Образовательный проект Леонида Некина

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

3.7. Рациональные числа

В прошлый раз мы познакомились с дробями и упомянули о том, что они тоже называются числами. Речь идет о так называемых рациональных числах. Вообще, рациональным называют такое число, которое можно записать в виде дроби

$\dfrac{\,a\,}{b}$,

где $a$ и $b$ — какие-либо целые числа, причем ${b \ne 0}$. Если $a$ делится нацело на $b$, то число ${\frac{\,a\,}{b}}$ является целым, в противном случае оно называется дробным. (Заметим, что обычно в определении рациональных чисел знаменатель $b$ объявляют не целым, а натуральным числом. Сути дела это нисколько не меняет.) Всякое целое число $a$ является одновременно рациональным, поскольку оно представимо в виде ${\frac{\,a\,}{1}}$.

Почему же дроби называются числами? Потому что их можно складывать между собой, вычитать друг из друга, умножать одно на другое и делить друг на друга, и при этом они ведут себя так же, как и привычные нам целые числа — в том смысле, что все знакомые нам свойства арифметических действий остаются в силе. Давайте в этом убедимся.

В последующих рассуждениях мы будем считать, что ${\frac{\,a\,}{b}}$, ${\frac{\,c\,}{d}}$ и ${\frac{\,p\,}{q}}$ — это три произвольных рациональных числа (все числители и знаменатели — целые числа, причем знаменатели отличны от нуля). Начнем с умножения, которое мы определим так:

$\Bigl(\dfrac{\,a\,}{b} \dfrac{\,c\,}{d}\Bigr) (...) = \dfrac{\,a\,}{b} \Bigl(\dfrac{\,c\,}{d} (...)\Bigr)$.

Что делает оператор ${\frac{\,c\,}{d}}$? Он находит среди последующих сомножителей число $d$ и заменяет его на число $c$. А что делает произведение операторов ${\frac{\,a\,}{b} \frac{\,c\,}{d}}$? Согласно нашему определению, оно находит числа $d$ и $b$ и заменяет их на $c$ и $a$:

$\Bigl(\dfrac{\,a\,}{b} \dfrac{\,c\,}{d}\Bigr) (b \cdot d \cdot x) = a \cdot c \cdot x$.

Отсюда очевидно, что умножение рациональных чисел осуществляется по такому правилу:

\[ \boxed{\quad \frac{\,a\,}{b} \cdot \frac{\,c\,}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \quad} \]

Легко убедиться, что такое умножение обладает свойствами коммутативности («переместительности») и ассоциативности («сочетательности»):

$\dfrac{\,a\,}{b}\,\dfrac{\,c\,}{d} = \dfrac{\,c\,}{d}\,\dfrac{\,a\,}{b}; \quad \dfrac{\,a\,}{b}\Big(\dfrac{\,c\,}{d}\,\dfrac{\,p\,}{q}\Big) = \Big(\dfrac{\,a\,}{b}\,\dfrac{\,c\,}{d}\Big)\dfrac{\,p\,}{q}$.

На менее формальном языке это означает, что мы можем произвольно менять порядок вычислений в произведении любого числа сомножителей.

Сокращение дробей. Если у дроби числитель и знаменатель равны между собой, то такая дробь, очевидно, равна единице:

$\dfrac{\,b\,}{b} = 1.$

Отсюда

\[ \boxed{\quad \frac{a\cdot b}{d\cdot b} = \frac{\,a\,}{d} \quad} \]

Таким образом, значение дроби не меняется, если числитель и знаменатель одновременно умножить или поделить на одно и то же число. Например,

$\dfrac{\,2\,}{3} \cdot \dfrac{\,3\,}{5} = \dfrac{2\cdot 3}{3\cdot 5} =\dfrac{\,2\,}{5}$.

