3.5. Деление «уголком»

Деление «уголком» — это, на мой взгляд, самая тяжелая, самая нудная тема во всей школьной математике. Тут нам придется всерьез поднапрячься. Пусть, однако, нас вдохновляет мысль, что весь последующий материал будет значительно легче и приятнее.

Прежде всего, рассмотрим деление на однозначное число. Допустим, мы хотим вычислить значение выражения

$648 / 2$.

Пользуясь свойствами умножения, мы можем расписать делимое таким образом:

$648 =$

 $6$ $\,\cdot\,100~+$  $4$ $\,\cdot\,10~+~$ $8$ $~=$

 $3$ $\,\cdot\,$ $2$ $\,\cdot\,100~+~$ $2$ $\,\cdot\,$ $2$ $\,\cdot\,10~+~$ $4$ $\,\cdot\,$ $2$ $~=$

$($ $3$ $\,\cdot\,100~+~$ $2$ $\,\cdot\,10~+~$ $4$ $)\,\cdot\,$ $2$ $~=$

 $3$  $2$  $4$ $\,\cdot\,$ $2$ .

После этого становится очевидно, что частное от деления равно

$648 / 2 = 324$.

Но это мы взяли самый что ни на есть простейший случай, когда каждую отдельно взятую цифру делимого можно поделить на делитель. А вот пример несколько посложнее:

$156 / 2 =$ ?

Здесь первая цифра оказалась меньше делителя. Поэтому, расписывая делимое, мы не будем отрывать ее от второй цифры:

$156~=$

 $15$ $\,\cdot\,10~+~$ $6$ .

Поскольку число  $15$  не делится нацело на $2$, придется нам прибегнуть к делению с остатком. Представим результат такого деления в виде:

 $15$ $~=~$ $7 \cdot 2$ $~+~$ $1$ $~=~$ $14$ $~+~$ $1$ .

Теперь мы можем продолжать расписывать наше делимое дальше:

$156 =$

 $15$ $\,\cdot\,10~+~$ $6$  =

( $14$ $~+~$ $1$ )$\,\cdot\,10~+~$ $6$ $~=$

 $14$ $\,\cdot\,10~+~$ $1$ $\,\cdot\,10~+~$ $6$ $~=$

 $14$ $\,\cdot\,10~+~$ $16$ $~=$

 $7$ $\,\cdot\,$ $2$ $\,\cdot\,10~+~$ $8$ $\,\cdot\,$ $2$ $~=$

( $7$ $\,\cdot\,10~+~$ 8 )$\,\cdot\,$ $2$ $~=$

 $7$  $8$ $\,\cdot\,$ $2$ .

Отсюда моментально получаем ответ:

$156 / 2 = 78$.

Такого рода расчеты можно проводить в уме и сразу же писать ответ. Но мы сейчас перепишем их в виде краткой таблицы. Умение составлять такие таблицы нам пригодится, когда мы займемся делением на многозначные числа, когда всё окажется не так просто. Делимое и делитель запишем так:

При делении первых двух разрядов ( $15$ ) на двойку получается  $7$  плюс еще какой-то остаток. С этим остатком мы разберемся чуть позже, а пока запишем  семерку  под чертой снизу от делителя (здесь у нас со временем будет выписан полный ответ):

Умножаем на эту  семерку  наш делитель ( $2$ ) и записываем ответ ( $14$ ) под первыми двумя разрядами делимого ( $15$ ):

Теперь настало время вычислить остаток от деления  $15$  на  $2$ . Он равен, очевидно,

 $15$ $~-~$ $2$ $\,\cdot\,$ $7$ $~=~$ $15$ $~-~$ $14$ .

У нас уже всё подготовлено, чтобы выполнить это вычитание «столбиком»:

У нас получается  единица , к которой мы приписываем  шестерку  из следующего разряда делимого:

В результате такого приписывания у нас получается число  $16$ . Мы делим его на наш делитеть ( $2$ ) и получаем  $8$ . Эту  восьмерку  пишем в строке ответа, под чертой снизу от делителя:
 

Ответ мы получили, однако правила составления таблицы таковы, что нам надо добавить в нее еще две строки. Мы должны формальным образом убедиться, что не потеряли остаток от деления. Умножаем делитель ( $2$ ) на последнюю цифру ответа ( $8$ ), приписываем результат ( $16$ ) снизу к нашей таблице в последние два разряда делимого:

Вычитаем последнюю строку из предпоследней и получаем $0$:

Этот последний ноль есть не что иное, как остаток от деления, который образовался бы в том случае, если бы мы рассматривали деление с остатком:

$156 : 2 = 78~(\text{ост.}~0)$.

Чтобы получше это понять, возьмем похожий пример, в котором, однако, остаток не равен нулю:

$157 : 2 = 78~(\text{ост.}~1)$.

Таблица для этого примера выглядит так:

Здесь, опять-таки, остаток стоит в последней строке. Для полноты картины распишем наше делимое в таком виде:

$157~=$

 $14$ $\,\cdot\,10~+~$ $17$ $~=$

 $7$ $\,\cdot\,$ $2$ $\,\cdot\,10~+~$ $8$ $\,\cdot\,$ $2$ $~+~1~=$

( $7$ $\,\cdot\,10~+~$ $8$ )$\,\cdot\,$ $2$ $~+~1~=$

 $7$  $8$ $\,\cdot\,$ $2$ $~+~1$

Теперь мы готовы к тому, чтобы делить (нацело или с остатком) на многозначные числа. Это делается при помощи подобной же таблицы (именно из-за ее особого вида данная процедура получила название деление «уголком»). Допустим, требуется выполнить деление с остатком:

$135674 : 259~=~$?

