

 + 

 3

 2 ,

 1

 

 

 

 0 ,

 2

 4 

 6

 

 3 

 2 ,

 3 

 4

 6 

Умножение десятичных дробей на 10n

Пусть a и k —произвольные целые числа. Что представляет из себя произведение

a ∙ 10k ?

Если k > 0, то это просто число a с приписанными к нему справа k нулями. Например,

321 ∙ 102 = 32100

Или, что то же:

321,0 ∙ 102 = 32100,0

Если k < 0, то это то же число а с дополнительной запятой, поставленной так, что после нее оказывается |k| цифр:

321,0 ∙ 10−2 = 3,21

(Напомню, что под |k| мы понимаем модуль k, то есть число k с отброшенным знаком.) Наконец, если k = 0, то это число а, оставленное без изменений:

321,0 ∙ 100 = 321,0

Особо следует отметить случай, когда k отрицательно, но сравнительно велико по абсолютной величине:

321,0 ∙ 10−5 = 0,00321

Здесь нам пришлось приписать слева три дополнительных нуля, чтобы запятая могла оказаться на правильном месте.

В любом случае можно сказать, что умножение на 10k сводится к перемещению запятой на k цифр вправо. (Если k отрицательно, то, в соответствии со смыслом отрицательных чисел, перемещение фактически происходит в противоположную сторону, то есть влево.)

А что должно получиться, если мы умножим целое число а вначале на 10k, а потом — еще на 10n, где n — еще одно произвольное целое число? Для того, чтобы получить ответ, нам, очевидно, надо переместить запятую сначала на k цифр, а потом еще на n цифр, то есть всего на (k+n) цифр, что прекрасно согласуется с тем фактом, что 10k∙10n = 10k+n.

Теперь заметим, что произвольную десятичную дробь можно записать как

a ∙ 10k

(прежде всего, мы имеем в виду случай, когда k отрицательно, но наши рассуждения справедливы для любого целого k). Тогда произведение этой десятичной дроби на 10n представится в виде

(a ∙ 10k) ∙ 10n.

А значит, мы пришли к таком правилу:

Для того чтобы умножить произвольную десятичную дробь на 10n, надо в ее записи переместить запятую на n цифр вправо (дописав при необходимости дополнительные нули).

Например,

3,21 ∙ 103 = 3210,0

3,21 ∙ 10−2 = 0,0321

 

Произведение двух десятичных дробей

Пусть x и y — две произвольные десятичные дроби, такие что

x = a ∙ 10k,

y = b ∙ 10n,

где a, b, k и n — некоторые целые числа, причем a и b оканчиваются не на ноль. Тогда произведение x ∙ y, очевидно, равно

x ∙ y = (ab) ∙ 10k+n.

Если оба показателя степени, k и n, больше нуля, то мы приходим к давно известному нам правилу умножения «круглых» чисел: мы отбрасываем поначалу все конечные нули, выполяем умножение без них, а потом к результату приписываем столько нулей, сколько мы раньше отбросили в обоих сомножителях вместе взятых. Например,

300 ∙ 50 = 15000;

20050 = 10000.

Это же правило формально действует и в том случае, когда один из показателей степени равен нулю, а другой положителен:

300 ∙ 5 = 1500;

2005 = 1000.

Если оба показателя степени, k и n, меньше нуля, то числа x и y являются дробными. Для них правило умножения таково: мы отбрасываем в их записи запятые, выполняем умножение как с целыми числами, а потом в ответе ставим запятую таким образом, чтобы после нее стояло столько знаков, сколько их раньше стояло после запятых в обоих сомножителях вместе взятых. Например,

0,03 ∙ 0,5 = 0,015;

0,02 ∙ 0,5 = 0,010 = 0,01.

Это же правило формально действует и в том случае, когда один из показателей степени равен нулю, а другой отрицателен:

0,03 ∙ 5 = 0,15;

0,025 = 0,10 = 0,1.

Если же один из показателей степени отрицателен, а другой положителен, тогда мы имеем дело с умножением дробного числа на «круглое». В дробном числе мы отбрасываем запятую, в «круглом» отбрасываем нули и, выполнив умножение, ставим запятую на таком же удалении от конца, на котором она стояла в дробном сомножителе, а потом сдвигаем ее вправо на столько цифр, сколько мы отбросили нулей в «круглом» сомножителе. Например,

300 ∙ 0,5 = 150

200 ∙ 0,5 = 100

30 ∙ 0,05 = 1,5

20 ∙ 0,05 = 1,0 = 1

Замечание о делении десятичных дробей

Сохраняя те же обозначения, что и раньше, мы можем, очевидно, записать частное двух десятичных дробей

x = a∙10k  и  y b∙10n

в таком виде:

x / y = (a / b) ∙ 10kn.

Если a делится нацело на b, то никаких больше проблем не возникает. Но что делать, если это не так? Об этом речь пойдет в двух следующих главах.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Примечание: во всех приведенных ниже примерах деление сводится к делению нацело.

Примеры в два действия с десятичными дробями

Примеры в четыре действия с десятичными дробями

Примеры в семь действий с десятичными дробями («одноэтажная» запись)

То же («многоэтажная» запись, LaTeX)

Примеры с десятичными дробями на сокращение «большой» дроби («одноэтажная запись»)

То же («многоэтажная» запись, LaTeX)

 

 

 

Вопросы и комментарии

28 ноября, 2017 - 10:14

Денис

Сколько будет 0.18000000?

 Ответить  

13 ноября, 2017 - 18:44

ваня

нада задача от числа 3 5 и 15 решение

 Ответить  

4 сентября, 2017 - 17:33

Гость

12 17тых : 1ну целую 1а вторая

 Ответить  

8 апреля, 2016 - 18:00

дима

А сколько будет 6,28:0,15

 Ответить  

10 марта, 2016 - 20:40

оля

Я думаю , что это очень полезна та как математика нам пригодится .

 Ответить  

8 апреля, 2015 - 16:31

Гость

как решитьодна целая пятьдесят одна двести десятых умножить на две третьих

 Ответить  

27 мая, 2014 - 02:43

Серж

Спс, норм

 Ответить  

4 марта, 2014 - 20:48

Даша

Спасибо за сообщение!Очень помогло!

 Ответить