Одновременное деление числителя и знаменателя на одно и то же число $b$ называют сокращением дроби на число $b$. Давно нам знакомое правило деления круглых чисел является, по сути дела, частным случаем сокращения на $10$:

$\dfrac{20}{30} = \dfrac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \dfrac{\,2\,}{3}$.

Вот еще два полезных соотношения, которые получаются, если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить (или поделить) на $-1$:

\[ \boxed{\quad \frac{-a}{-b} = \frac{\,a\,}{b}; \quad \frac{a}{-b} = \frac{-a}{b} \quad} \]

Взаимно обратные дроби. Если целое число $c$ не равно нулю, то у оператора ${\frac{\,c\,}{d} (...)}$, очевидно, имеется взаимно обратный оператор, равный ${\frac{\,d\,}{c} (...)}$. В самом деле

$\dfrac{\,d\,}{c} \dfrac{\,c\,}{d} = \dfrac{\,c\,}{d} \dfrac{\,d\,}{c} = 1$.

В этом случае говорят также о взаимно обратных дробях или взаимно обратных числах.

Деление числа ${\frac{\,a\,}{b}}$ на число ${\frac{\,c\,}{d}}$ определяется как произведение первого числа на число, обратное ко второму. Такое деление может быть записано в виде «многоэтажной» дроби:

\[ \boxed{\quad \cfrac{~~\cfrac{\,a\,}{b}~~}{~~\cfrac{\,c\,}{d}~~} = \frac{\,a\,}{b} \cdot \frac{\,d\,}{c} \quad} \]

Этот же результат мы получим, если просто умножим числитель и знаменатель нашей «многоэтажной» дроби на $bd$:

$\cfrac{~\cfrac{\,a\,}{b}\,\,bd~}{\cfrac{\,c\,}{d}\,\,bd} = \dfrac{\,ad\,}{cb}$.

Сложение и вычитание дробей естественно определить так, чтобы выполнялось свойство дистрибутивности (которые в школе называется распределительным свойством умножения):

\begin{align*} \Bigl(\frac{\,a\,}{b} + \frac{\,c\,}{d}\Bigr) x &= \frac{\,a\,}{b} x + \frac{\,c\,}{d} x.\\ \Bigl(\frac{\,a\,}{b} - \frac{\,c\,}{d}\Bigr) x &= \frac{\,a\,}{b} x - \frac{\,c\,}{d} x. \end{align*}

Здесь $x$ — любое число или вещь.

Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем. Рассмотрим такую цепочку равенств (для удобства здесь каждый знак равенства дополнен подходящим обоснованием):

\begin{align*} &\frac{\,a\,}{b} + \frac{\,c\,}{b} = \\ &=~ a \cdot \frac{\,1\,}{b} + c \cdot \frac{\,1\,}{b} = &&\text{по определению дроби} \\ &=~ (a + c)\cdot \frac{\,1\,}{b} = &&\text{дистрибутивность} \\ &=~ \frac{a + c}{b}.&&\text{по определению дроби} \end{align*}

Заметим, что эта цепочка равенств осталась бы справедливой, если бы мы в ней всюду поменяли знак «плюс» на знак «минус». Таким образом, мы приходим к следующим правилам:

\[ \boxed{ \begin{align*}\quad\frac{\,a\,}{b} + \frac{\,c\,}{b} &= \frac{a + c}{b} \\ \frac{\,a\,}{b} - \frac{\,c\,}{b} &= \frac{a - c}{b}\quad \end{align*} } \]

Сложение и вычитание дробей с разным знаменателем. Если знаменатели у дробей разные, то прежде чем их складывать, их надо заменить дробями с одинаковым знаменателем. Делается это так:

$\dfrac{\,a\,}{b} + \dfrac{\,c\,}{d} = \dfrac{a\cdot d}{b\cdot d} + \dfrac{c \cdot b}{d\cdot b}$.

