Образовательный проект Леонида Некина

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

3.13. Приближенные вычисления с десятичными дробями

Округление десятичных дробей

Иметь дело с периодическими десятичными дробями очень неудобно. Зато их легко можно округлить с точностью до любого разряда. Округление производится фактически по тем же правилам, по которым мы раньше округляли целые числа, при этом на запятую можно как бы не обращать внимание. Вот примеры округления до разряда сотых (или, как еще говорят, до двух знаков после запятой):

$\begin{align*} 1 / 3 &= \phantom{0}0,333333 ... \approx \phantom{0}0{,}33; \\ 20 / 3 &= \phantom{0}6,666666 ... \approx \phantom{0}6{,}67; \\ 270 / 11 &= 24,545454 ... \approx 24{,}55. \end{align*}$

Здесь все разряды, следующие после разряда сотых, оказались зануленными, и мы их просто отбросили.

Разумеется, округлять можно и непериодические дроби, если у них после запятой стоит слишком много «избыточных» знаков:

$1{,}23456789 \approx 1{,}23$.

Если в результате округления на месте последнего сохраняемого разряда оказывается ноль, то этот ноль принято выписывать явным образом:

$\begin{align*} &1{,}201 \approx 1{,}20; \\ &1{,}199 \approx 1{,}20. \end{align*}$

Здесь в обоих примерах концевой ноль указывает на то, что округление производилось именно с точностью до двух знаков после запятой, а не до одного. Таким образом, если

$a \approx 1{,}20$,

то, согласно правилам округления, это значит, что

$1{,}195 \leqslant a < 1{,}205$.

А если бы мы написали, что

$a \approx 1{,}2$,

то это бы означало:

$1{,}15 \leqslant a < 1{,}25$.

Стандартное представление чисел

Давайте вспомним, как мы раньше округляли целые числа. Округление до двух значащих цифр могло выглядеть так:

$123\,456 \approx 120\,000$,

а округление до пяти значащих цифр — так:

$120\,001 \approx 120\,000$.

При этом по виду ответа никак нельзя было определить, сколько значащих цифр он содержит, иначе говоря, мы не могли ответить на вопрос, с какой точностью проведено округление. Теперь, познакомившись с десятичными дробями, мы можем сделать запись более информативной (а во многих случаях и более компактной):

$123 456 \approx 1{,}2 \cdot 10^5$;

$120 001 \approx 1{,}2000 \cdot 10^5$.

Здесь результаты округления записаны в так называемом стандартном представлении. В общем случае стандартное представление числа $x$ имеет такой вид:

$x = a \cdot 10^n$.

Здесь показатель степени $n$ — это некоторое целое число, а первый сомножитель $a$ представляет собой десятичную дробь, у которой все цифры являются значащими и абсолютная величина находится в пределах от $1$ (включительно) до $10$ (не включительно):

$1 \leqslant |a| < 10$.

Десятичная дробь $a$ называется мантиссой числа $x$, а $n$ — его порядком. Вот еще два примера записи чисел в стандартном представлении:

$\begin{align*} -1\,200\,000 &= -1{,}2 \cdot 10^6~~\text{(«минус один и два на десять в шестой»)} \\ 0{,}00105 &= 1{,}05 \cdot 10^{-3}~~\text{(«один-ноль-пять на десять в минус третьей»)}. \end{align*}$

Если порядок $n$ равен нулю, то сомножитель $10^n$ можно опустить:

$9{,}8700$.

Заметим, что число ноль в стандартном представлении записать нельзя. Вместо этого пользуются обычной записью: $0$ или $0{,}0$.

Приближенное умножение, сложение и вычитание десятичных дробей легко сводится к соответствующим приближенным операциям с целыми числами. Здесь действует то же правило, что и раньше. Перед умножением двух чисел мы округляем их до одинакового числа значащих цифр, и в точности до такого же числа значащих цифр округляем полученный ответ. Вот пример вычисления с точностью до двух значащих цифр:

$\begin{align*} &687{,}9 \cdot 0{,}267 \approx 690 \cdot 0{,}27 = 69 \cdot 10^1 \cdot 27 \cdot10^{-2} = \\ &= 69 \cdot 27 \cdot 10^{1-2} = 1863 \cdot 10^{-1} \approx 1900 \cdot 10^{-1} = \\ &= 1{,}9 \cdot 10^3 \cdot 10^{-1} = 1{,}9 \cdot 10^2; \end{align*}$

Когда мы складываем или вычитаем, то округление проводится до одинакового разряда, причем особую осторожность надо проявлять при вычитание близких друг к другу чисел:

$\begin{align*} &61{,}238 + 0{,}345678 \approx 61{,}2 + 0{,}3 = 61{,}5; \\ &61{,}238 - 0{,}345678 \approx 61{,}2 - 0{,}3 = 60{,}9; \end{align*}$

$7{,}6543 - 7{,}6457 \approx 7{,}654 - 7{,}646 = 0{,}008$.

