3.6. Обратные операции. Операция деления. Дроби

Давайте вспомним, что такое уравнения и как они решаются. Пусть требуется решить следующее уравнение относительно неизвестной переменной $x$:

$x + 5 = 8$.

Фактически нам дано, что если подействовать оператором

$(...) + 5$

на переменную $x$, то в результате получается $8$. Чтобы найти значение $x$, мы берем еще один оператор, а именно

$(...) - 5$,

и действуем им на обе части данного нам уравнения:

$x + 5 - 5 = 8 - 5$.

После очевидных упрощений получаем:

$x = 3$.

Таким образом, два оператора, с которыми мы тут имеем дело,

$(...) + 5~~\text{и}~~(...) - 5$,

устроены таким образом, что действие одного оператора полностью отменяет действие другого. Это можно записать в таком виде:

$((...) + 5) - 5 = ((...) - 5) + 5 = (...)$.

Про такую ситуацию говорят, что оператор ${(...) - 5}$ является обратным к оператору ${(...) + 5}$. С тем же успехом можно сказать, что оператор ${(...) + 5}$ является обратным к оператору ${(...) - 5}$, или же, что эти два оператора являются взаимно обратными.

Давайте теперь решим такое уравнение:

$5 + x = 8$.

Для этого нам мог бы пригодиться оператор, обратный к

$5 + (...)$.

Таким обратным оператором, очевидно, является

$-5 + (...)$.

Итак, имеем:

$-5 + 5 + x = -5 + 8$.

Поскольку действия взаимно обратных операторов «гасят» друг друга, мы быстро приходим к ответу:

$x = 3$.

Любопытная ситуация возникает, если рассмотреть такое уравнение:

$5 - x = 3$.

Нам надо подобрать оператор, обратный к ${5 - (...)}$. Да ведь это же он сам и есть! Действительно,

$5 - (5 - (...)) = 5 - 5 + (...) = (...)$

Подействовав этим оператором на обе части уравнения, получаем:

$5 - (5 - x) = 5 - 3$,

$x = 2$.

Рассмотрим теперь уравнения с участием умножения. Например, такое:

$3x = 15$.

Каким оператором тут следует воспользоваться? До сих пор мы фактически пользовались оператором деления нацело:

$(…) / 3$.

Этот оператор, безусловно, позволит нам решить уравнение, но он, прямо скажем, не так хорош, как все предыдущие. Во-первых, он неприменим к числам, которые не делятся нацело на $3$, а во-вторых, его можно поставить только после того выражения, на которое он действует. Операторы других арифметических действий, слегка изменив, можно поставить и с другой стороны, например:

$(…) + 3 = 3 + (…)$,

$(…) - 3 = -3 + (…)$,

$(…) \cdot 3 = 3 \cdot (…)$.

А для оператора деления ${(…) / 3}$ такой возможности не существует. Он явно нуждается в «доработке». Давайте еще раз взглянем на уравнение

$3x = 15$.

Тут бы очень кстати пришелся новый, усовершенствованный оператор деления, который можно было бы поставить перед выражением $3x$ и который был бы обратным к оператору ${3(…)}$, то есть отменял бы его действие. Такой оператор действительно есть. Называется он «одна третья часть от» или, короче, «одна треть» и обозначается так:

$\dfrac{\,1\,}{3}(...)$

Разумеется, обычно это записывается в упрощенном виде, без многоточия:

$\dfrac{\,1\,}{3}$

Таким образом,

$\dfrac{\,1\,}{3} (3 x) = x$.

Но, пользуясь тем, что сомножители можно произвольно менять местами, мы также вправе написать:

$\dfrac{\,1\,}{3} (x \cdot 3) = x$.

Или даже в еще более общем виде

$\dfrac{\,1\,}{3} (a \cdot 3 \cdot b) = a \cdot b$.