Это называется приведением дробей к одинаковому знаменателю. Точно такую же процедуру надо проделать, если мы имеем дело с вычитанием. Общие правила сложения и вычитания выглядят следующим образом:

\[ \boxed{ \begin{align*}\quad\frac{\,a\,}{b} + \frac{\,c\,}{d} &= \frac{ad + cb}{bd} \\ \frac{\,a\,}{b} - \frac{\,c\,}{d} &= \frac{ad - cb}{bd}\quad \end{align*} }\]

Впрочем, во многих конкретных случаях задача сложения или вычитания дробей с разными знаменателями решается несколько проще. Например:

\[ \frac{\,1\,}{3} + \frac{\,1\,}{6} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} + \frac{\,1\,}{6} = \frac{\,2\,}{6} + \frac{\,1\,}{6} = \frac{2 + 1}{6} = \frac{\,3\,}{6} = \frac{1\cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{\,1\,}{2}. \]

Или:

\[ \frac{\,1\,}{4} + \frac{\,1\,}{6} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{\,3\,}{12} + \frac{\,2\,}{12} = \frac{3+2}{12} = \frac{\,5\,}{12}. \]

Противоположные числа. Два рациональных числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Пусть ${\frac{\,a\,}{b}}$ — произвольное рациональное число, тогда число, ему противоположное, обозначается как

$-\dfrac{\,a\,}{b}~~\text{или}~~-(a / b)$.

Очевидно, что

$-\dfrac{\,a\,}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b}$.

Нетрудно также убедиться, что разность чисел ${\frac{\,a\,}{b}}$ и ${\frac{\,c\,}{d}}$ равна сумме чисел ${\frac{\,a\,}{b}}$ и ${-\frac{\,c\,}{d}}$. Действительно, складываем ${\frac{\,a\,}{b}}$ и ${-\frac{\,c\,}{d}}$ и получаем тот же результат, как если бы мы вычисляли разность ${\frac{\,a\,}{b} - \frac{\,c\,}{d}}$:

\[\dfrac{\,a\,}{b} + \Big(-\dfrac{\,c\,}{d}\Big) = \dfrac{\,a\,}{b} + \dfrac{-c}{d} = \dfrac{ad + (-c)b}{bd} = \dfrac{ad -cb}{bd}.\]

Немного о терминологии. Какую часть (или какую долю) число $1$ составляет от числа $7$? Разумеется, одну седьмую, то есть ${\frac{\,1\,}{7}}$. В общем случае дробь ${\frac{\,x\,}{y}}$ говорит нам о том, сколько (и каких) частей число $x$ составляет от числа $y$ ($x$ и $y$ — произвольные рациональные числа, ${y \ne 0}$):

число $2$ составляет $\frac{\,2\,}{3}$ (две трети) от числа $3$

или: $\frac{\,2\,}{3}$ (две трети) от числа $3$ равно $2$;

$\frac{\,3\,}{2}$ (три вторых) от числа $\frac{\,1\,}{3}$ равно $\frac{\,3\,}{2} \frac{\,1\,}{3} = \frac{\,1\,}{2}$

или: число $\frac{\,1\,}{2}$ составляет $\frac{\,1\,}{2} \big/ \frac{\,1\,}{3} = \frac{\,3\,}{2}$ (три вторых) от числа $\frac{\,1\,}{3}$.

Число, выражаемое дробью ${\frac{\,x\,}{y}}$, называют отношением чисел $x$ и $y$. Уже знакомое нам слово частное тоже, разумеется, можно употреблять в этом значении.

Числовая прямая. Рациональные числа удобно ассоциировать с точками на бесконечной прямой. Делается это так. Рисуем прямую линию и с помощью засечек отмечаем на ней в произвольных местах две разные точки. Одна из этих точек символизирует число «ноль», другая — число «единица». (Обычно эту линию чертят горизонтально, а единицу располагают правее нуля, но это необязательно.) Расстояние между этими двумя точками принимаем за единичную длину. Далее, мы равномерно покрываем засечками всю нашу прямую, так чтобы расстояние между соседними засечками равнялось единичной длине, и нумеруем их целыми числами.

