3.4. Округление чисел. Приближенные вычисления

Научившись умножать многозначные числа «в столбик», мы убедились, что это весьма муторное занятие. К счастью, мы будем этим заниматься недолго. В скором времени все сколь-нибудь сложные вычисления мы будем делать с помощью калькулятора. Сейчас мы практикуемся в счете исключительно в учебных целях, чтобы лучше понять и почувствовать «поведение» чисел. Впрочем, понимание и чутье можно с неменьшим успехом оттачивать на приближенных вычислениях, которые являются значительно более простыми. К ним-то мы теперь и приступим.

Допустим, мы хотим купить пять шоколадок по $19$ рублей. Мы смотрим в свой кошелек и хотим быстро сообразить, хватит ли нам на это денег. Мы рассуждаем так: $19$ это примерно $20$, а $20$ умножить на $5$ это $100$. Вот тут у нас в кошельке как раз есть сто рублей с небольшим. Значит, денег достаточно. Математик бы сказал, что мы округлили девятнадцать до двадцати и проделали приближенные вычисления. Но начнем всё по порядку.

Прежде всего оговоримся, что на первых порах мы будем заниматься округлением только положительных чисел. Делать это можно по-разному. Например, так:

$23 \approx 20$,

$456 \approx 400$,

$7891 \approx 7000$.

Значок «$\approx$» читается как «приближенно равно». Здесь мы, как говорится, округлили числа вниз и, соотвественно, получили оценку снизу. Делается это очень просто: мы оставляем первую цифру числа такой, как она есть, а все последующие заменяем на нули. Ясно, что результат такого округления всегда оказывается меньше или равен исходному числу.

С другой стороны, числа можно также округлять и вверх, получая, таким образом, оценку сверху:

$23 \approx 30$,

$456 \approx 500$,

$7891 \approx 8000$.

При таком округлении все цифры, начиная со второй, обращаются в нули, а первая цифра увеличивается на единицу. Особый случай возникает, когда первая цифра равна девятке, которая заменяется сразу на две цифры, $1$ и $0$:

$96 ≈ 100$.

Результат округления вверх всегда больше или равен исходному числу.

Таким образом, у нас есть выбор, в какую сторону округлять: вверх или вниз. Обычно округляют в ту сторону, в которую ближе. Очевидно, что в большинстве случаев $11$ лучше округлить до $10$, а $19$ — до $20$. Формальные правила таковы: если вторая цифра у нашего числа находится в пределах от нуля до $4$, то округляем вниз. Если же эта цифра оказывается в пределах от $5$ до $9$, то вверх. Таким образом:

$23 \approx 20$,

$456 \approx 500$,

$7891 \approx 8000$,

$98 765 \approx 100~000$.

Отдельно надо отметить ситуацию, когда у числа вторая цифра — пять, а все последующие равны нулю, например $1500$. Это число находится на одинаковом расстоянии как от $2000$, так и от $1000$:

$2000 - 1500 = 500$,

$1500 - 1000 = 500$.

Поэтому, казалось бы, всё равно, в какую сторону округлять. Однако в таких случаях принято округлять не куда-нибудь, а только вверх — для того, чтобы правила округления можно было сформулировать как можно проще. Если мы видим на втором месте пятерку, то этого уже достаточно для принятия решения о том, куда округлять: последующими цифрами можно уже совершенно не интересоваться.

Пользуясь округлением чисел, мы теперь можем быстро, хотя и приближенно, решать примеры на умножение какой угодно сложности. Пусть требуется вычислить:

$6879 \cdot 267$.

Округляем оба сомножителя и за пару секунд получаем:

$6879 \cdot 267 \approx 7000 \cdot 300 = 2~100~000 \approx 2~000~000 = 2~$миллиона.

Для сравнения приведу точный ответ, который мы вычисляли, когда учились умножать в столбик:

$6879 \cdot 267 = 1~836~693$.

Что надо теперь сделать, чтобы понять, близко или далеко приближенный ответ отстоит от точного? — Конечно же, округлить точный ответ:

$6879 \cdot 267 = 1~836~693 ≈ 2~000~000 = 2~$миллиона.

У нас получилось, что после округления точный ответ стал равен приближенному. Значит, наш приближенный ответ не так уж и плох. Впрочем, надо заметить, что такая точность достигается далеко не всегда. Пусть надо вычислить ${1497 \cdot 143}$. Приближенные вычисления выглядят так:

$1497 \cdot 143 \approx 1000 \cdot 100 = 100~000 = 100~$тысяч.

