Образовательный проект Леонида Некина

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

3.2. Умножение «в столбик»

До сих пор мы умели только умножать на счетах в пределах ${24 \times 24}$. Настало время научиться перемножать бóльшие числа, и не на счетах, а на бумаге — с помощью процедуры, которая называется умножением «в столбик».

Надо честно признаться: умножение «в столбик» — это одна из самых неприятных и нудных вещей во всей математике. Хуже нее только деление «уголком», которым мы тоже вскоре займемся. Как только мы освоим умножение «в столбик» и деление «уголком», мы можем смело утверждать, что самый трудный участок на пути изучения математики у нас остался позади.

Прежде всего нам понадобится таблица умножения в пределах от ${2 \times 2}$ до ${9 \times 9}$. Удобнее всего ее записать в таком виде:

 

    

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

$14$

$16$

$18$

$3$

$6$

$9$

$12$

$15$

$18$

$21$

$24$

$27$

$4$

$8$

$12$

$16$

$20$

$24$

$28$

$32$

$36$

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

$30$

$35$

$40$

$45$

$6$

$12$

$18$

$24$

$30$

$36$

$42$

$48$

$54$

$7$

$14$

$21$

$28$

$35$

$42$

$49$

$56$

$63$

$8$

$16$

$24$

$32$

$40$

$48$

$56$

$64$

$72$

$9$

$18$

$27$

$36$

$45$

$54$

$63$

$72$

$81$

Это так называемая таблица Пифагора. Здесь на пересечении строки, помеченной числом $3$, и колонки, помеченной числом $5$, стоит как раз произведение чисел ${3 \cdot 5}$, то есть $15$. Подобным же образом мы можем по этой таблице быстро найти произведение любых однозначных чисел (за исключением нуля и единицы, но умножать на ноль и единицу настолько легко, что никакая таблица не нужна).

В школе эту таблицу заставляют учить наизусть. На мой взгляд, в этом нет никакой необходимости. Пусть она просто будет под рукой, и этого совершенно достаточно. По мере того как мы будем практиковаться в умножении «в столбик», она выучится сама собой.

Таблицу умножения на отдельном листе (в формате pdf) можно взять здесь.

Итак, приступим к умножению чисел. Для начала научимся умножать многозначные числа (состоящие из нескольких цифр) на однозначные (состоящие из одной цифры). Пусть нам надо вычислить

${6879 \cdot 7}$.

Воспользовавшись свойствами умножения, которые мы проходили на прошлом уроке, мы можем написать:

$6879 \cdot 7$ =

$(9$

 $+$

$7 \cdot 10$

 $+$

$8 \cdot 100$

 $+$

$6 \cdot 1000) \cdot 7$

 $=$

$9 \cdot 7$

 $+$

$7 \cdot 7 \cdot 10$

 $+$

$8 \cdot 7 \cdot 100$

 $+$

$6 \cdot 7 \cdot 1000$

 $=$

$63$

 $+$

$49 \cdot 10$

 $+$

$56 \cdot 100$

 $+$

$42 \cdot 1000$

 $=$

 

$6~3$

$+$

$4~9~0$

$+$

$5~6~0~0$

$+$

 $4~2~0~0~0$

Перепишем это в виде упрощенной таблицы (очень похожей на ту, какую мы писали, когда учились сложению столбиком):

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

 

 $6$ 

 $3$ 

 

 $4$ 

 $9$ 

 

 

 $5$ 

 $6$ 

 

 $4$ 

 $2$ 

 

Теперь остается сложить числа под горизонтальной линией — и ответ готов:

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

 

 $6$ 

 $3$ 

 

 $4$ 

 $9$ 

 

 

 $5$ 

 $6$ 

 

 $4$ 

 $2$ 

 

 

$1$

$1$

 

 

 $4$ 

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

Надо ли пояснять, откуда взялись маленькие единички над нашим ответом? Когда мы в разряде десятков сложили $6$ и $9$, то получили $15$. Последнюю цифру этого числа (то есть пятерку) мы записали в ответе в разряде десятков, а первую цифру этого числа (то есть единицу) перенесли в следующий разряд в виде маленькой приподнятой единички. Потом в разряде сотен мы стали складывать $4$ и $6$, и не забыли добавить сюда же эту самую единичку. Получившееся число $11$ тоже записали наискосок: вторую единицу покрупнее и пониже (в аккурат в строке ответа), а первую единицу поменьше и повыше.

Мы теперь, в принципе, умеем умножать на однозначное число. Но давайте подумаем над усовершенствованиями. Во-первых, перепишем нашу табличку в более компактном виде:

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

 $4$ 

 $5$ 

 $4$ 

 $6$ 

 

 

 $2$ 

 $6$ 

 $9$ 

 $3$ 

 

$1$

$1$

 

 

 $4$ 

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

А во-вторых, подумаем над возможностью более радикального сокращения записи. Вернемся в исходное положение:

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

В разряде единиц умножим $9$ на $7$. Результат $63$ запишем, как и раньше, наискосок, но шестерку сделаем совсем маленькой:

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

 

 

 

$6$

 

 

 

 

 

 $3$ 

Теперь умножим в разряде десятков $7$ на $7$. Получаем $49$. Прибавляем сюда нашу «маленькую» шестерку: ${49 + 6 = 55}$. Этот результат опять записываем наискосок:

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

 

 

$5$

$6$

 

 

 

 

 $5$ 

 $3$ 

Переходим к разряду сотен: ${8 \cdot 7 + 5 = 61}$. Записываем:

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

 

$6$

$5$

$6$

 

 

 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

И, наконец, в разряде тысяч получаем ${6 \cdot 7 + 6 = 48}$:

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

$4$

$6$

$5$

$6$

 

 $4$ 

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

Здесь мы еще перенесли «маленькую» четверку в разряде десятков тысяч вниз, чтобы получить окончательный ответ. Не правда ли, наши вычисления стали короче, а запись еще более компактной?