Помните, когда мы только начинали говорить о целых числах, мы ассоциировали их со ступеньками лестницы, по которой можно было подняться вверх или спуститься вниз? Теперь же наше представление о числах в очередной раз обогатилось, и они предстали перед нами в виде точек на прямой. Но, как и ранее, мы можем с тем же успехом считать, что числа — это команды по перемещению вдоль линии, и представлять их себе не как засечки, а как протяженные отрезки-стрелочки, у которых есть начало и конец, причем начало совпадает с нулем, а конец приходится на ту или иную засечку:

Знак перед числом («минус» или подразумеваемый «плюс») указывает, в какую сторону направлена стрелочка, а «голое» число без знака представляет собой длину отрезка: оно говорит нам о том, сколько единичных длин укладывается между его началом и концом. Но рисовать стрелочки не так удобно, как засечки, поэтому мы будем всё же пользоваться засечками.

Разделим отрезок между нулем и единицей на две равные части, поставив посередине новую засечку и пометив ее числом $\frac{1}{2}$. Расстояние от нуля до этой засечки задает нам новую длину, равную одной второй от единичной длины. Покроем нашу прямую новой порцией засечек, так чтобы расстояние между соседними засечками равнялось новой длине. Пронумеруем новые засечки целыми числами, приписав к ним через дробную черту знаменатель $2$:

Как и следовало ожидать, часть новых засечек совпала со старыми.

Повторим еще раз эту же процедуру с той разницей, что теперь мы будем делить отрезок между нулем и единицей не на две, а на три части. Для этого нам понадобятся две новые засечки. Берем ту из них, которая ближе расположена к нулю и помечаем ее числом $\frac{1}{3}$. После расстановки и нумерации очередной порции засечек получаем следующую картину (во избежание путаницы тут показаны только дроби со знаменателем $3$):

И так далее и тому подобное. Покажем, пожалуй, еще рисунок с дробями со знаменателем $4$ и на этом остановимся:

Каким бы ни было рациональное число ${\frac{\,a\,}{b}}$, для него обязательно найдется соответствующая точка на нашей числовой прямой. Про эту точку тогда говорят, что ее положение равно ${\frac{\,a\,}{b}}$ (или же ее координата равна ${\frac{\,a\,}{b}}$). Следует только заметить, что если нам попадется дробь с отрицательным знаменателем, например $\frac{\,2\,}{-3}$, то, прежде чем откладывать ее на числовой прямой, мы сократим ее на $-1$:

$\dfrac{\,2\,}{-3} = \dfrac{-2}{\,3\,} = -\dfrac{\,2\,}{3}$.

Спрашивается: а как можно поделить отрезок на какое-нибудь заранее заданное число одинаковых частей? Вообще-то, для этого есть специальная процедура, с которой мы познакомимся, когда будем заниматься геометрией. А пока — мы будем делать это «на глазок» или, еще лучше, мы будем чертить наши рисунки на бумаге в клеточку и заранее выбирать длину единичного отрезка таким образом, чтобы его можно было легко разделить «по клеточкам».

Сравнение рациональных чисел. Проще всего сравнивать числа с нулем. Если некоторое рациональное число ${x = \frac{\,a\,}{b}}$ (точнее, соответствующая ему засечка) располагается на нашей числовой прямой справа от нуля (точнее, с той же стороны, что и единица), то про него говорят, что оно положительное и что оно больше нуля: ${\frac{\,a\,}{b} > 0}$. Если же оно расположено с другой стороны, то оно отрицательное и, соответственно, меньше нуля: ${\frac{\,a\,}{b} < 0}$. Вообще, запись

$x > y$

означает, что число $x$ правее (то есть больше) числа $y$, а одинаковая по смыслу запись

$y < x$

означает, что число $y$ левее (то есть меньше) числа $x$.