Иначе говоря, оператор $\frac{\,1\,}{3}$ выискивает тройку в стоящем после него произведении чисел и уничтожает ее. Но тогда спрашивается, а можно ли этот оператор применить к одному единственному числу? Например, к числу $15$ (которое стоит в левой части уравнения ${3x = 15}$, с которого мы начали свои рассуждения)? Разумеется, можно:

$\dfrac{\,1\,}{3}\, 15 = \dfrac{\,1\,}{3} (3 \cdot 5) = 5.$

Да, но у нас тут всё так легко получилось только потому, что $15$ делится нацело на $3$, а как же быть с числами, которые на $3$ не делятся? Что, например, будет, если подействовать оператором $\frac{\,1\,}{3}$ на число $2$? Тогда мы получим другой оператор, действие которого на произвольное число $x$ мы определим следующим образом:

$\Bigl(\dfrac{\,1\,}{3} 2\Bigr)x = \dfrac{\,1\,}{3} (2x).$

Это очень похоже на равенство, с помощью которого мы записывали ассоциативность умножения (называемое в школе сочетательным свойством):

$(ab)c = a(bc).$

Теперь мы вправе считать, что переменная $a$ здесь может обозначать не только любое число, но и наш новый оператор деления, такой как $\frac{\,1\,}{3}$, или $\frac{\,1\,}{5}$, или $\frac{\,1\,}{10}$. Согласно нашему определению, оператор $\frac{\,1\,}{3} 2$ действует на произведение чисел, содержащее тройку, следующим образом:

$\Bigl(\dfrac{\,1\,}{3} 2\Bigr) (3y) = \dfrac{\,1\,}{3} (2 \cdot 3y) = 2y.$

Иначе говоря, оператор $\frac{\,1\,}{3} 2$ находит в последующем произведении тройку и заменяет ее на двойку. А если следом идет число, которое не делится на три, — например $5$ — тогда он превращается в новый оператор:

$\Bigl(\dfrac{\,1\,}{3} 2\Bigr) 5 = \dfrac{\,1\,}{3} (2 \cdot 5) = \dfrac{\,1\,}{3} 10$.

Этот оператор, будучи сам по себе совершенно бессмысленным, просто «ждет своего часа», когда после него окажется число, делящееся нацело на $3$. Мы, собственно, уже давно привыкли к такому положению дел, потому что с самого начала мы нечто подобное говорили про все числа вообще, которые обретают смысл только тогда, когда они «действуют» на какие-то предметы, например, на поросят или рубли.

Теперь давайте вспомним о нашем пожелании, чтобы новый оператор мог действовать на числа с разный сторон: как слева направо $\frac{\,1\,}{3} (...)$, так и справа налево $(…)\frac{\,1\,}{3}$. Тут нам снова поможет равенство, выражающее свойство ассоциативности:

$(ab)c = a(bc)$.

Договоримся считать, что здесь переменная $b$ может обозначать не только число, но и новый оператор деления. Тогда запись ${2\frac{\,1\,}{3}}$ начинает оказывать на последующее произведение такое действие:

$\Bigl(2\dfrac{\,1\,}{3}\Bigr) (3y) = 2 \Bigl(\dfrac{\,1\,}{3} (3y)\Bigr) = 2y$.

Мы видим, оператор ${2\frac{\,1\,}{3}}$ действует точно так же, как и оператор ${\frac{\,1\,}{3} 2}$, то есть выполняется операторное равенство:

$2\,\dfrac{\,1\,}{3} = \dfrac{\,1\,}{3}\, 2$.

Это то, что в случае целых чисел мы называли коммутативностью (переместительностью):

$ab = ba$,

только на этот раз переменная $b$ может обозначать не только привычные числа, но и новые операторы.

Важный частный случай возникает, когда ${a = 3}$, ${b = \frac{\,1\,}{3}}$:

$3\, \dfrac{\,1\,}{3} = \dfrac{\,1\,}{3}\, 3 = \dfrac{\,1\,}{3} (3 \cdot 1) = 1.$

Это равенство говорит нам о том, что операторы $3$ и $\frac{\,1\,}{3}$ являются взаимно обратными.