А вот точный ответ (с последующим его округлением):

$1497 \cdot 143 = 214~071 \approx 200~000 = 200~$тысяч.

Таким образом, точный ответ после округления оказался в $2$ раза больше, чем приближенный. Это, конечно, не очень хорошо. Но признаюсь честно: я специально взял один из самых худших случаев. Обычно точность приближенных расчетов бывает всё же лучше.

Впрочем, мы до сих пор округляли числа и делали приближенные рассчеты лишь в самой, так сказать, грубой форме. Из всех разрядов числа мы оставляли незануленным только один — самый старший. Говорят, что мы округляли числа с точностью до одной значащей цифры. Однако мы можем округлять и поаккуратней, например, до двух значащих цифр:

$1497 \approx 1500$,

$143 \approx 140$.

Правило тут почти такое же, как и раньше. Все разряды, кроме двух самых старших, зануляем. Если в первом из зануленных разрядов стояла цифра в пределах от нуля до $4$, то ничего больше не делаем. Если же эта цифра была в пределах от $5$ до $9$, то в последний из незануленных разрядов добавляем единицу. Заметим, что если в разряде, в который добавляется единица, стоит девятка, то этот разряд переполняется и скидывается в ноль, а единицу «наследует» более старший разряд. То есть получается вот что:

$195 \approx 190 + 10 = 200$,

или даже:

$995 \approx 990 + 10 = 1000$.

Подобным же образом определяется и округление до трех значащих цифр и так далее.

Возвращаемся к нашему примеру. Посмотрим, что будет, если округлять числа не до одной, а до двух значащих цифр:

$1497 \cdot 143 \approx 1500 \cdot 140 = 210~000 = 210~$тысяч.

И еще раз сравним с точным ответом:

$1497 \cdot 143 = 214~071 \approx 210~000 \approx 210~$тысяч.

Не правда ли, наше приближенное вычисление стало заметно точнее?

А теперь рассмотрим еще раз предыдущий пример на умножение, для которого мы напишем два варианта приближенных ответов, и сравним их с ответом точным:

$6879 \cdot 267 \approx~$$7$$000~\cdot~$$3$$00~=~$$2~1$$00~000 \approx~$$2$$~000~000$,

$6879 \cdot 267 \approx~$$69$$00~\cdot~$$27$$0~=~$$1~863$$~000 \approx~$$1~9$$00~000$,

$6879 \cdot 267 = 1~836~693 \approx~$$1~8$$00~000 \approx~$$2$$~000~000$.

Тут самое время упомянуть о таком правиле: Если сомножители округлены до одной значащей цифры, то и приближенный ответ следует сразу же округлить до одной значащей цифры. Если сомножители округлены до двух значащих цифр, то и ответ надо округлять до двух значащих цифр. Вообще, сколько значащих цифр у сомножителей, столько же значащих цифр должно остаться у произведения. Поэтому в первой строчке, едва получив $2~1$$00~000$, мы тут же округлили это число до $2$$~000~000$. Так же и во второй строчке: мы не стали останавливаться на промежуточном результате $1~863$$~000$, а сразу же округлили его до $1~9$$00~000$. Почему так? Потому что в числе $2~100~000$ все разряды, кроме самого первого, всё равно вычислены неверно. Подобным же образом, в числе $1~863~000$ неверно вычислены все разряды, кроме первых двух. Давайте взглянем на соответствующие расчеты, сделанные «в столбик»:
 

×  $6$   $8$   $7$   $9$         $2$  $6$   $7$       $4$   $8$   $1$   $5$   $3$     $4$   $1$   $2$   $7$   $4$     $1$   $3$  $7$  $5$  $8$      $1$   $8$  $3$  $6$  $6$  $9$  $3$

×  $6$   $9$   ○   ○         $2$   $7$   ○       ○   ○   ○   ○   ○     $4$   $8$   $3$   ○   ○     $1$   $3$   $8$   ○   ○       $1$   $8$   $6$   $3$   ○   ○   ○

Здесь слева воспроизведены точные вычисления, а справа — приближенные, выполненные после округления сомножителей до двух значащих цифр. Вместо нулей мы написали кружочки, чтобы подчеркнуть, что на самом деле за этими кружочками-нулями стоят какие-то другие цифры, которые после округления стали нам неизвестны. Не зная всех цифр в первых двух строчках, мы также не можем вычислить всех цифр и в последующих строчках — поэтому там тоже встречаются кружочки. Теперь всмотримся внимательнее: в двух самых старших разрядах нам кружочки нигде не попадаются. Значит, в ответной строке эти разряды вычислены более или менее точно. Но уже в третьем по старшинству разряде есть один кружочек, под которым подразумевается неизвестная нам цифра. Поэтому третий разряд в ответной строке мы, на самом деле, вычислить не можем. Тем более это относится к четвертому и последующим разрядам. Вот эти-то все разряды с неизвестными значениями и должны быть занулены в ходе последующего округления.