Приступаем к заполнению таблицы:

В данном случае, чтобы найти первую цифру частного, надо взять первые четыре цифры делимого ( $1356$ ) и получившееся число поделить (с остатком) на делитель ( $259$ ). Почему надо взять именно первые четыре цифры делимого? Потому что если бы мы взяли хотя бы на одну цифру меньше, то получившееся число ( $135$ ) оказалось бы меньше делителя ( $259$ ), а это не то, что нам надо. Итак, возьмем первые четыре цифры делимого и рассмотрим следующее деление с остатком:

 $1356$  :  $259$  = ?

Тут нам помогут приближенные вычисления, для которых, как мы знаем, вовсе необязательно, чтобы числа делились друг на друга нацело:

 $1356$  /  $259$ $~\approx 1356 / 300 \approx 1500 / 300 = 15 / 3~=~$ $5$ .

Зная результат приближенного деления, мы можем предположить, что, скорее всего,

 $1356$  :  $259$  =  $5$  (остаток — пока неважно какой).

Конечно, абсолютной уверенности у нас нет. Здесь вместо  пятерки  вполне может стоять  четверка  или  шестерка , однако вряд ли мы ошиблись больше, чем на одну единицу. Имея это в виду, тем не менее берем эту  пятерку  и заносим ее в нашу таблицу в строку ответа. После этого умножаем на нее делитель ( $259$ ) и при этом записываем ответ под делимым в подходящие разряды:

Здесь «маленькие» цифры — это побочный продукт процедуры умножения: мы познакомились с ними, когда учились умножать «в столбик». После того как умножение выполнено, они становятся больше не нужны: на них можно просто не обращать внимания. Выражение  $259$  ∙  $5$ , написанное слева от таблицы, помещено сюда только ради пояснения того, что мы делаем. К таблице оно, собственно, не принадлежит, и в будущем мы такие пояснения выписывать не будем. Тут важно отметить, что результат нашего умножения  $1295$  оказался меньше записанного над ним числа  $1356$ , составленного из первых четырех цифр делимого. Если бы это было не так, то это означало бы, что приближенное деление дало нам завышенный результат. Нам надо было бы тогда зачеркнуть  пятерку  в строке ответа, на ее место поставить  четверку  — после чего зачеркнуть и переделать все наши последующие вычисления. Но нам на этот раз повезло, и ничего переделывать не требуется.

Теперь выполняем вычитание в столбик и получаем:

Внимательно приглядимся к полученной разности ( $61$ ). Очень важно, что она оказалась меньше делителя ( $259$ ). В противном случае мы пришли бы к выводу, что приближенное деление дало нам заниженный результат и нам пришлось бы теперь исправлять в строке ответа  пятерку  на  шестерку , а также переделывать все последующие вычисления. К счастью, этого не случилось. Приближенное вычисление нас не подвело, и мы теперь совершенно точно знаем, что,

 $1356$  :  $259$  =  $5$  (ост.  $61$ ).

Возвращаемся к таблице. К нашему остатку ( $61$ ) приписываем  семерку  из следующего разряда делимого и приступаем к нахождению второй цифры ответа. Это делается с помощью точно такой же процедуры, что и раньше. Потом — очередь за третьей цифрой. В конце концов таблица принимает такой вид:

Можно выписывать окончательный ответ:

$135674 : 259 = 523~(\text{ост}.~217)$.

Самая большая неприятность в делении «уголком» состоит в том, что приближенные вычисления, к которым приходится прибегать по ходу дела, не дают сразу гарантированно правильного результата и нуждаются иногда в последующей коррекции. Впрочем, по мере тренировки, у нас выработается особое чутье и мы будем уже сразу почти наверняка знать, какие цифры следует писать в строке ответа, чтобы потом ничего больше не надо было исправлять и переделывать.

Разумеется, нам будут попадаться случаи, когда частное содержит нули. Каждый такой ноль позволит сделать в таблице небольшие сокращения. Вот пример такой таблицы:

Как и в случае умножения «в столбик», для того чтобы было удобнее писать «маленькие» цифры, нам может понадобиться

лист со специальной линовкой для вычислений (формат pdf).

Теперь остается только тренироваться, тренироваться и тренироваться.

Конспект

Деление «уголком». Рассмотрим пример:

делимое : делитель = частное (остаток такой-то).

Наша задача — найти частное и остаток, если известны делимое и делитель. Решаем эту задачу в несколько шагов, на каждом из которых мы находим одну цифру частного.

Шаг первый. Берем в делимом столько цифр спереди, чтобы они составляли число, которое при делении на делитель дает однозначное число и еще какой-то (промежуточный) остаток. Выполнив такое деление, выписываем полученное однозначное число в качестве первой цифры частного, а к промежуточному остатку приписываем в конец первую из оставшихся цифр делимого. В результате такого приписывания мы получаем число, которое мы передаем для дальнейшей «обработки» во второй шаг.

Шаг второй. Число, поступившее для «обработки» из предыдущего шага, делим на делитель. В результате получаем однозначное число и какой-то еще промежуточный остаток. Однозначное число мы записываем в качестве следующей цифры частного, а к промежуточному остатку приписываем в конец первую из оставшихся цифр делимого и передаем получившееся число для дальнейшей «обработки» в следующий шаг.

Описание последующих шагов в точности совпадает с описанием второго шага. Мы останавливаемся, когда в делимом больше не остается цифр для приписывания к очередному промежуточному остатку. К этому времени частное оказывается полностью выписанным, а последний промежуточный остаток и есть окончательный остаток в нашем исходном примере. 

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Деление нацело на однозначное число

Деление с остатком на однозначное число

Деление с остатком на однозначное число с возможным «приписыванием» нулей

Деление нацело на двузначное число

Деление с остатком на двузначное число

Деление нацело на трехзначное число

Деление с остатком на трехзначное число