3.3. Как учить таблицу умножения?

Вообще-то говоря, если поступать по-умному, то таблицу умножения учить не надо. В том смысле, что не надо учить ее специально. Достаточно иметь ее под рукой — и тогда она выучится сама собой от частого использования. К тому же, знание наизусть таблицы умножения не приводит к лучшему пониманию математики. Для усвоения материала совершенно всё равно — лежит ли таблица умножения перед нами на столе, или же находится у нас в голове, отложенная в памяти.

Но, если быть реалистом, то приходится признать, что дети учат математику не ради самой математики, а ради школьных отметок. Школьные учителя, как известно, — люди со странностями. Они почему-то не позволяют ученикам держать «бумажную» версию таблицы умножения всегда под рукой — в особенности во время контрольных работ по математике, то есть тогда, когда она больше всего нужна и когда она легче всего могла бы отложиться в памяти. Поэтому школьникам действительно приходится специально заучивать таблицу умножения наизусть (что, разумеется, отнюдь не способствует их любви к школе и к математике).

Возникает вопрос: как это можно сделать наименее дурацким способом?

Надо отметить, что к тому времени, когда возникает необходимость учить таблицу умножения, ребенок ее уже почти знает. Он может и не помнить назубок, сколько будет восемью семь, но если дать ему немножко подумать, то он из семидесяти отнимет в уме два раза по семь (или проделает что-то подобное) — и выдаст верный результат. (Если же он не в состоянии этого сделать, то пусть сначала потренируется умножать на счетах, как описано в уроке 1.5.) Вся проблема в том, что ему требуется пока еще слишком много времени и усилий на то, чтобы прийти к ответу. Задача, таким образом, заключается в том, чтобы получше накатать «дорожки», ведущие в его памяти к правильной цели. «Дорожки» же, как известно, накатываются оттого, что часто используются.

Что ж, приступим.

Упражнение 3.3.1. Для этого упражнения нам потребуется пустой бланк таблицы умножения, который можно взять здесь:

Пустой бланк таблицы умножения (pdf).

Упражнение, как нетрудно догадаться, состоит в том, чтобы этот бланк заполнить. Таблица разделена на несколько областей разного цвета, для того чтобы ее ячейки не сливались в единообразную, унылую массу. Заполнять их можно в какой угодно последовательности. Если ребенок по ошибке поставит в какую-либо ячейку неправильное число, то мы потом выпишем соответствующий пример отдельно на бумагу и попросим ребенка пересчитать его еще раз.

Это упражнение имеет смысл делать один-два раза в день, засекая всякий раз потраченное время. Поначалу ребенок, если хочет, может пользоваться счетами. Потом от них, разумеется, следует отказаться. По мере наработки навыка, процесс пойдет всё быстрее. В идеале, время, которое тратится на работу головой, должно стать меньше, чем время, которое тратится на работу ручкой.

Хочу особо отметить один важный момент. Мы учим таблицу всю сразу и целиком (а не так, как это принято в школе, где вначале проходят умножение на двойку, потом на тройку и так далее).  Это довольно общее правило, которое применимо всегда, когда мы хотим что-то выучить. Лучше изо дня в день повторять одно и то же одним большим куском, чем всякий раз заучивать разное и помаленьку. Главная проблема, собственно, не в том, чтобы выучить, а в том, чтобы потом не забыть.

Упражнение 3.3.2. Решаем

примеры из таблицы умножения, взятые в случайном порядке.

Здесь на каждой странице представлен полный набор примеров из таблицы, причем во всех возможных вариантах по образцу

$6 \cdot 7 = 42$,

$7 \cdot 6 = 42$,

$42 / 6 = 7$,

$42 / 7 = 6$.

Предполагается, что одну страницу надо делать за один присест, опять-таки засекая время и прибегая при необходимости к счетам. (Если понадобятся дополнительные страницы с новым случайным расположением примеров, то их можно быстро создать в любом количестве с помощью файла-генератора «Примеры на знание таблицы умножения» из пункта 1 на странице «Упражнения и задачи»).

Мнемонические трюки

Здесь уместно, пожалуй, упомянуть о мнемонических трюках, которые можно применять для заучивания таблицы умножения. Мнемоника — это особое искусство запоминания, которое было широко распространено в глубокой древности, когда еще не была изобретена письменность. В наше время мнемоника утратило свое практическая значение, потому что оказалось, что всё же гораздо удобнее записывать всю необходимую информацию на бумаге (или на электронном носителе), а потом заглядывать в эту запись по мере надобности. И только в школе, где на использование письменности наложены драконовские ограничения, до сих пор приходится иногда прибегать к мнемоническим трюкам. Главный недостаток мнемоники заключается в том, что знания, полученные с ее помощью, основаны не на понимании истинной сути вещей, а на поверхностных, случайных совпадениях. Например, мы можем заметить, что в следующей строке все цифры идут подряд в порядке возрастания:

$\mathbf{12 = 3 \cdot 4;~ 56 = 7 \cdot 8}$.