А что, интересно, будет, если один из сомножителей округлен с точностью до трех значащих цифр, а другой — только до одной? Давайте посмотрим, как будет выглядеть расчет в этом случае:

 

		×	$6$	$8$	$8$	○
				$3$	○	○
		○	○	○	○	○
	○	○	○	○	○
$2$	$0$	$6$	$4$	○
$2$	$0$	$6$	$4$	○	○	○

Мы видим, что сколь-нибудь надежно определен только самый старший разряд, поэтому округлять ответ надо до одной значащей цифры:

$6879 \cdot 267 \approx 6880 \cdot~300~=~2~064~000~ \approx~2~000~000$

Мы видим также, что значащая цифра (в данном случае $2$) может отличаться от истинной (в данном случае $1$), но, как правило, не больше чем на единицу.

В общем случае, мы должны ориентироваться на сомножитель с наименьшим числом значащих цифр: точно до такого же числа значащих цифр следует округлять ответ.

До сих пор мы говорили только о приближенном умножении. А как насчет сложения? — Разумеется, сложение тоже может быть приближенным. Только округлять слагаемые, подготавливая их к приближенному сложению, надо не совсем так, как мы округляли сомножители, подготавливая их к приближенному умножению. Рассмотрим пример:

$61~238 + 349 = 61~587$.

Округлим, для начала, каждое из слагаемых до одной значащей цифры:

$61~238 + 349 \approx 60~000 + 300 = 60~300 \approx 60~000$.

Или, если записать в столбик:

 

+	$6$	○	○	○	○
			$3$	○	○
	$6$	○	$3$	○	○

Интересно отметить, что здесь вместо тройки мы могли бы поставить совершенно любую цифру, и это никак бы не отразилось на конечном ответе. С тем же успехом мы могли бы написать:

 

+	$6$	○	○	○	○
			○	○	○
	$6$	○	○	○	○

Или:

${61~238 + 349 \approx 60~000 + 0 = 60~000}$.

Мы можем тут вместо второго слагаемого написать $0$, или, как еще говорится, полностью пренебречь им по сравнению с первым слагаемым. Попробуем увеличить точность наших расчетов. Округляем теперь до двух значащих цифр:

${61~238 + 349 \approx 61~000 + 350 = 61~350 \approx 61~000}$.

И снова мы могли бы сразу пренебречь вторым слагаемым и написать:

${61~238 + 349 \approx 61~000 + 0 = 61~000}$.

Лишь когда мы увеличиваем точность округления до трех значащих цифр, второе слагаемое начинает играть какую-то роль:

${61~238 + 349 \approx 61~200 + 349 = 61~549 \approx 61~500}$.

Или:

 

+	$6$	$1$	$2$	○	○
			$3$	$4$	$9$
	$6$	$1$	$5$	$4$	$9$

Однако мы снова перестарались с точностью второго слагаемого: для него вполне было бы досточно и одной значащей цифры:

${61~238 + 349 \approx 61~200 + 300 = 61~500}$.

Тут действует такое правило: слагаемые, в отличие от сомножителей, следует округлять не до одинакового числа значащих цифр, а до одного и того же разряда. Округлить до разряда десятков — значит, округлить так, чтобы последняя значащая цифра результата округления находилась в разряде десятков. При округлении до разряда сотен последняя значащая цифра находится в разряде сотен и так далее. Приближенный ответ сразу же оказывается округлен с нужной точностью и дальнейшего округления не требует. Выпишем еще раз наш пример, посчитав его с различной точностью:

${61~238 + 349 = 61~587}$ (точный расчет),

${61~238 + 349 \approx 61~240 + 350 = 61~590}$ (округление до десятков),

${61~238 + 349 \approx 61~200 + 300 = 61~500}$ (до сотен),

${61~238 + 349 \approx 61~000 + 0 = 61~000}$ (до тысяч),

${61~238 + 349 \approx 60~000 + 0 = 60~000}$ (до десятков тысяч),

${61~238 + 349 \approx 100~000 + 0 = 100~000}$ (до сотен тысяч).