Пусть $x$ и $y$ — произвольные рациональные числа, так что ${x = \frac{\,a\,}{b}}$ и ${y = \frac{\,c\,}{d}}$. Как определить, которое из них меньше, а которое больше? Если подходить к делу чисто формально, то можно просто посчитать их разность

$x - y = \dfrac{\,a\,}{b} - \dfrac{\,c\,}{d} = \dfrac{ad - cb}{bd}$.

и сравнить ее с нулем. Если окажется, что результат больше нуля, тогда ${x > y}$. Если результат меньше нуля, тогда ${x < y}$. Для полноты картины следует отметить, что результат может оказаться равен нулю. В этом случае ${x = y}$.

Но если проявлять творческий подход, то оказывается, что во многих случаях дроби можно сравнивать не производя никаких вычислений. Например, сразу видно, что

$\dfrac{\,3\,}{7} < \dfrac{\,4\,}{7}$,

потому что у обеих этих дробей знаменатели одинаковы и — что тоже немаловажно — положительны, а числитель у первой дроби меньше, чем у второй. А как быть, если числители одинаковы, но отрицательны? Как сравнить, например,

$\dfrac{3}{-7}$  и  $\dfrac{4}{-7}$?

Сделаем знаменатели положительными, сократив каждую из дробей на $-1$, и тогда сразу станет ясно, что

$\dfrac{3}{-7} = \dfrac{-3}{7} > \dfrac{-4}{7} = \dfrac{4}{-7}$.

Также нетрудно видеть, что

$\dfrac{\,1\,}{3} < \dfrac{\,1\,}{2}$  и  $-\dfrac{\,1\,}{3} > -\dfrac{\,1\,}{2}$.

Вообще, если у двух положительных дробей числители одинаковы, то меньше та из них, у которых знаменатель больше. У отрицательных дробей — всё наоборот.

Смещение вдоль числовой прямой. Когда мы рассматриваем отдельные рациональные числа, взятые сами по себе, их удобно представлять себе как точки на числовой прямой. Но когда мы переходим к операциям сложения и вычитания, то уместнее говорить о смещениях вдоль этой прямой — точно так же, как мы говорили о прыжках по лестнице, когда имели дело с целыми числами. Пусть, например, нам дан такой пример:

$\dfrac{\,2\,}{3} + \dfrac{\,5\,}{3} = \dfrac{\,7\,}{3}$.

Глядя на числовую прямую, мы можем сказать, что мы начинаем движение из точки $\frac{\,2\,}{3}$, перемещаемся вправо на расстояние $\frac{\,5\,}{3}$ и оказываемся в точке $\frac{\,7\,}{3}$:

Таким образом, первое число в этом примере ($+\frac{\,2\,}{3}$) — это точка, а второе ($+\frac{\,5\,}{3}$) — это команда на смещение. Как мы знаем, числа позволительно интерпретировать и так, и этак. Но если мы хотим единообразия, то мы можем представить себе, что мы начинаем движение из точки $0$ и передвигаемся два раза. Первый раз — на величину $+\frac{\,2\,}{3}$, а второй раз — на величину $+\frac{\,5\,}{3}$. В этом случае оба слагаемых являются командами на смещение. Точка на числовой прямой соответствует тому же числу, что и команда смещения, которая перемещает нас из нуля в эту точку. Если нам даны два рациональных числа, например, $\frac{\,2\,}{3}$ и $\frac{\,7\,}{3}$, то команда, перемещающая нас из первой точки во вторую, — это разность ${\frac{\,7\,}{3} - \frac{\,2\,}{3}}$, в которой из второго числа вычитается первое.

Смещение сохраняет разность между числами. Это значит, что если две точки $x$ и $y$ сместить на одинаковую величину $z$, то разность между новым положением точек останется неизменной:

$(y + z) - (x - z) = y - x$.