Для полноты картины нам осталось договориться, что ассоциативность

$a(bc) = (ab)c$

распространяется также на тот случай, когда новый оператор стоит на месте последней из входящих сюда переменных, а именно $c$. Пусть, например, ${a = 3x}$, ${b = 2}$, ${c = \frac{\,1\,}{3}}$. Тогда

\[(3x) \Bigl(2 \dfrac{\,1\,}{3}\Bigr) = (3x \cdot 2) \dfrac{\,1\,}{3} = (2x \cdot 3) \dfrac{\,1\,}{3} = 2x \Bigl(3 \dfrac{\,1\,}{3}\Bigr) = 2x \cdot 1 = 2x.\]

Коммутативность и ассоциативность нового оператора деления означают, что его можно произвольно переставлять с операцией умножения. Пусть нам дано произведение любого числа каких угодно целых чисел. Если мы заходим подействовать на это произведение оператором $\frac{\,1\,}{3}$, то мы вольны ставить его куда угодно: хоть в самое начало, хоть в самый конец, хоть где-нибудь посередине между какими-то сомножителями. Результат в любом случае будет одинаковым. Оператор отыщет в данном произведении тройку и уничтожит ее. А если тройки среди сомножителей не окажется, то вся запись превратится в один большой оператор, «ждущий своего часа», когда либо справа, либо слева от него кто-нибудь когда-нибудь всё же припишет тройку, или даже втиснет ее где-нибудь посередине. Важное уточнение: если среди сомножителей находится две тройки или более, то оператор $\frac{\,1\,}{3}$ уничтожит только одну из них. А если троек в явном виде нет, но один из сомножителей можно представить в виде $3x$, то оператор превратит этот сомножитель просто в $x$.

Приведем теперь решение уравнения, которое навело нас на мысль о новом операторе:

$3x = 15$.

Применяем к обеим частям оператор $\frac{\,1\,}{3}$:

$\dfrac{\,1\,}{3}\, 3x = \dfrac{\,1\,}{3}\, 15$

и получаем

$x = 5$.

До сих пор мы подразумевали, что в выражении

$\dfrac{\,1\,}{3} (3 x)$

переменная $x$ обозначает какое-то число. Но на самом деле за этой переменной может стоять любая вещь. Например,

$\dfrac{\,1\,}{3} (3~\text{поросенка}) = 1~\text{поросенок}.$

Оператор $\frac{\,1\,}{3}$ можно применять к любому объекту, который состоит из трех одинаковых частей или который можно разделить на три одинаковые части. Возьмем, например, отрезок

и разобьем его на три отрезка одинаковой длины:

Подействав оператором $\frac{\,1\,}{3}$, получаем:

Отрезки исключительно хороши для наглядного представления новых операторов деления, потому что всякий отрезок легко разбить на любое число одинаковых частей. Но можно ли взять «одну треть от» коровы или автомобиля? В некотором смысле, да, можно. Допустим, нам дано, что с какого-то конвейера сходит один автомобиль за каждые три часа. Спрашивается: сколько автомобилей сходит с этого конвейера за один час? Ответ: «одна треть» автомобиля. Конечно, сама по себе «одна треть» автомобиля — это абсурд, бессмыслица. Но мы уже привыкли иметь дело с бессмыслицей, если она является временным, промежуточным результатом. Рано или поздно мы подействуем на «одну треть» автомобиля оператором ${3(...)}$ — и смысл снова восстановится. Например, нас могут спросить: а сколько автомобилей сходит с этого конвейера за сутки ($24$ часа)? Тогда мы напишем так:

$24\, \dfrac{\,1\,}{3}~\text{автомобиля} = 8 \cdot 3\, \dfrac{\,1\,}{3}~\text{автомобиля} = 8~\text{автомобилей}.$

Но вернемся к отрезкам и постараемся с их помощью наглядно представить себе равенство

$\dfrac{\,1\,}{3} \,2 = 2\,\dfrac{\,1\,}{3}$.

Возьмем какой-нибудь отрезок и условимся считать, что длина его равна единице:

Подействуем на длину этого отрезка оператором $2(...)$, иначе говоря, сделаем его в два раза длиннее:

Полученный отрезок поделим на три равные части:

И возьмем одну такую часть:

Точно такой же отрезок можно получить другим способом. Снова берем отрезок, длина которого условно равна единице:

Делим его на три равные части:

И берем две из таких частей:

Как нетрудно убедиться, результаты в обоих случаях оказываются одинаковыми.

