Образовательный проект Леонида Некина

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

3.12. Перевод обыкновенной дроби в десятичную и обратно

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Допустим, мы хотим преобразовать обыкновенную дробь 11/4 в десятичную. Проще всего сделать это так:

 11 

 = 2

 3

 = 2

  3

 = 2

   3∙5∙5

 = 2

  75

 = 2,75.

  4 

 4 

 2∙2 

 2∙2∙5∙5 

 100 

Это удалось нам потому, что в данном случае разложение знаменателя на простые множители состоит только из двоек. Мы дополнили это разложение еще двумя пятерками, воспользовались тем, что 10 = 2∙5, и получили десятичную дробь. Подобная процедура возможна, очевидно, тогда и только тогда, когда разложение знаменателя на простые множители не содержит ничего, кроме двоек и пятерок. Если в разложении знаменателя присутствует любое другое простое число, то такую дробь в десятичную преобразовать нельзя. Тем не менее, мы попробуем это сделать, но только другим способом, с которым мы познакомимся на примере всё той же дроби 11/4. Давайте поделим 11 на 4 «уголком»:

 

 1

 1 

 4

 

 

 

 8

 2 

    

    

    

 3

 

 

 

В строке ответа мы получили целую часть ( 2 ), и еще у нас есть остаток ( 3 ). Раньше мы деление на этом заканчивали, но теперь мы знаем, что к делимому ( 11 ) можно приписать справа запятую и несколько нулей, что мы теперь мысленно и сделаем. Следом после запятой идет разряд десятых. Ноль, который стоит у делимого в этом разряде, припишем к полученному остатку ( 3 ):

 

 1

 1 

 4

 

 

 

 8

 2 

    

    

    

 3

 0

 

 

Теперь деление можно продолжать как ни в чем не бывало. Надо только не забыть поставить в строке ответа запятую после целой части:

 

 1

 1 

 4

 

 

 

 8

 2,

 7 

    

    

 3

 0

 

 

    

 2

 8

 

 

    

 

 2

 

 

Теперь приписываем к остатку ( 2 ) ноль, который стоит у делимого в разряде сотых и доводим деление до конца:

 

 1

 1 

 4

 

 

 

 8

 2,

 7 

 5 

    

 3

 0

 

 

    

 2

 8

 

 

    

 

 2

 0

 

    

 

 2

 0

 

    

 

 

 0

 

В результате получаем, как и раньше,

11/4 = 2,75.

Попробуем теперь точно таким же способом вычислить, чему равна дробь 27/11:

 

 2

 7 

 1

 1

 

 2

 2

 2,

 4 

 5 

    

 5

 0

 

 

    

 4

 4

 

 

    

 

 6

 0

 

    

 

 5

 5

 

    

 

 

 5

 

Мы получили в строке ответа число 2,45, а в строке остатка — число  5 . Но такой остаток нам уже раньше встречался. Поэтому мы уже сразу можем сказать, что, если мы продолжим наше деление «уголком», то следующей цифрой в строке ответа будет 4, затем пойдет цифра 5, потом — снова 4 и снова 5, и так далее, до бесконечности:

27 / 11 = 2,454545454545...

Мы получили так называемую периодическую десятичную дробь с периодом 45. Для таких дробей применяется более компактная запись, в которой период выписывается только один раз, но при этом он заключается в круглые скобки:

2,454545454545... = 2,(45).

Вообще говоря, если делить «уголком» одно натуральное число на другое, записывая ответ в виде десятичной дроби, то возможно только два исхода: (1) либо рано или поздно в строке остатка мы получим ноль, (2) либо там окажется такой остаток, который уже нам раньше встречался (набор возможных остатков ограничен, поскольку все они заведомо меньше делителя). В первом случае результатом деления является конечная десятичная дробь, во втором случае — периодическая.

Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную

Пусть нам дана положительная периодическая десятичная дробь с нулевой целой частью, например:

a = 0,2(45).

Как преобразовать эту дробь обратно в обыкновенную?

Умножим ее на число 10k, где k — это число цифр, стоящих между запятой и открывающей круглой скобкой, обозначающей начало периода. В данном случае k = 1 и 10k = 10:

a ∙ 10k = 2,(45).

Полученный результат умножим на 10n, где n — «длина» периода, то есть число цифр, заключенных между круглыми скобками. В данном случае n = 2 и 10n = 100:

a ∙ 10k ∙ 10n = 245,(45).

Теперь вычислим разность

a ∙ 10k ∙ 10na ∙ 10k = 245,(45) − 2,(45).

Поскольку дробные части у уменьшаемого и вычитаемого одинаковы, то у разности дробная часть равна нулю, и мы приходим к простому уравнению относительно a:

a ∙ 10k ∙ (10n 1) = 245 − 2.

Решается это уравнение с помощью следующих преобразований:

a ∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

a ∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

a = 

  245  − 

.

   10  ∙  99  

Мы специально пока не доводим вычисления до конца, чтобы было наглядно видно, как можно сразу выписать этот результат, опуская промежуточные рассуждения. Уменьшаемое в числителе ( 245 ) — это дробная часть числа

a = 0,2(45)

если в ее записи стереть скобки. Вычитаемое в числителе ( 2 ) — это непериодическая часть числа а, располагающаяся между запятой и открывающей скобкой. Первый сомножитель в знаменателе ( 10 ) — это единица, к которой приписано столько нулей, сколько цифр в непериодической части (k). Второй сомножитель в знаменателе ( 99 ) — это столько девяток, сколько цифр содержит период (n).

Теперь наши вычисления можно довести до конца:

a = 

   243 

 = 

     3∙3∙27

 = 

  27

.

 10∙99 

 2∙5 ∙ 3∙3∙11

 110 

Если непериодическая часть отсутствует, то ситуация заметно упрощается. Пусть, например,

b = 0,(45).

Воспользовавшись плодами наших рассуждений, мы получаем

b = 

 45

.

 99 

Здесь в числителе стоит период, а в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде. После сокращения на 9 полученная дробь оказывается равной

b = 

  5

.

 11 

Любопытный результат получается, если перевести в обыкновенную дробь число

0,(9) = 0,9999999...

Действительно, согласно только что установленным правилам,

0,(9)

 9

 = 1.

 9 

Подобным же образом,

0,5999999... = 0,6.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Перевод десятичной дроби в обыкновенную

 

 

 

Вопросы и комментарии

24 ноября, 2016 - 11:16

Ольга

Как преобразовать буквенную дробь в числовую.

 Ответить  

7 ноября, 2015 - 17:49

Виктор

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

 Ответить  

11 сентября, 2015 - 08:52

ксения

Преобразование дробей

 Ответить  

6 сентября, 2015 - 12:00

Илья

Как 2:45

 Ответить  

22 августа, 2015 - 09:12

Виктор

Первое, что нужно сделать для преобразования обыкновенной дроби в десятичную – переписать ее в виде решаемой математической задачи.

 Ответить  

22 октября, 2014 - 15:48

Ксюша

Нормально:)

 Ответить  

9 октября, 2014 - 15:32

Гость

4 2/15 перевести на десятичную дробь

 Ответить  

26 сентября, 2014 - 21:44

gunka

как преобразовать периодическую десятичную дробь в простую дробь

 Ответить