Масштабирование. Но числа — это не только точки, не только команды на смещение, это в первую очередь, конечно, операторы умножения, которые меняют количество тех вещей, на которые они действуют. Пока мы имели дело с целыми числами, мы могли только увеличивать это количество, например, из (одной) конфеты сделать $3$ конфеты. Теперь же, благодаря рациональным числам, мы можем менять количество вещей как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, например, три конфеты превратить снова в одну (с помощью оператора $\frac{\,1\,}{3}$), а из одной конфеты получить половинку (с помощью оператора $\frac{\,1\,}{2}$).

Такие команды умножения (или уменьшения) можно, разумеется, применять и к точкам на числовой прямой. Действие этих команд в таком случае называется масштабированием. Например, применяя команду масштабирования $\frac{\,2\,}{3}$ к точке $\frac{\,4\,}{5}$, мы оказываемся в точке

$\dfrac{\,2\,}{3} \dfrac{\,4\,}{5} = \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \dfrac{8}{15}$.

Точка на числовой прямой соответствует тому же числу, что и команда масштабирования, которую надо применить к единице, чтобы попасть в эту точку.

Масштабирование сохраняет отношение между числами. Если одно и то же масштабирование $s$ применить к двум точкам $x$ и $y$, то отношение между их новым положением останется неизменным:

$\dfrac{sx}{sy} = \dfrac{\,x\,}{y}$.

Абсолютная величина (модуль) числа — это то, что мы называли «голым» числом с отброшенным знаком. Если число отрицательное и перед ним стоит знак «минус», то после отбрасывания знака такое число превращается в противоположное. Если перед числом не стоит никакого знака (а подразумевается «плюс»), то отбрасывать, собственно, нечего и число остается самим собой. Модуль числа $x$ обозначается как $|x|$. Формальное определение модуля выглядит следующим образом:

\[ \boxed{\quad |x| = \begin{cases}\phantom{-}x, ~~\text{если}~~ x \geqslant 0;\\ -x, ~~\text{если}~~ x < 0. \end{cases} \quad} \]

Как мы знаем, всякому рациональному числу $x$ соответствует некоторая точка на числовой прямой. Модуль числа $x$ можно понимать как расстояние от этой точки до отметки «ноль». Расстояние между двумя точками, которые соответствуют некоторым произвольным числам $x$ и $y$, равно:

$|x - y| = \begin{cases}x - y, ~~\text{если}~~ x \geqslant y;\\ y - x, ~~\text{если}~~ x < y. \end{cases}$

Расстояние — это величина в любом случае неотрицательная. Расстояние от точки с координатой $x$ до точки с координатой $y$ в точности равно расстоянию от точки с координатой $y$ до точки с координатой $x$. (Ради простоты выражений, допустимо также говорить «расстояние между числами $x$ и $y$».)

Правильные, неправильные и смешанные дроби. Дроби, значение которых по абсолютной величине (по модулю) меньше единицы, называются правильными. Их внешний вид сравнительно легок для восприятия:

$\dfrac{\,1\,}{2},~~ \dfrac{\,3\,}{5},~~ -\dfrac{\,6\,}{7}$  и тому подобное.

Дроби, которые по абсолютной величине больше или равны единице, называются неправильными. Как правило, они воспринимаются на глаз гораздо труднее:

$\dfrac{15}{2},~~ \dfrac{14}{5},~~ -\dfrac{60}{7}$.

Чтобы облегчить восприятие, неправильные дроби часто записывают в виде так называемых смешанных чисел. Делается это следующим образом. Допустим, мы хотим записать в виде смешанного числа дробь

$\dfrac{15}{2}$.

Выполним соответствующее деление с остатком:

$15 : 2 = 7 ~(\text{ост.}~ 1)$.

Результат этого деления можно записать таким образом:

$15 = 2 \cdot 7 + 1$.