Это наблюдение, вероятно, поможет нам в следующий раз быстро вспомнить, сколько будет семью восемь, но никак не разовьет наших математических способностей.

Пожалуй, самый популярный мнемонический трюк — это стишки, в которых встроена информация, которую надо выучить. Чтобы легко запоминаться, стишки эти должны быть рифмованными и гладенькими, однако наличие глубокого смысла в них вовсе необязательно. Ниже я привожу пришедшие мне на ум стишки для запоминания таблицы умножения. Они расположены в том порядке, в каком, на мой взгляд, следовало бы учить таблицу умножения, если бы на это было отведено совсем немного времени. Прежде всего идут «синие» диагональные ячейки таблицы, поскольку они являются как бы хребтом для всего остального. Потом — «красные» ячейки как наиболее трудные. Затем — «зеленые» как вторые по сложности. Наконец — «желтые», получаемые умножением на девятку. Все «белые» ячейки настолько просты, что для них уж точно никаких стишков не понадобится. Поэтому для большинства из них никаких стишков и не предусмотрено. И без того тут полно совершенно лишних стишков, таких как для примеров «дважды два — четыре» и «пятью пять — двадцать пять».

 $2 \cdot 2 = 4$ 
Дважды два — четыре.
Дважды два — четыре.
Это всем известно в целом мире.
(М. Пляцковский)

 $3 \cdot 3 = 9$ 
Ты три-три на тёрке сыр,
Чтобы стёрлось девять дыр.

 $4 \cdot 4 = 16$ 
Четыре колонны, четыре ряда —
Всего шестнадцать, господа!

 $5 \cdot 5 = 25$ 
Птичку в поле не догнать.
Пять пятерок — двадцать пять!

 $6 \cdot 6 = 36$ 
Шестью шесть, прошу учесть,
Неизменно тридцать шесть.
(М. Пляцковский)

 $7 \cdot 7 = 49$ 
А в семь ноль семь, прошу поверить,
Сорóк слетелось сóрок девять.

 $8 \cdot 8 = 64$ 
Мы утерли носик
Дерзкому задире.
Восемь да на восемь —
Шестьдесят четыре.

 $9 \cdot 9 = 81$ 
А девять на девять, сказать по уму,
Равно аж восьми-десяти одному.

 $7 \cdot 8 = 56$ 
Сядем вместе пить и есть.
Семью восемь — пять и шесть.

 $6 \cdot 8 = 48$ 
У кого, друзья, ни спросим:
Шесть на восемь — сорок восемь.
(М. Пляцковский)

 $6 \cdot 7 = 42$ 
Шелестит с утра трава.
Шесть семерок — сорок два.

$5 \cdot 7 = 35$
Сливы просьба не топтать!
Семь пятерок — тридцать пять.

 $4 \cdot 8 = 32$ 
Прячусь я в сортире
И дышу едва.
Восемь на четыре —
Это тридцать два.

 $4 \cdot 7 = 28$ 
Весть мы добрую разносим:
Семь четверок — двадцать восемь.
Вариант:
Дней много ли вьюги февральские пели?
Всего двадцать восемь — четыре недели.

 $4 \cdot 6 = 24$ 
Лежала тут шерсть,
    но ее кто-то стырил.
Четырежды шесть —
    это двадцать четыре.

 $3 \cdot 8 = 24$ 
Сколько это — три восьмерки?
Два десятка и четверка!

 $3 \cdot 7 = 21$ 
Рявкнул лысый господин:
«Три семерки — два-один!»

$3 \cdot 6 = 18$
Это ж надо постараться!
Три шестерки — восемнадцать.

$3 \cdot 5 = 15$
Мы нашли в апартаментах —
Трижды пять — пятнадцать центов.

$3 \cdot 4 = 12$
Шли однажды по дрова
Три четверки — раз и два!

 $3 \cdot 9 = 27$ 
Я секрет вам выдам всем:
Трижды девять — двадцать семь.

 $4 \cdot 9 = 36$ 
Коль нету стула — негде сесть.
Четыре, девять — тридцать шесть.

 $5 \cdot 9 = 45$ 
Ни прибавить, ни отнять:
Пятью девять — сорок пять.

 $6 \cdot 9 = 54$ 
Потолок протек в квартире.
Шестью девять — пять-четыре.

 $7 \cdot 9 = 63$ 
В корень ты, дружок, смотри.
Семью девять — шесть и три.

 $8 \cdot 9 = 72$ 
Смыслом ничуть на разнятся слова
«Восемью девять» и «семьдесят два».

Мнемоника на пальцах

Некоторые примеры из таблицы умножения можно быстро вычислить с помощью простых трюков с собственными пальцами.

Трюк № 1. Умножение на $\textbf{9}$. Допустим мы хотим вычислить произведение ${4 \cdot 9}$. Держим руки перед собой так, чтобы все десять пальцев выстроились в один ряд. Поскольку мы умножаем четверку, отсчитываем по порядку четвертый палец и направляем на него свое внимание. Можно даже слегка его согнуть. Спрашивается: сколько пальцев ему предшествует? Ответ: три. Пишем цифру $3$ на бумаге. Следующий вопрос: сколько пальцев за ним следует? Ответ: шесть. Приписываем цифру $6$ и получаем окончательный результат:

$4 \cdot 9 = 36$.