На практике, вместо того чтобы писать

$\dfrac{\,1\,}{3}\,2~~~\text{или}~~~2\,\dfrac{\,1\,}{3}$,

обычно пишут несколько короче:

$\dfrac{\,2\,}{3}$.

Это читается: «две третьих». Такая «двухэтажная» запись называется дробью. Горизонтальная линия называется дробной чертой. Число, которое стоит над дробной чертой, называется числителем. Число, которое стоит под дробной чертой, называется знаменателем. Такая запись очень удобна, когда мы пишем математические формулы на бумаге или на школьной доске, но она плохо вписывается в строки сплошного текста. Поэтому «двухэтажную» дробь часто переписывают в «одноэтажном» виде

$2 / 3$

или применяют, так сказать, промежуточный вариант:

$^2\!/\!_3$

«Одноэтажная» запись, $2/3$, содержит знакомый нам бинарный оператор деления

$(...) / (...)$,

только на этот раз делимое не обязано делиться на делитель нацело. Поэтому операция, задаваемая этим оператором называется теперь не делением нацело, а просто делением, без всяких добавочных слов. В качестве знака деления может также использоваться двоеточие (главным образом в школьных учебниках):

$(...) : (...)$

В нашем курсе математики мы используем двоеточие только для обозначения деления с остатком. Кроме того, на клавишах калькуляторов для обозначения деления может применяться так называемый «обелюс»:

$(...)~÷~(...)$

Следует отметить, что в некоторых случаях результат операции деления оказывается равным целому числу, например:

$15 / 3 = \dfrac{15}{3} = 15\,\dfrac{\,1\,}{3} = 5\cdot 3\,\dfrac{\,1\,}{3} = 5 \cdot 1 = 5.$

В этом случае новая операция деления превращается в деление нацело. А как записать результат, если числитель не делится нацело на знаменатель? Однозначного ответа на этот вопрос нет. В зависимости от ситуации мы будем представлять результат деления в разном виде. Об этом мы еще будем подробно говорить в будущем. Пока лишь замечу, что у математиков считается совершенно в порядке вещей представлять ответы на математические задачи в виде дробей — таких, как, например,

$\dfrac{\,2\,}{3}$.

Это само по себе считается вполне полноценным ответом и никаких дальнейших вычислений не требует.

Настало время сделать кое-какие обобщения и уточнить формулировки. Пусть дано целое число $n$, отличное от нуля (оно может быть как положительным или отрицательным). Это число, как мы знаем, задает оператор умножения:

$n\,(...)$.

У этого оператора есть обратный оператор:

$\dfrac{1}{n}\,(...)$.

(читается «одна энная» или «один поделить на эн»). Обратный оператор определяется таким образом, что выполняются следующие операторные равенства:

$n\,\dfrac{\,1\,}{n} (...) = \dfrac{\,1\,}{n}\,n (...) = 1(...)$,

или, если опустить многоточия:

\[ \boxed{\qquad n\,\frac{\,1\,}{n} = \frac{\,1\,}{n}\,n = 1. \qquad} \]

Оператор

$\dfrac{\,1\,}{n}$

также называют дробным числом, обратным к числу $n$. Поэтому числа

$n~~\text{и}~~\dfrac{\,1\,}{n}$

являются взаимнообратными. Действие оператора «одна энная» на произвольное целое число $k$

$\dfrac{\,1\,}{n}\, k$

называется умножением числа «одна энная» на число $k$. При этом выполняется свойство коммутативности (переместительности):

$\dfrac{\,1\,}{n}\,k = k\,\dfrac{\,1\,}{n}$.

Операция деления произвольного целого числа $k$ на ненулевое целое число $n$ записывается в виде «двухэтажной» дроби

$\dfrac{\,k\,}{n}$

или же в строчку

$k / n ~~(\text{а также}~~^k\!/\!_n)$

и определяется как

\[ \boxed{\quad k / n =~^k\!/\!_n~= \frac{\,k\,}{n}~~=~~\frac{\,1\,}{n}\,k = k\,\frac{\,1\,}{n}. \quad} \]

Иначе говоря, деление числа $k$ на число $n$ — это то же самое, что и умножение числа $k$ на число, обратное к $n$.