Подействуем на обе части этого выражения оператором $\frac{\,1\,}{2}$:

$\dfrac{15}{2} = 7 + \dfrac{\,1\,}{2}$.

Про такую запись говорят, что число $\frac{15}{2}$ выражено в виде суммы целой части $7$ и дробной части $\frac{\,1\,}{2}$. Эту запись иногда сокращают до такого вида:

$\dfrac{15}{2} = 7\dfrac{\,1\,}{2}$  («семь целых и одна вторая»).

То, что стоит в правой части этого равенства, ${7\frac{\,1\,}{2}}$, называется смешанной дробью или смешанным числом. Оно также может быть записано в виде ${7\,^1\!/\!_2}$. Сразу возникает недоуменный вопрос: как же так? Ведь мы до сих пор придерживались обозначений, согласно которым запись ${7\frac{\,1\,}{2}}$ должна означать произведение чисел $7$ и $\frac{\,1\,}{2}$, то есть ${7\cdot\frac{\,1\,}{2}}$, а вовсе не их сумму ${7+\frac{\,1\,}{2}}$. Приходится признать, что такая запись действительно имеет два совершенно разных смысла. Но путаницы всё же, как правило, не возникает, потому что из сопровождающих пояснительных слов бывает ясно, что именно имеется в виду.

Отрицательные смешанные числа записываются следующим образом:

$-\dfrac{60}{7} = -8\,\dfrac{\,4\,}{7}$.

Это на самом деле означает:

$-\dfrac{60}{7} = -8 - \dfrac{\,4\,}{7}$.

Здесь $-8$ это целая часть отрицательного числа, а ${-\frac{\,4\,}{7}}$ это дробная часть.

Запись рациональных чисел в виде смешанных дробей облегчает вычисления при выполнении операций сложения и вычитания, например:

\begin{align*} &\frac{15}{2} + \frac{14}{3} = 7\frac{\,1\,}{2} + 4\frac{\,2\,}{3} =\\ &= \Big(7 + 4\Big) + \Big(\frac{\,1\,}{2} + \frac{\,2\,}{3}\Big) =\\ &= \Big(7 + 4\Big) + \Big(\frac{\,3\,}{6} + \frac{\,4\,}{6}\Big) =\\ &= 11 + \frac{\,7\,}{6} = 11 + 1\frac{\,1\,}{6} = 12\frac{\,1\,}{6}. \end{align*}

Если смешанную дробь требуется перевести обратно в неправильную, то это делается так:

\begin{align*} &12\frac{\,1\,}{6} = \frac{12\cdot 6}{6} + \frac{\,1\,}{6} = \\[1mm] &= \frac{12\cdot 6 + 1}{6} = \frac{72 + 1}{6} = \frac{73}{6}. \end{align*}

Конспект

1. Рациональное число — это дробь ${\frac{\,a\,}{b}}$, где $a$ и $b$ — это целые числа, причем ${b \ne 0}$.

2. Для рациональных чисел определены:

\begin{align*} &\text{умножение}  &\dfrac{\,a\,}{b} \dfrac{\,c\,}{d} &= \dfrac{\,ac\,}{bd},\\ &\text{деление} &\dfrac{\,a\,}{b} \Big/ \dfrac{\,c\,}{d} &= \dfrac{\,a\,}{b} \dfrac{\,d\,}{c},\end{align*}

а также сложение и вычитание

\begin{align*} &\frac{\,a\,}{b} + \frac{\,c\,}{b} = \frac{a + c}{b}, &&\frac{\,a\,}{b} - \frac{\,c\,}{b} = \frac{a - c}{b}\\ &\text{(одинаковые числители)},&&\\ &\frac{\,a\,}{b} + \frac{\,c\,}{d} = \frac{ad + cb}{bd}, &&\frac{\,a\,}{b} - \frac{\,c\,}{d} = \frac{ad - cb}{bd}\\ &\text{(разные числители)}. &&\end{align*}

Для сложения и умножения выполняются свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности (на школьном языке эти свойства называются переместительным, сочетательным и распределительным).

