Образовательный проект Леонида Некина

Полный курс АНГЛИЙСКОГО и НЕМЕЦКОГО

Бесплатно. В интернет-группе. Жать сюда!

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

3.9. НОД и НОК: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Множество делителей

Рассмотрим такую задачу: найти делитель числа 140. Очевидно, что у числа 140 не один делитель, а несколько. В таких случаях говорят, что задача имеет множество решений. Найдем их все. Прежде всего разложим данное число на простые множители:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Теперь мы без труда можем выписать все делители. Начнем с простых делителей, то есть тех, которые присутствуют в разложении, приведенном выше:

2, 5, 7.

Затем выпишем те, которые получаются попарным умножением простых делителей:

2∙2 = 4,  2∙5 = 10,  2∙7 = 14,  5∙7 = 35.

Затем — те, которые содержат в себе три простых делителя:

2∙2∙5 = 20,  2∙2∙7 = 28,  2∙5∙7 = 70.

Наконец, не забудем единицу и само разлагаемое число:

1, 140.

Все найденные нами делители образуют множество делителей числа 140, которое записывается с помощью фигурных скобок:

Множество делителей числа 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Для удобства восприятия мы выписали здесь делители (элементы множества) в порядке возрастания, но, вообще говоря, это делать необязательно. Кроме того, введем сокращение записи. Вместо «Множество делителей числа 140» будем писать «Д(140)». Таким образом,

Д(140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Точно так же можно найти множество делителей для любого другого натурального числа. Например, из разложения

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

мы получаем:

Д(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}.

От множества всех делителей следует отличать множество простых делителей, которые для чисел 140 и 105 равны соответственно:

ПД(140) = {2, 5, 7}.

ПД(105) = {3, 5, 7}.

Следует особо подчеркнуть, что в разложении числа 140 на простые множители двойка присутствует два раза, в то время как во множестве ПД(140) — только один. Множество ПД(140) — это, по своей сути, все ответы на задачу: «Найти простой множитель числа 140». Ясно, что один и тот же ответ не следует повторять больше одного раза.

Сокращение дробей. Наибольший общий делитель

Рассмотрим дробь

105 / 140.

Мы знаем, что эту дробь можно сократить на такое число, которое одновременно является и делителем числителя (105) и делителем знаменателя (140). Взглянем на множества Д(105) и Д(140) и выпишем их общие элементы.

 

Д(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105};

Д(140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

 

Общие элементы множеств Д(105) и Д(140) =

{1, 5, 7, 35}.

 

Последнее равенство можно записать короче, а именно:

Д(105) ∩ Д(140) = {1, 5, 7, 35}.

Здесь специальный значок «∩» («мешок отверстием вниз») как раз и указывает на то, что из двух множеств, записанных по разные стороны от него, надо выбрать только общие элементы. Запись «Д(105) ∩ Д(140)» читается «пересечение множеств Дэ от 105 и Дэ от 140».

[Заметим по ходу дела, что с множествами можно производить разные бинарные операции, почти как с числами. Другой распространенной бинарной операцией является объединение, которое обозначается значком «∪» («мешок отверстием вверх»). В объединение двух множеств входят все элементы как того, так и другого множества:

ПД(105) = {3, 5, 7};

ПД(140) = {2, 5, 7};

ПД(105) ∪ ПД(140) = {2, 3, 5, 7}. ]

Итак, мы выяснили, что дробь

105 / 140

можно сократить на любое из чисел, принадлежащих множеству

Д(105) ∩ Д(140) = {1, 5, 7, 35}

и нельзя сократить ни на какое другое натуральное число. Вот все возможные способы сокращения (за исключением неинтересного сокращения на единицу):

 

 105

 = 

 105/5

 = 

 21

;

 140 

 140/5 

 28 

 

 105

 = 

 105/7

 = 

 15

;

 140 

 140/7 

 20 

 

 105

 = 

 105/35

 = 

 3

.

 140 

 140/35 

 4 

Очевидно, что практичнее всего сокращать дробь на число, по возможности большее. В данном случае это число 35, про которое говорят, что оно является наибольшим общим делителем (НОД) чисел 105 и 140. Это записывается как

НОД(105, 140) = 35.

Впрочем, на практике, если нам даны два числа и требуется найти их наибольший общий делитель, мы вовсе не должны строить какие-либо множества. Достаточно просто разложить оба числа на простые множители и подчеркнуть те из этих множителей, которые являются общими для обоих разложений, например:

105 = 3 ∙ 57;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 57.

Перемножая подчеркнутые числа (в любом из разложений), получаем:

НОД(105, 140) = 57 = 35.

Разумеется, возможен случай, когда подчеркнутых множителей окажется больше двух:

168 = 22 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 223 ∙ 3 ∙ 11.

Отсюда видно, что

НОД(168, 396) = 223 = 12.

Особого упоминания заслуживает ситуация, когда общих множителей совсем нет и подчеркивать нечего, например:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

55 = 5 ∙ 11.

В этом случае,

НОД(42, 55) = 1.

Два натуральных числа, для которых НОД равен единице, называются взаимно простыми. Если из таких чисел составить дробь, например,

42 / 55,

то такая дробь является несократимой.