А как быть, если в ходе умножения мы хотим получить ответ с точностью не до определенного числа значащих цифр, а до определенного разряда (например, для того чтобы использовать его в операции сложения)? Пусть, например, от нас требуется вычислить следующее арифметическое выражение с точностью до трех знаков после запятой:

$0{,}1234 \cdot 0{,}5678 + 0{,}123456$.

В этом случае мы вначале делаем грубую оценку результата умножения:

$0{,}1234 \cdot 0{,}5678 \approx 0{,}1 \cdot 0{,}6 = 0{,}06$.

Округлив сомножители до одной значащей цифры, мы получили ответ с точностью до двух знаков после запятой, а нам нужно три знака. Одного знака недостает. Поэтому, если при округлении сомножителей мы сохраним на один знак больше, то как раз и получим требуемую точность:

$\begin{align*} &0{,}1234 \cdot 0{,}5678 + 0{,}123456 \approx 0{,}12 \cdot 0{,}57 + 0{,}123 = \\ &= 0{,}0684 + 0{,}123 \approx 0{,}068 + 0{,}123 = 0{,}191. \end{align*}$

Замечание. Следует иметь в виду, что грубая оценка (как, впрочем, и всякое приближенное вычисление) не всегда обеспечивает правильный порядок результата. Пусть, например, мы хотим вычислить произведение $0{,}9444 \cdot 1{,}444$ с точностью до двух знаков после запятой. Делаем сначала грубую оценку:

$0{,}9444 \cdot 1{,}444 \approx 0{,}9 \cdot 1 = 0{,}9$.

До требуемой точности нам не хватает одной значащей цифры. Добавляем при округлении одну значащую цифру и получаем:

$0{,}9444 \cdot 1{,}444 \approx 0{,}94 \cdot 1{,}4 = 1{,}316 \approx 1{,}3$.

Опять не хватает одной значащей цифры! Придется перечитывать с еще большей точностью:

$0{,}9444 \cdot 1{,}444 \approx 0{,}944 \cdot 1{,}44 = 1{,}35936 \approx 1{,}36$.

И только теперь мы получили желаемые два знака после запятой.

Иногда бывает нужно вычислить сумму или разность с точностью не до определенного разряда, а до определенного числа значащих цифр. Хотя сформулировать формальное правило на этот счет было бы не так-то просто, практических трудностей такие вычисления обычно не вызывают. Вот пример арифметического выражения, содержащего произведение и разность, которое рассчитано с точностью до двух значащих цифр:

$\begin{align*} &0{,}123 \cdot (456{,}78 - 449{,}876) \approx 0{,}12 \cdot (456{,}8 - 449{,}9) = \\ &=0{,}12 \cdot 6{,}9 = 0{,}828 \approx 0{,}83. \end{align*}$

Приближенное деление

Допустим, мы хотим найти результат деления

$\dfrac{12345}{6789}$

с точностью до двух значащих цифр. Для этого мы могли бы с помощью деления «уголком» вычислить первые три цифры ответа:

$\dfrac{12345}{6789} = 1{,}81... $,

а потом по всем правилам округлить результат до требуемой точности:

$\dfrac{12345}{6789} = 1{,}81... \approx 1{,}8$.

Но мы так делать не будем. Гораздо удобнее, прежде чем приступать к трудоемкой операции деления, сперва округлить делимое и делитель. При этом в каждом из них нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их должно быть в ответе. В данном случае, должно остаться по две значащие цифры:

$12345 \approx 12000$;

$6789 \approx 6800$.

Почему именно так? Давайте вспомним о приближенном умножении. Мы знаем, что если его выполнять по всем правилам, то число значащих цифр у обоих сомножителей и у их произведения оказывается одинаковым. Мы знаем также, что пример на умножение

$a \cdot b = c$

легко превращается в пример на деление с теми же числами:

$c / a = b$.

Поэтому правило «одинакового числа значащих цифр» остается справедливым и в случае деления.

Итак, мы имеем:

$\dfrac{12345}{6789} \approx \dfrac{12000}{6800} = \dfrac{120}{68}$.

Теперь выполняем деление «уголком»:

 

 $1$ 

 $2$

 $0$

 $6$

 $8$

   

 

 $6$

 $8$

 $1,$

 $7$ 

 $6$ 

 

 $5$

 $2$

 $0$

 

 

 

 $4$ 

 $7$ 

 $6$

 

 

 

 

 $4$

 $4$

 $0$

 

 

 

 $4$

 $0$

 $8$

 

 

 

 

 $3$

 $2$

 

Отсюда:

$\dfrac{12345}{6789} \approx \dfrac{120}{68} = 1{,}76... \approx 1{,}8$.