Трюк № 2. Вычисление $\mathbf{6 \cdot 8}$,  $\mathbf{7 \cdot 7}$,  $\mathbf{7 \cdot 8}$  и  $\mathbf{8 \cdot 8}$. Допустим, мы хотим умножить $7$ на $8$. Держим руки перед собой ладонями к себе и пальцами друг к другу. Пересчитываем мысленно пальцы на обоих руках снизу вверх, начиная, однако, счет не с единицы, а с шестерки, так что мизинцы получают номер шесть, безымянные пальцы — номер семь и так далее. Теперь, поскольку мы умножаем семь на восемь, приставляем седьмой палец на левой руке к восьмому пальцу на правой руке так, чтобы они выстроились в одну линию. Спрашивается: сколько пальцев на обеих руках находятся на этой линии или ниже нее? Ответ: два пальца на левой руке и три пальца на правой руке, всего пять. Пишем цифру $5$ на бумаге. Выше этой линии на левой руке у нас $3$ пальца, а на правой $2$ пальца. Умножаем $3$ на $2$, получаем шесть, приписываем цифру $6$ и получаем результат:

$7 \cdot 8 = 56$.

В принципе, подобным же образом можно перемножить между собой любые два числа из набора ${6, 7, 8, 9}$ и $10$ (в соответствии с номерами пальцев на обеих руках), однако умножение на $10$ никакой трудности не представляет, а для умножения на $9$ больше подходит трюк № 1, который значительно проще. При вычислении же произведений ${6 \cdot 6}$ и ${6 \cdot 7}$ возникают кое-какие дополнительные усложнения, которые делают этот трюк существенно менее изящным. Давайте, например, умножим с его помощью $6$ на $7$. Соединяем шестой палец с седьмым. На линии соединения и ниже у нас находятся $3$ пальца. Пока не записываем цифру $3$, а держим в уме $3$ десятка. Сверху от линии на левой руке у нас $4$ пальца, а на правой $3$ пальца. Умножаем $4$ на $3$, получаем $12$, и это число прибавляем к трем десяткам, которые у нас в уме. В результате имеем:

$6 \cdot 7 = 30 + 12 = 42$.

Это не намного проще, чем вначале умножить $6$ на $5$, а потом еще прибавить два раза по $6$. Но давайте разберемся, почему этот трюк работает. Пусть требуется вычислить произведение $a \cdot b$, где переменные $a$ и $b$ могут принимать значения ${6, 7, 8, 9}$ и $10$. Мы приставляем палец номер $a$ на левой руке к пальцу номер $b$ на правой руке. На линии соединении и ниже на левой руке у нас находится ${(a - 5)}$ пальцев, на правой руке ${(b - 5)}$ пальцев. Значит, наш конечный результат будет содержать

$(a - 5) + (b - 5) = (a + b - 10)$  десятков.

Выше линии соединения на левой руке у нас ${(10 - a)}$ пальцев, а на правой руке ${(10 - b)}$ пальцев. Значит, конечный результат будет содержать

$(10 - a) \cdot (10 - b)$ единиц.

Давайте упростим это выражение. Для этого нам придется несколько раз воспользоваться свойством дистрибутивности. Сначала применим это свойство к скобке ${(10 - a)}$, умноженной на число, равное ${(10 - b)}$:

${(10 - a) \cdot (10 - b) = 10 \cdot (10 - b) - a \cdot (10 - b)}$.

После этого, с помощью всё той же дистрибутивности, избавляемся окончательно от всех скобок:

$10 \cdot (10 - b) - a \cdot (10 - b) =$

$10 \cdot 10 - 10 \cdot b - (a \cdot 10 - a \cdot b) =$

$10 \cdot 10 - 10 \cdot b - a \cdot 10 + a \cdot b =$

$10 \cdot 10 - 10b - 10a + ab$.

Конечный результат, который мы получаем с помощью трюка, таков:

${(a + b - 10)}$ десятков ${+~(10 \cdot 10 - 10b - 10a + ab)}$ единиц $=$

$(a + b - 10) \cdot 10 + (10 \cdot 10 - 10b - 10a + ab) =$

$10a + 10b - 10 \cdot 10 + 10 \cdot 10 - 10b - 10a + ab =$

$ab$.

Как видно, трюк нас не обманывает, а дает именно тот результат, который нам нужен.

Конспект

Если поступать по-умному, то таблицу умножения специально учить не надо, поскольку она сама собой выучится от частого применения. Но раз уж в школе детей к этому принуждают, то имеет смысл делать следующее: (1) заполнять по многу раз пустой бланк таблицы умножения, считая при необходимости на счетах; (2) решать много примеров из таблицы умножения, взятых случайным образом, — опять-таки прибегая, если нужно, к счетам. Можно также воспользоваться мнемоническими приемами: стишками и трюками с пальцами.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Примеры из таблицы умножения, взятые в случайном порядке