Вообще говоря, правило сокращения дробей можно записать в таком виде:

 a 

 = 

 a / НОД(a, b

.

 b

 b / НОД(a, b)

Здесь предполагается, что a и b — натуральные числа, а вся дробь положительна. Если мы теперь припишем знак «минус» к обоим частям этого равенства, то получим соответствующее правило для отрицательных дробей.

Сложение и вычитание дробей. Наименьшее общее кратное

Пусть требуется вычислить сумму двух дробей:

   1

 + 

   1

.

 105 

 140 

Мы уже знаем, как раскладываются на простые множители знаменатели:

105 = 3 ∙ 57;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 57.

Из этого разложения сразу следует, что, для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, достаточно числитель и знаменатель первой дроби умножить на 2 ∙ 2 (произведение неподчеркнутых простых множителей второго знаменателя), а числитель и знаменатель второй дроби — на 3 («произведение» неподчеркнутых простых множителей первого знаменателя). В результате знаменатели обеих дробей станут равны числу, которое можно представить так:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 57 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Нетрудно видеть, что оба исходных знаменателя (как 105, так и 140) являются делителями числа 420, а число 420, в свою очередь, кратно обоим знаменателям, — и не просто кратно, оно является наименьшим общим кратным (НОК) чисел 105 и 140. Это записывается так:

НОК(105, 140) = 420.

Приглядевшись повнимательнее к разложению чисел 105 и 140, мы видим, что

105 ∙ 140 = НОК(105, 140) ∙ НОД(105, 140).

Точно так же, для произвольных натуральных чисел b и d:

bd = НОК(b, d) ∙ НОД(b, d).

Теперь давайте доведем до конца суммирование наших дробей:

 

   1

 + 

   1

 =

 105 

 140 

 

      1

 + 

      1

 =

 3 ∙ 57 

 2 ∙ 2 ∙ 57 

 

         2 ∙ 2

 + 

           3

 =

 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 57 

 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 57 

 

        4 + 3

 = 

 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 

 

            7

 = 

 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 

 

         1

 =

 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 

 

  1  

.

 60 

Подобным же образом можно посчитать разность:

 

   1

 − 

   1

 =

 105 

 140 

 

      4

 − 

      3

 =

 105 ∙ 4 

 140 ∙ 3 

 

   4

 − 

   3

 =

 420 

 420 

 

   1

.

 420 

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Задачи, где требуется разлагать числа на простые множители

Примечание. Для решения некоторых задач требуется знать, что такое квадрат числа. Квадратом числа a называется число a, помноженное само на себя, то есть aa. (Как нетрудно видеть, оно равно площади квадрата со стороной a).

 

 

 

Вопросы и комментарии

12 октября, 2017 - 09:25

диёра

ткань продают отрезами по5м или 7м.найдите наименьшуюдлину рулона ткани в метрах,чтобы после продажи не оставалось кусков ткани помогите пожалюста,заранее блогадарю

21 октября, 2017 - 12:18

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

5раз * 7м = 5м * 7раз = 35м
Но так можно решать только потому, что 5 и 7 - простые числа, а были бы они составными, решение могло бы оказаться посложнее.

 Ответить  

16 февраля, 2017 - 12:49

Илья

нод и нок 4543 885?

 Ответить  

7 февраля, 2017 - 15:40

аня

надо найти НОД НОК -21 27 36
14 15 18
24 30 38

 Ответить  

29 ноября, 2015 - 21:10

карина

найдите множества всех делителей чисел 40 и 60 . Укажите для этих множеств . А\их общие элементы .все их элементы.

 Ответить  

13 ноября, 2015 - 08:19

Виктор

На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн , чтобы проверить свои вычисления.

 Ответить  

11 ноября, 2015 - 02:59

Виктор

Общий делитель двух данных чисел a и b это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b.

 Ответить  

9 ноября, 2015 - 21:53

Наталия

Здравствуйте. Помогите пожалуйста решить пример, никак не получается.... Четыре седьмых умножить на пять шестых.

9 ноября, 2015 - 23:37

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

(4/7)*(5/6) = 4*5/(7*6) = 2*2*5/(7*2*3) = 2*5/(7*3) = 10/21.

 Ответить  

26 апреля, 2015 - 15:22

Андрей

Здравствуйте. У меня возник вопрос по поводу перемножения разложенных множителей, которое мне не до конца понятно.

Разложено число 140 = 2*2*5*7
Затем выписаны множители - 2, 5, 7 далее
Следом происходит перемножение простых множителей по парно:
2*2=4, 2*5=10, 2*7=14, 5*7=35

Потом это же происходит в тройном сочетании
2*2*5=20, 2*2*7=28, 2*5*7=70

В четвёртом сочетании перемножить не получится 2*2*5*7 - от перестановки множителей произведение не меняется.

Они просто перемножаются между собой во всех возможных сочетаниях, я правильно понял?

Также прошу вас разложить число 105 и привести ещё пару примеров с бОльшими цифрами.

Заранее спасибо.