Следует отметить, что при округлении второго слагаемого ($349$) до тысяч (и, тем более, до более старших разрядов) получается ноль. Здесь в последней строке мы встречаемся также с еще одним примечательным случаем:

${61~238 \approx 100 000}$,

когда число округляется до более высокого разряда, чем те, которые содержатся в нем самом, — и всё же результат такого округления оказывается отличным от нуля.

Рассмотрим теперь приближенное вычитание. Мы знаем, что вычитание можно рассматривать просто как одну из разновидностей сложения. Поэтому правила приближенного вычитания вообще-то совпадают с правилами приближенного сложения. Однако тут возможна особая ситуация, которая возникает, когда мы вычисляем разность близких друг к другу чисел. Допустим, требуется грубо оценить, чему равно значение выражения:

${7654 - 7643}$.

После грубого округления членов разности мы получаем:

${7654 - 7643 \approx 8000 - 8000 = 0}$.

Прямо скажем, получилось не очень-то хорошо. Точное значение, как нетрудно вычислить, таково:

${7654 - 7643 = 11}$.

Всё-таки есть немалая разница между нулем и одиннадцатью! Поэтому даже при самых грубых оценках члены разности принято округлять до такого разряда, чтобы результат был всё же отличен от нуля:

${7654 - 7643 \approx 7650 - 7640 = 10}$.

А вот еще одна неприятность, которая может случиться при приближенном вычитании:

${2500 - 2499 \approx 3000 - 2000 = 1000}$.

Мы получили в ответе аж тысячу, в то время как точное значение разности равно всего лишь единице! Тут уж надо смотреть внимательно и не допускать, что называется, формалистского подхода.

Впрочем, возможны такие ситуации, когда значение разности требуется вычислить с точностью до какого-то заранее предопределенного разряда, например, до разряда тысяч. В этом случае вполне допустимо именно так и писать:

${7654 - 7643 \approx 8000 - 8000 = 0}$.

${2500 - 2499 \approx 3000 - 2000 = 1000}$.

Формально мы совершенно правы. Мы ошибаемся в разряде тысяч не более, чем на одну единицу, а это — совершенно обычное дело, когда мы работаем с такой точностью, при которой последняя значащая цифра приходится как раз на разряд тысяч. Подобным же образом, с точностью до сотен:

${7654 - 7643 \approx 7700 - 7600 = 100}$.

${2500 - 2499 \approx 2500 - 2500 = 0}$.

Хотя приближенные вычисления — вещь довольно простая, подходить к ней совсем уж бездумно нельзя. Всякий раз точность приближения надо выбирать исходя из поставленной задачи и здравого смысла.

Нам осталось рассмотреть приближенное деление. Но мы до сих пор не проходили деление по-настоящему. Мы умеем делить нацело и делить с остатком, но поделить «по-взрослому», без остатка, одно произвольное число на другое мы еще не можем. Поэтому мы пока выработаем, так сказать, временные правила приближенного деления, отвечающие нашему сегодняшнему пониманию предмета. Делить мы пока будем только грубо, с точностью до одной значащей цифры.

Пусть требуется приближенно вычислить:

${76~464 / 324}$.

Прежде всего округлим делитель ($324$) до одной значащей цифры:

${76~464 / 324 \approx 76~464 / 300}$.

Теперь для нас важно, что первая цифра делимого ($7$) оказалась больше или равна сохраненной цифры делителя ($3$): ${7 \geqslant 3}$. В этом случае мы округляем делимое до одной значащей цифры, а потом заменяем эту цифру на ближайшее число, которое делится нацело на сохраненную цифру делителя:

${76~464 / 324 \approx 76~464 / 300 \approx 80~000 / 300 \approx 90~000 / 300}$.

Здесь, по стандартным правилам округления, ${76~464 \approx 80~000}$, однако, поскольку $8$ не делится нацело на $3$, мы «пошли еще дальше вверх», так что у нас оказалось ${76~464 \approx 90~000}$. Далее, у делимого и у делителя убираем одновременно «с хвоста» одинаковое число «лишних нулей»:

${76~464 / 324 \approx 76~464 / 300 \approx 80~000 / 300 \approx 90~000 / 300 = 900 / 3}$.

После этого выполнить деление не составляет никакого труда:

${76~464 / 324 \approx 76~464 / 300 \approx 80~000 / 300 \approx 90~000 / 300 = 900 / 3 = 300}$.