При делении числа $k$ на число $n$ следует различать два случая:

Случай 1. Числа $k$ и $n$ связаны между собой соотношением

$k = n \cdot m,$

где $m$ — какое-то целое число. Тогда, подействовав на обе части этого равенства оператором $1/n$, получаем:

$\dfrac{\,k\,}{n} = m$.

Фактически мы тут имеем дело с делением нацело, которое лишь надо дополнить следующими правилами расстановки знака «минус»:

$\dfrac{\,-k\,}{n} = -m;\quad\dfrac{k}{\,-n\,} = -m;\quad\dfrac{\,-k\,}{-n} = m.$

(Эти правила моментально следуют из подобных же правил для умножения.) Пусть, например, ${k = 15}$, ${n = -3}$. Тогда ${15/(-3) = -5}$. Мы говорим: «Пятнадцать поделить на минус три равно минус пяти».

Случай 2. $k$ не делится нацело на $n$. Например, $k = 2$ и $n = 3$. Тогда говорят, что результат деления является дробным числом. При этом запись дробного числа, вообще говоря, ничем не отличается от записи операции деления (разве что иногда возможны кое-какие упрощения, речь о которых впереди). Так, мы можем сказать: «Два поделить на три равно две третьих», — однако и «два поделить на три», и «две третьих» записываются совершенно одинаково, а именно любым из трех способов:

$\dfrac{\,2\,}{3},~~\text{или}~~^2\!/\!_3,~~\text{или}~~2 / 3$.

Следует особо отметить, что умножение на ноль не имеет обратного оператора. Казалось бы, следуя общим правилам действия новых операторов деления, мы могли бы написать:

$\dfrac{\,1\,}{0}\,0 = 1$.

Проблема, однако, в том, что ноль, на который действует оператор, можно также представить в виде ${0 \cdot 2}$, или ${0 \cdot 3}$ и так далее. И тогда получается

$\dfrac{\,1\,}{0}\,0 = \dfrac{\,1\,}{0}\,(0 \cdot 2) = 2$,

или

$\dfrac{\,1\,}{0}\,0 = \dfrac{\,1\,}{0}\,(0 \cdot 3) = 3$.

Выходит, что выражение ${\frac{\,1\,}{0} 0}$ может быть равно любому числу. Не то чтобы с этой неприятностью уж совсем нельзя было бороться, но мы пока этим заниматься на будем, а вместо этого просто введем строгое правило: делить на ноль нельзя.

Заметим также, что в сложных выражениях без скобок операция деления выполняется прежде операций сложения и вычитания. Таким образом, выражение

$2 + 1 / 3$

следует понимать как ${2 + (1 / 3)}$, а не как ${(2 + 1) / 3}$. В этом смысле деление имеет ту же приоритетность, что и умножение. Вместе с тем, выражения без скобок, в которых одновременно присутствуют умножение и деление, могут вызывать некоторую путаницу. Вообще-то, принято считать, что в этом случае операции следует выполнять последовательно слева направо. Так,

$12 / 3 \cdot 4 = (12 / 3) \cdot 4$.

Однако почти та же самая запись с использованием переменных может иметь другой смысл:

$a / 3c = a / (3c)$.

Поэтому следует избегать записей вида ${12 / 3 \cdot 4}$ или ${a / 3c}$ и либо прибегать к «двухэтажности», либо расставлять скобки, которые избавляют от неоднозначности.

Конспект

1. Два оператора называются взаимно обратными, если действие одного из них отменяется действие другого. Пример: ${(…) + 5}$ и ${(…) - 5}$. С помощью обратных операторов удобно решать уравнения. Подействовав, например, оператором $-5$ на обе части уравнения ${x + 5 = 8}$, получаем: ${x = 3}$.