Мы получили в точности тот же ответ, что и раньше. Однако в общем случае ответы могут немного отличаться. Допустим, мы хотим получить частное от деления тех же чисел с точностью до одной значащей цифры. После округления точного результата деления ответ оказывается таким:

$\dfrac{12345}{6789} = 1{,}8... \approx 2$.

Если же мы вначале округлим делимое и делитель и только потом выполним деление, то ответ будет другим:

$\dfrac{12345}{6789} \approx \dfrac{10000}{7000} = \dfrac{10}{7} = 1{,}4... \approx 1$.

Но подобные расхождения, как мы знаем, для приближенных вычислений — в порядке вещей.

Вычислим теперь следующее частное с точностью до двух значащих цифр:

$\dfrac{1234{,}5}{0{,}6789}$.

Делается это так:

$\dfrac{1234,5}{0,6789}~\approx$ округляем числитель и знаменатель

$\approx \dfrac{1200}{0,68} ~=$ переписываем в более удобном виде

$=~\dfrac{120 \cdot 10^1}{68 \cdot 10^{-2}}~=$ «отсоединяем» степени десяти

$=~\dfrac{120}{68} \cdot 10^1 \cdot 10^2~=$ выполняем деление

$=~1{,}76... \cdot 10^3~\approx$ округляем

$\approx~1{,}8 \cdot 10^3$.

В общем случае, пусть $x$ и $y$ — произвольные десятичные дроби (${y \ne 0}$). Тогда их частное $x/y$ вычисляется с точностью до $k$ значащих цифр следующим образом.

Округлим каждое из чисел $x$ и $y$ до $k$ значащих цифр и представим результат в виде

$x \approx a \cdot 10^n$,

$y \approx b \cdot 10^m$,

где $a$, $b$, $n$ и $m$ — целые числа (для удобства последующего деления число $a$ может содержать концевые нули). Теперь находим частное чисел $a$ и $b$, округленное до $k$ значащих цифр:

$c \approx a / b$.

Результат деления $x$ на $y$ равен

$x / y \approx c \cdot 10^{n-m}$.

Конспект

1. Округление десятичных дробей производится по тем же правилам, что и для целых чисел, — с той разницей, что зануляемые младшие разряды, если они находятся после запятой, отбрасываются. Концевые нули сохраняются, однако, в том случае, если они содержат информацию о том, с какой точностью производилось округление.

2. Стандартное представление чисел: $x = a \cdot 10^n$, где $a$ — десятичная дробь, такая что ${1 \leqslant |a| < 10}$, а $n$ — целое число. При этом $a$ называется мантиссой, а $n$ — порядком числа $x$. Если число записано в стандартном представлении, то, благодаря возможности дописывать концевые нули, всегда может быть указано, с какой точностью оно приведено. Например, точность числа ${2{,}30 \cdot 10^5}$ составляет три значащие цифры. Ноль в стандартном представлении записать нельзя.

3. Приближенное сложение, вычитание и умножение десятичных дробей сводится к соответствующим операциям с целыми числами.

4. Приближенное деление. Пусть $x$ и $y$ — произвольные десятичные дроби (${y \ne 0}$). Округляем их до $k$ значащих цифр и представляем результат в виде ${x \approx a \cdot 10^n}$, ${y \approx b \cdot 10^m}$, где $a$, $b$, $n$ и $m$ — целые числа. Пусть $c$ — частное чисел $a$ и $b$, округленное до $k$ значащих цифр: ${c \approx a / b}$. Тогда (также с точностью до $k$ значащих цифр): ${x / y \approx c \cdot 10^{n-m}}$.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Примеры с десятичными дробями на приближенные вычисления, одно арифметичесое действие

То же, три действия

То же, пять действий

То же, пять действий (многоэтажная запись, LaTeX)

 

 

 

Вопросы и комментарии

12 декабря, 2019 - 21:02

Гость

Как правильно записать число 4786, в котором верные первые две цифры, а остальные приближенные? 47*10^2 или 48*10^2

 Ответить  

18 ноября, 2016 - 21:22

ольга

вычислить 0,8(3)+0,1(6)

 Ответить  

19 января, 2014 - 22:54

диана

очегь красиво мне понравилось

 Ответить  

25 октября, 2013 - 03:25

Антон

Вопрос к редакторам сайта, тема будет развиваться? Если да, то когда к примеру выйдет раздел [3.14. Размерности]

25 октября, 2013 - 14:52

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

У этого сайта нет редакторов, а есть только автор. Учебник математики я планирую продолжить дальше, но жестких временных планов у меня нет. Если у Вас есть вопросы - можете их задавать. Глядишь, на основе вопросов и ответов дело пойдет быстрее. Вы можете и сами написать интересующую Вас главу (нет лучшего способа учиться, чем самому писать учебники). Тогда я действительно из автора превращусь в редактора.

 Ответить