Приближенный ответ готов. Приведу для сравнения точный ответ:

${76~464 / 324 = 236 \approx 200}$.

Как видно, расхождение в единственной значащей цифре приближенного ответа составляет одну единицу, что вполне приемлемо.

Пусть теперь надо закончить такие приближенные вычисления:

${35~144 / 764 \approx 35~144 / 800}$.

На этот раз первая цифра делимого оказалось меньше первой цифры округленного делителя (${3 < 8}$). В этом случае мы округляем делимое до двух значащих цифр, а потом заменяем эти цифры на ближайшее число, которое можно поделить нацело на первую цифру делителя:

${35~144 / 764 \approx 35~144 / 800 \approx 35~000 / 800 \approx 32~000 / 800}$.

(Если «подтянуть» можно с равным успехом в обе стороны, то «подтягиваем», для определенности, вверх.) Теперь убираем «лишние» нули и выполняем деление:

${35~144 / 764 \approx 35~144 / 800 \approx 35~000 / 800 \approx 32~000 / 800 = 320 / 8 = 40}$.

Точный расчет таков:

${35~144 / 764 = 46 \approx 50}$.

И опять точность приближенного результата вполне приемлема.

Следует отметить, что делить приближенно можно даже такие числа, которые нацело друг на друга не делятся. Важно лишь (пока), чтобы делимое было больше или равно делителю.

В заключение этого урока нам осталось разобраться с тем, как округлять отрицательные числа и как делать с ними приближенные вычисления. На самом деле, для любого отрицательного числа мы всегда можем написать что-то в этом роде:

${-3456 = -(+3456)}$.

Здесь у нас в скобке стоит положительное число. Его-то мы и округлим по тем правилам, которые мы выработали для положительных чисел. Например, если его требуется округлить до двух значащих цифр, то мы получим:

$-3456 = -(+3456) \approx -(+3500) = -3500$.

Так же просто все вычисления с отрицательными числами можно подменить на вычисления с участием только положительных чисел. Например,

${-234 - 567 = -(234 + 567) \approx -(200 + 600)  = -800}$,

${234 - 567 = -(567 - 234) \approx -(600 - 200) = -400}$,

${234 \cdot (-567) = -(234 \cdot 567) \approx -(200 \cdot 600) = -120~000 \approx -100~000}$.

Конспект

1. Округление положительных чисел с точностью до $n$ значащих цифр. Первые $n$ старших разрядов оставляем такими, как есть, а на месте всех остальных разрядов пишем нули — зануляем. Если самый старший из зануленных разрядов был больше или равен $5$, то к самому младшему сохраненному разряду добавляем единицу. Например:

$153 \approx 200$ (одна значащая цифра),

$153 \approx 150$ (две значащие цифры).

2. Приближенное умножение. Сомножители округляем до одинакового числа значащих цифр. С такой же точностью округляем и результат. Например (с точностью до одной значащей цифры):

$34 \cdot 45 \approx 30 \cdot 50 = 1500 \approx 2000$.

Если сомножители округлить с разной точностью, то результат «унаследует» наименьшую из них.

3. Приближенное сложение и вычитание. Слагаемые (или члены разности) округляем до одинакового разряда. До этого же разряда окажется автоматически округлен и результат. Например (округление до разряда сотен):

${61~238 + 349 \approx 61~200 + 300 = 61~500}$.

В случае вычитания, однако, следует тщательно относиться к выбору точности, если мы не хотим получить что-то вроде

${2500 - 2499 \approx 3000 - 2000 = 1000}$.

Здесь приближенный результат равен тысяче, в то время как точный результат равен единице.

4. Приближенное деление. Округляем делитель до одной значащей цифры. Если первая цифра делимого больше или равна $n$, то округляем делимое до одной значащей цифры. В противном случае округляем его до двух значащих цифр. После этого значащие цифры делимого заменяем на ближайшее число, которое делится на $n$. Измененное делимое делим нацело на измененный делитель и получаем результат. Например:

${35~144 / 764 \approx 35~144 / 800 \approx 32~000 / 800 = 40}$.

5. Правила округления и приближенных вычислений с положительными числами легко переносятся на отрицательные числа, поскольку

${-3456 = -(+3456)}$,

${-234 - 567 = -(234 + 567)}$,

${234 \cdot (-567) = -(234 \cdot 567)}$ и т.п.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Округление натуральных чисел

Приближенные вычисления (грубая оценка)

Приближенные вычисления с заданной точностью

Упражнения на быстрое нахождение ошибок