26 апреля, 2015 - 16:59

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Да, именно так: чтобы получить множество всех делителей какого-либо числа, надо взять все его простые множители (при этом они могут повторяться) и перемножить их между собой во всех возможных сочетаниях - парами, тройками и так далее (исключив при этом одинаковые сочетания). Потом результаты таких перемножений дополнить единицей и самими простыми множителями. Перемножение всех простых множителей дает, естественно, исходное число, его высчитывать не надо.
105 = 3*5*7.
Простые множители: 3, 5, 7.
Перемножение парами: 3*5=15, 3*7=21, 5*7=35.
Перемножение тройкой: 105 (можно не считать, и без того очевидно).
Итого:
Д(105)={1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}.
Что касается других чисел, предлагаю так: ты попробуешь сам и поделишься результатами и впечатлениями. Если что будет не так - я поправлю.

26 апреля, 2015 - 20:40

Андрей

36|3 120|2 541|541 (простое число)
12|2   60|2
  6|2   30|2
  3|3   15|3
            5|5

36 = 2*2*3*3
2, 3
2*2=4, 2*3=6, 3*3=9
2*2*3 = 12, 2*3*3=18

Д(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

120 = 2*2*2*3*5
2, 3, 5
2*2=4, 2*3=6, 2*5=10, 3*5=15
2*2*2=8, 2*2*3=12, 2*2*5=20, 2*3*5=30
2*2*2*3=24, 2*2*2*5=40, 2*2*3*5=60

Д(120) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

541 = 541

Д(541) = {1, 541}

26 апреля, 2015 - 23:27

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Отредактировал

27 апреля, 2015 - 05:37

Андрей

Спасибо. После отправки сообщения пробелы исчезли. Вечером напишу ещё несколько разложений на простые числа.

27 апреля, 2015 - 08:33

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Пробелы исчезают, потому что текст воспринимается как html-код (которым кодируются все веб-страницы), а, по правилам этого кода, несколько пробелов, идущих подряд, эквивалентны одному пробелу. По той же причине исчезают значки < и >, которые являются специальными символами этого кода. Но ты можешь писать, как тебе удобно. У меня есть возможность посмотреть написанное в первоначальной задумке и поправить.

27 апреля, 2015 - 20:12

Андрей

Кажется до меня дошло!

1704|2 3102|2     945|3
  852|2 1551|3     315|3
  426|2   517|11   105|3
  213|3     47|47     35|5
    71|71                   7|7

1704=2*2*2*3*71
2, 3, 71
2*2=4, 2*3=6, 2*71=142, 3*71=213
2*2*2=8, 2*2*3=12, 2*2*71=284, 2*3*71=426
2*2*2*3=24, 2*2*2*71=568, 2*2*3*71=912

Д(1704)={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 71, 142, 213, 284, 426, 568, 912, 1704}

3102=2*3*11*47
2, 3, 11, 47
2*3=6, 2*11=22, 2*47=94, 3*11=33, 3*47=141, 11*47=517
2*3*11=66, 2*3*47=282, 2*11*47=1034, 3*11*47=1551

Д(3102)={1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 47, 66, 94, 141, 282, 517, 1034, 1551, 3102}

945=3*3*3*5*7
3, 5, 7
3*3=9, 3*5=15, 3*7=21, 5*7=35
3*3*3=27, 3*3*5=45, 3*3*7=63, 3*5*7=105
3*3*3*5=135, 3*3*3*7=189, 3*3*5*7=315

Д(945)={1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 27, 35, 45, 63, 105, 135, 189, 315, 945}

27 апреля, 2015 - 22:29

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Да, принцип ты понял правильно. Осталось набить руку. Мне пришлось кое-что поправить.

 Ответить  

10 декабря, 2014 - 16:17

старик

какой параноик придумал эту программу для 5 го класса?

13 декабря, 2014 - 11:15

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Вы, наверно, хотели сказать, что вам туго дается математика. Она потому вам туго дается, что вы, вместо того чтобы заниматься математикой, задаетесь совершенно бессмысленными вопросами о параноиках.

 Ответить  

27 ноября, 2014 - 14:14

руслан

нок 15 18 найдите поизззз!1!

13 декабря, 2014 - 11:45

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

15 = 3*5
18 = 2*3*3
НОК(15,18) = 3*5 * 2*3 = 2*3*3 * 5

11 февраля, 2016 - 14:38

Вячеслав

НОК(15,18) = 90

 Ответить  

10 октября, 2014 - 15:06

Гость

Нод 28 и 42

24 ноября, 2014 - 14:20

Гость

сам делай как тебе не стыдно двоешник

13 декабря, 2014 - 12:07

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Вопросы можно задавать любые. Иное дело, что не всякий вопрос настолько интересен, что хочется на него отвечать. Однако в любом случае, никакой вопрос не может служить поводом для того, чтобы стыдить и обзывать.
28 = 2*2*7
42 = 2*3*7
НОД(28,42) = 2*7

 Ответить  

26 апреля, 2014 - 16:17

ойенький

да вы все мы прошли эту тему год назад

6 октября, 2015 - 22:44

Макс

Спасибо всё понел, 5+ автору сайта

 Ответить