2. Пусть $n$ — любое целое число, отличное от нуля. У оператора умножения ${n(…)}$ есть взаимно обратный оператор, который называется одна энная и записывается как $\frac{\,1\,}{n}(…)$. В соответствии с определением взаимно обратного оператора,

$\dfrac{\,1\,}{n} (n (...)) = n \Bigl(\dfrac{\,1\,}{n} (…)\Bigr) = 1(…)$

или, короче, ${\frac{\,1\,}{n} n = n \frac{\,1\,}{n} = 1}$. Оператор $\frac{\,1\,}{n}$ способен действовать не только на число $n$, но и на любой другой объект $x$. При этом следует различать два случая.

Случай 1. Объект $x$ можно разбить на $n$ одинаковых частей, или, иначе говоря, его можно представить в виде ${x = n \cdot y}$, где $y$ — это число или какая-то вещь. Тогда оператор $\frac{\,1\,}{n}$ превращает число $n$, входящее в этот объект, в единицу: ${\frac{\,1\,}{n} (n \cdot y) = y}$, например:

$\tfrac{\,1\,}{n} (n \cdot 5) = 5$,

$\tfrac{\,1\,}{n} (n~ \text{рублей}) = 1~ \text{рубль}$.

Случай 2. Объект $x$ нельзя разбить на $n$ одинаковых частей. Тогда результат действия $\frac{\,1\,}{n}$ на $x$ является оператором, определяемым как

$(\tfrac{\,1\,}{n} x) (…) = \tfrac{\,1\,}{n} (x (…))$.

Этот оператор «ждет своего часа»: когда-нибудь мы подставим сюда вместо (…) что-то такое, что можно разбить на $n$ одинаковых частей и вернемся к случаю 1.

3. Оператор $\frac{\,1\,}{n}$ называют дробным числом, взаимно обратным к числу $n$. Его действие на произвольное целое число $k$, записываемое в виде $\frac{\,1\,}{n} k$, называется умножением числа $\frac{\,1\,}{n}$ на число $k$. Число $\frac{\,1\,}{n}$ можно умножать на число $k$ не только справа, но и слева, при этом выполняются свойства коммутативности (переместительности)

$\tfrac{\,1\,}{n} k = k \tfrac{\,1\,}{n}$

и ассоциативности (сочетательности)

$(\tfrac{\,1\,}{n}b)c = \tfrac{\,1\,}{n}(bc);~~~(a\tfrac{\,1\,}{n})c = a(\tfrac{\,1\,}{n}c);~~~(ab)\tfrac{\,1\,}{n} = a(b\tfrac{\,1\,}{n})$.

(Здесь $a$, $b$ и $c$ являются целыми числами.) Это значит, что при вычислении произведения любого количества чисел мы вправе умножать их в любом порядке, даже если один из сомножителей равен $\frac{\,1\,}{n}$.

4. Операция деления произвольного целого числа $k$ на ненулевое целое число $n$ записывается в виде «двухэтажной» дроби, где $k$ является числителем, а $n$ — знаменателем,

$\dfrac{\,k\,}{n}$

или же в строчку $k/n$ (а также $^k\!/\!_n$) и определяется как умножение числа $k$ на число $\frac{\,1\,}{n}$:

$\dfrac{\,k\,}{n} =~^k\!/\!_n = k / n = \dfrac{\,1\,}{n}\, k = k\,\dfrac{\,1\,}{n}$.

Иначе говоря, деление числа $k$ на число $n$ — это то же самое, что и умножение числа $k$ на число, обратное к $n$. Если $k$ представимо в виде ${k = nm}$, где $m$ — некоторое целое число, то деление сводится к делению нацело.

5. Правила расстановки знака «минус»:

$\dfrac{\,-k\,}{n} = -m;\quad\dfrac{k}{\,-n\,} = -m;\quad\dfrac{\,-k\,}{-n} = m$.

6. Деление на ноль не определено. Делить на $0$ нельзя.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Умножение и деление целых чисел (в пределах таблицы умножения)

Умножение и деление целых чисел на двузначное целое число

Четыре арифметических действия с целыми числами и деление с остатком натуральных чисел

Примеры в несколько арифметических действий («одноэтажная» запись)

Примеры в несколько арифметических действий («многоэтажная» запись)

Дополнительные упражнения на составные выражения («одноэтажная» запись)

Дополнительные упражнения на составные выражения («многоэтажная» запись)