Образовательный проект Леонида Некина

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

3.14. Единицы измерения и размерность

Единицы измерения

Я уже не раз говорил, что число, само по себе, — это ничего не значащая бессмыслица. Иногда это становится особенно очевидно. Допустим, мы зашли в ювелирный магазин и увидели там красивый камушек.

— Сколько он стоит? — хотим мы знать.

— Пятьдесят, — отвечают нам.

Удовлетворил ли такой ответ наше любопытство? — Нет, потому что «пятьдесят» бывают разные, например:

50 копеек,

50 рублей,

50 тысяч рублей.

Пояснительные слова (такие как копейки, рубли, тысячи рублей), стоящие при числах и придающие им смысл, называются единицами измерения или же просто единицами. Число вместе с сопутствующей ему единицей измерения называется величиной. При решении практических задач, опускать единицы измерения допустимо только в том случае, если мы заранее договоримся, какие именно единицы мы используем. Например, мы могли бы спросить:

— Сколько рублей стоит этот камушек?

Тогда ответ: «Пятьдесят», — оказался бы вполне осмысленным и исчерпывающим.

Рассмотрим такую задачу. У Дениса в одном кармане — 1,5 тысяч рублей, а в другом — еще 300 рублей. Спрашивается, сколько всего у Дениса денег? Очевидно, содержимое обоих карманов надо сложить, и чисто формально решение задачи можно записать так:

1,5 тыс. руб. + 300 руб.

С практической точки зрения, однако, подобное решение является неудовлетворительным. Допустим, мы хотим проделать вычисления с помощью калькулятора. В калькулятор нельзя ввести никаких единиц измерения, а только «голые» числа. Как тут быть? Очевидно, единицы измерения придется просто отбросить. Но не так:

1,5 + 300,

потому что в этом случае получается полная чушь. Нам нужно, прежде всего, договориться об общей единице измерения для обоих слагаемых. Пусть это будет, например, рубль. Мы знаем, что

тыс. руб. = 1000 руб.

Поэтому, сделав подстановку, мы можем переписать нашу сумму в таком виде:

1,5 тыс. руб. + 300 руб. =

1,5 ∙ 1000 руб. + 300 руб. =

1500 руб. + 300 руб.

Таким образом, мы выразили все слагаемые в одинаковых единицах измерения, а именно — в рублях. Теперь эти единицы измерения позволительно отбросить, чтобы проделать вычисления на калькуляторе:

1500 + 300 = 1800.

Получив численный ответ, мы восстанавливаем отброшенную ранее единицу измерения и получаем окончательно

1800 руб.

Подобным же образом задачу можно решить, проделав вычисления в тысячах рублей:

1,5 тыс. руб. + 300 руб. = (делаем подстановку) =

1,5 тыс. руб. + 300 ∙ 0,001 тыс. руб. = (упрощаем) =

1,5 тыс. руб. + 0,3 тыс. руб. = (отбрасываем ед. измерения) =

1,5 + 0,3 = (считаем на калькуляторе) =

1,8 = (восстанавливаем ед. измерения) =

1,8 тыс. руб.

 

Или же в копейках:

1,5 тыс. руб. + 300 руб. =

1,5 ∙ 100000 коп. + 300 ∙ 100 коп. =

150000 коп. + 30000 коп. =

150000 + 30000 =

180000 =

180000 коп.

Ответ мы во всех случаях получили одинаковый, потому что

1800 руб. = 1,8 тыс. руб. = 180000 коп.

На этих примерах мы видим, что

единицы измерения ведут себя как параметры, которые принимают разные числовые значения в зависимости от того, какую единицу измерения мы используем в численных расчетах.

Если мы проводим расчеты в рублях, тогда

руб. = 1,

тыс. руб. = 1000.

Если мы проводим расчеты в тысячах рублей, тогда

руб. = 0,001,

тыс. руб. = 1.

А если расчеты проводить в копейках, то

коп. = 1,

руб. = 100,

тыс. руб. = 100000.

Это наблюдение имеет первостепенную важность, потому что оно дает нам возможность обращаться с единицами измерения так, как если бы они были числами. Например, обретает смысл выражение

3 руб. ∙ 5.