3. Рациональные числа $x$ и $y$ можно сравнивать между собой:  $x$ > $y$, если ${x - y > 0}$;  ${x < y}$, если ${x - y < 0}$;  ${x = y}$, если ${x - y = 0}$.

4. Пусть $x$ и $y$ — рациональные числа. Результат деления ${\frac{\,x\,}{y}}$ называется их отношением (синоним слову частное). Также говорят, что $x$ составляет ${\frac{\,x\,}{y}}$ (икс игрековых частей) от числа $y$, например, число $2$ составляет $\frac{\,2\,}{3}$ (две третьих) от числа $3$.

5. Всякому рациональному числу ${\frac{\,a\,}{b}}$ можно сопоставить определенную точку на числовой прямой, каковая представляет собой прямую линию, где заранее отмечено положение нуля и единицы. Про эту точку тогда говорят, что ее положение равно ${\frac{\,a\,}{b}}$ (или ее координата равна ${\frac{\,a\,}{b}}$). Оператор сложения ${(…) + x}$, где $x$ — рациональное число, задает операцию смещения вдоль числовой прямой. Оператор умножения $x\,(…)$ задает операцию масштабирования. Смещение сохраняет разность между положениями точек. Масштабирование сохраняет отношение между ними.

6. Числа ${\frac{\,a\,}{b}}$ и ${-\frac{\,a\,}{b}}$ называются противоположными. Числа ${\frac{\,a\,}{b}}$ и ${\frac{\,b\,}{a}}$ называются взаимно обратными (${a \ne 0}$, ${b \ne 0}$). Абсолютная величина (модуль) числа $x$ — это число $x$ с отброшенным знаком:

\[|x| = \begin{cases}\phantom{-}x, ~~\text{если}~~ x \geqslant 0;\\ -x, ~~\text{если}~~ x < 0. \end{cases}\]

Расстояние между точками на числовой прямой, которым соответствуют числа $x$ и $y$, определяется как ${|y - x|}$.

7. Дроби, которые по абсолютной величине меньше единицы, называются правильными. Дроби, которые по абсолютной величине больше или равны единице, называются неправильными. Неправильную положительную дробь иногда записывают в виде смешанного числа, которое представляет собой сумму натурального числа (целой части) и правильной дроби (дробной части), при этом знак «плюс», который должен был бы стоять между этими двумя частями, опускается, например, ${\frac{\,7\,}{3} = 2\frac{\,1\,}{3}}$. Неправильная отрицательная дробь также может быть записана в виде смешанного числа: ${-2 \frac{\,1\,}{3} = - 2 - \frac{\,1\,}{3} = -\frac{\,7\,}{3}}$.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Простые задания на понимание терминологии

Перевод смешанной дроби в неправильную

Перевод неправильной дроби в смешанную

Сложение и вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями (только положительные числа)

Сложение смешанных дробей с одинаковыми знаменателями (положительные и отрицательные числа)

Сравнение дробей

Сложение и вычитание смешанных дробей с разными знаменателями (только положительные числа)

Сложение смешанных дробей с разными знаменателями (положительные и отрицательные числа)

Умножение и деление дробей

Повторение предыдущего

 

 

 

Вопросы и комментарии

3 декабря, 2016 - 01:10

Гость

Здравствуйте Леонид. А как выделить целую часть у отрицательного рационального числа. Например у меня есть число -4/3 (минус четыре третьих). Я выделяю целую часть, получаю -1и1/3. Но я не могу обратно перевести это смешанное число в неправильную дробь. Получаю (-1*3+1)/3 (минус одну третью) вместо положенных четырех третьих

3 декабря, 2016 - 11:54

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

-4/3 = -(4/3) = -(1+1/3) = -1 1/3
-1 1/3 = -(1+1/3) = -(4/3) = -4/3