Действительно, если мы условимся проводить вычисления в рублях, то руб. = 1, и тогда

3 руб. ∙ 5 = 3 ∙ 5 = 5 + 5 + 5 = 15 = 15 руб.

Теперь мы, наконец, можем во всех случаях с полным правом пользоваться коммутативностью (перестановочностью) умножения:

ab = ba,

не заботясь о том, что именно подразумевается под параметрами a и b: разы, рубли, люди, поросята или что-то еще.

Более того, на единицы измерения можно делить. Допустим, мы купили 5 кг картошки, уплатив за покупку 100 руб. Тогда цена картошки равна

 100 руб.

 = 20 

 руб. 

,

    5 кг

   кг

то есть двадцать рублей за килограмм. Теперь мы можем, например, рассчитать, сколько денег придется уплатить за 10 кг картошки:

20 

 руб. 

 ∙ 10 кг = 

 20 руб ∙ 10 кг 

 =

   кг

          кг

20 руб. ∙ 10 = 200 руб.

В ходе этих вычислений мы сократили дробь на «кг», как это мы раньше проделывали с обычными числами и параметрами.

Перевод из одной единицы измерения в другую

Допустим, к нам в гости приехал иностранец, и он плохо представляет себе, что означает, что цена картошки равна 20 руб./кг. Он просит нас перевести эту цену в евро за центнер (€/ц). При этом известно, что

1 € = 50 руб.,

1 ц = 100 кг.

Просьбу нашего гостя можно исполнить двумя способами.

Первый способ — подстановка. Мы, собственно, этим способом уже пользовались раньше. Сперва мы должны выразить рубли через евро, а килограммы — через центнеры:

1 руб. = (1/50) € = 0,02 €,

1 кг = (1/100) ц = 0,01 ц.

Выполняем подстановку и получаем:

20 

 руб. 

 = 20 

 0,02 € 

 = 40 

 € 

 .

   кг

 0,01 ц

 ц

Второй способ — «умножение на единицу». Удобство этого способа заключается в том, что нам не нужно выражать рубли через евро, а килограммы через центнеры. Достаточно заметить, что

    1 €

 = 1,

 50 руб.

 

 100 кг

 = 1.

   1 ц

Умножаем исходную величину на единицы, записанные в таком виде, и получаем:

 20 

 руб.

 =

  кг

 

20 

 руб. 

 ∙ 

    1 € 

 ∙ 

 100 кг 

 =

   кг

 50 руб. 

    1 ц

 

 40 

 €

 .

 ц 

Второй способ является несколько более интеллектуальным, так как надо еще сообразить, в каком виде записать единицы, чтобы «лишние» единицы измерения благополучно сократились.

Размерность

Размерность численной величины — это фактически то же самое, что и единица измерения. Различие между этими двумя понятиями состоит в том, что они употребляются в разных ситуациях.

Допустим, цена картошки в ближайшем магазине равна 20 руб./кг, а в каком-нибудь американском супермаркете картошку продают по цене 0,5 долларов за фунт ($/ф.) Тогда мы говорим, что цена картошки выражена в разных единицах. Это различие вызвано тем, что мы пока не договорились с американцами о том, чтобы использовать одинаковые единицы измерения для количества денег и веса картошки.

Но допустим, что такой договор был достигнут, и для удобства российских туристов цена на картошку в американском супермаркете стала указываться как 40 руб./кг. Побывав в этом супермаркете, покупатель может, например, купить 3 кг картошки, заплатив за покупку 120 руб. Выпишем приведенные числа еще раз:

Цена картошки: 40 руб./кг.

Вес картошки: 3 кг.

Количество денег: 120 руб.

Принято говорить, что перечисленные величины имеют разный смысл и разные размерности. Действительно, руб./кг ≠ кг ≠ руб. Если размерности не совпадают, то их невозможно сделать одинаковыми никакими договорами, никакими переводами из одних единиц измерения в другие. Числа, имеющие разные размерности, нельзя складывать ни при каких обстоятельствах. Например, следующие суммы представляют из себя полный абсурд:

3 кг + 120 руб.,

40 руб./кг + 3 кг.

Спрашивается: а можно ли сказать, что «120 рублей» и «3 доллара» имеют одинаковую размерность? Нет, так говорить было бы неправильно, потому что понятием «размерность» можно пользоваться лишь после того, как мы договоримся применять одинаковые единицы измерения всегда, когда это только возможно.

Представление о размерности оказывается чрезвычайно полезным при решении задач. Например, нас спрашивают: сколько картошки можно купить на 100 руб., если она стоит 20 руб./кг? Допустим, мы вообще не поняли смысла задачи. Тем не менее, мы запросто можем написать правильный ответ. В самом деле: нам даны два числа: 100 руб. и 20 руб./кг. Поскольку размерности у них разные, мы не можем ни складывать их, ни вычитать друг из друга. Остается только умножать или делить. Попробуем для начала умножить:

 100 руб. ∙ 20 

 руб. 

 = 2000 

 руб.2

 .

   кг

   кг

По размерности полученного ответа (руб.2/кг) мы сразу же видим, что он неверен, потому что количество картошки никак не может выражаться в таких диковинных единицах. Попробуем деление:

  20 

 руб.

 

   кг

 = 0,2 

 1

.

 

 

 100 руб. 

 

 кг 

И снова размерность результата (1/кг) говорит нам о том, что мы оказались на ложном пути. У нас остается последняя возможность — воспользоваться делением еще раз, поменяв местами числитель и знаменатель:

 

 

 100 руб. 

 

 = 5 кг.  

   20 

 руб.

 

  кг

На этот раз размерность получилась подходящей. В чем же еще измерять количество картошки, как не в килограммах! Теперь у нас есть все основания полагать, что решение, которое мы подобрали, — правильное. Конечно, для полной уверенности лучше разобраться в сути задачи. Однако же, и подсказками, которые дают нам размерности, пренебрегать ни в коем случае не следует.

Безразмерные величины

Допустим, мы хотим знать, во сколько раз цена картошки в американском супермаркете больше, чем в ближайшем магазине. Это находится таким образом:

 40 руб./кг 

 = 2.

 20 руб./кг

Здесь размерности (руб./кг) в числителе и в знаменателе сократились, и в результате мы получили безразмерную величину. Мы говорим, однако: цена картошки в одном магазине в 2 раза больше, чем в другом. Что же это за размерность такая — разы, и откуда она взялась, если в формуле, по которой мы нашли ответ, ее не было? Это противоречие легко разрешить, заметив что

раз = 1.

Действительно, при переходе к расчетам на калькуляроре, «раз» всегда заменяется на «1», какими бы единицами измерения мы ни пользовались для других величин. Таким образом, всякая величина, которая измеряется в разах, является безразмерной. Тут уместно, пожалуй, вспомнить, как русскоязычные люди пересчитывают предметы:

Раз, два, три, четыре, пять...

Вообще, все численные величины, которые являются результатом подобного простого пересчета, являются безразмерными, например:

5 штук,

10 человек,

15 поросят

и т.п.

Причина этому всё та же: ведя расчеты на калькуляторе, мы всегда заменяем «штуку», «человека» и «поросенка» на «1». И всё-таки даже такие «безразмерные единицы измерения» лучше по возможности, не опускать, потому что они придают числам осмысленность.

Рассмотрим такую задачу. Имеется 5 коробок с шоколадными конфетами по 20 конфет в каждой. Сколько всего конфет? Поскольку число коробок и число конфет являются величинами безразмерными, не будет ошибкой, если представить решение в следующем виде:

5 ∙ 20 = 100.

Но гораздо лучше написать так:

5 кор. ∙ 20 конф./кор. = 100 конф.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Перевод единиц денежной стоимости, расстояния, массы

Перевод единиц времени

Перевод всех основных единиц измерения (разряды, деньги, расстояние, масса, время)

Сложение и вычитание длин

Перевод сложных единиц измерения

 

 

 

Вопросы и комментарии

19 апреля, 2017 - 14:03

Яна

Все понятно. Спасибо большое!

 Ответить  

26 января, 2016 - 10:50

Pavel_1106

Добрый день.
Прошу Вас сообщить имеются ли на данный момент разработанные генераторы задач на сложение и вычитание мер времени (сутки, часы, минуты, секунды)

С уважением, Павел.

26 января, 2016 - 16:41

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Нет, не имеются.

 Ответить  

17 октября, 2015 - 13:12

любовь

перевод грамм/ секунда в миллиграмм на метр кубич

 Ответить