Теперь возникает резонный вопрос. А как мы будем записывать эти вычисления в нашей тетрадке по математике, разлинованной в клетку? Будем ли мы писать «маленькие» цифры в отдельном ряду клеток или же втискивать их в тот же ряд клеток, где у нас записан ответ? Оба варианта не слишком хороши. Поэтому я предлагаю делать наши вычисления в столбик на отдельных листах бумаги. Для этого прекрасно подойдут обычные белые листы, какие используются для принтеров и копировальных машин. А тех, кому работать на линованной бумаге всё же привычнее, приглашаю воспользоваться листами с особой линовкой.

Лист со специальной линовкой для вычислений можно взять здесь (формат pdf).

Надо отметить, что в школе учат умножать «в столбик» несколько по-другому. Отличие состоит в том, что «маленькие» цифры не записывают на бумагу, а держат в уме — вероятно, по той именно причине, что в стандартных тетрадках в клетку их проcто некуда записывать. На мой взгляд, это слишком усложняет процесс счета и только способствует ошибкам.

Переходим к умножению на двузначные числа. Пусть требуется вычислить

${6879 \cdot 67}$.

Ну что ж, приступим.

$6879~\cdot$ $6$$7$ =

$6879~\cdot($$7$ $+$ $6 \cdot 10$$) =$

$6879 \cdot 7$
+
$6879 \cdot 6 \cdot 10$ $=$

 

$6~3$

$+$

$4~9~0$

$+$

$5~6~0~0$

$+$

$4~2~0~0~0$

 

$+$

 

$5~4~0$

$+$

$4~2~0~0$

$+$

$4~8~0~0~0$

$+$

$3~6~0~0~0~0$

Здесь при умножении на $6$ мы воспользовались тем же приемом, что и при умножении на $7$, только к каждому получившемуся слагаемому приписали еще $0$ из-за дополнительного умножения на $10$. Сумму «желтых» слагаемых находим точно так же, как раньше мы находили сумму «зеленых» слагаемых:

 

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $6$ 

 $7$ 

 

$4$

$6$

$5$

$6$

 

 

 $4$ 

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

$4$

$5$

$4$

$5$

 

 

 $4$ 

 $1$ 

 $2$ 

 $7$ 

 $4$ 

 

Складываем получившиеся ряды «больших» цифр и получаем окончательный ответ (при этом «маленькие» цифры можно зачеркнуть, чтобы не мешались):

 

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $6$ 

 $7$ 

 

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

 

 

 $4$ 

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

 

 

 $4$ 

 $1$ 

 $2$ 

 $7$ 

 $4$ 

 

 

$1$

 

 

 

 

 $4$ 

 $6$ 

 $0$ 

 $8$ 

 $9$ 

 $3$ 

Подобным же образом делается умножение на трехзначные числа. Например:
 

 

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $2$

 $6$ 

 $7$ 

 

 

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

 

 

 

 $4$

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

 

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

 

 

 

 $4$ 

 $1$ 

 $2$ 

 $7$ 

 $4$ 

 

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

 

 

 

 $1$ 

 $3$

 $7$

 $5$

 $8$

 

 

 

$1$

$1$

$1$

 

 

 

 $1$

 $8$

 $3$

 $6$

 $6$

 $9$

 $3$

Если в середине трехзначного числа стоит ноль, то запись выглядит так:
 

 

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $2$

 $0$

 $7$ 

 

 

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

 

 

 

 $4$ 

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

 

 

 

 $1$ 

 $3$ 

 $7$

 $5$

 $8$

 

 

 

$1$

$1$

 

 

 

 

 $1$ 

 $4$

 $2$

 $3$

 $9$

 $5$

 $3$

Наконец, умножение круглых чисел (которые оканчиваются нулями) записывается в таком виде:
 

 

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 $0$ 

 

 

 

 

 

 $2$

 $6$

 $7$

 $0$

 $0$ 

 

 

 

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

 

 

 

 

 

 

 $4$ 

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

 

 

 

 

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

 

 

 

 

 

 

 $4$ 

 $1$ 

 $2$ 

 $7$ 

 $4$ 

 

 

 

 

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

 

 

 

 

 

 

 $1$ 

 $3$

 $7$

 $5$

 $8$

 

 

 

 

 

 

$1$

$1$

$1$

 

 

 

 

 

 

 $1$

 $8$

 $3$ 

 $6$ 

 $6$ 

 $9$ 

 $3$ 

 $0$ 

 $0$ 

 $0$ 

Конспект

1. Таблица умножения — это таблица, из которой можно узнать результаты умножения всех однозначных чисел друг на друга. (Умножение на единицу может быть опущено, так как результат в этом случае очевиден.) 

2. Умножение «в столбик» многозначного числа на однозначное. К первому сомножителю — многозначному числу — приписываем снизу, под разрядом единиц, второй сомножитель — однозначный. Еще ниже резервируем две строки: первая, вспомогательная, — половинной высоты; вторая, предназначенная для ответа, — нормальной высоты.

Умножаем разряд единиц первого сомножителя на второй (однозначный) сомножитель — в результате получаем однозначное или двузначное число. Последнюю цифру этого числа пишем в строке ответа — под разрядом единиц. Предпоследнюю цифру (если она есть) записываем во вспомогательную строку в разряд десятков.

Умножаем разряд десятков первого сомножителя на второй сомножитель и прибавляем цифру, стоящую в разряде десятков во вспомогательной строке (если она там есть). В результате получаем однозначное или двузначное число. Последнюю цифру этого числа пишем в строке ответа в разряде десятков. Предпоследнюю (если она есть) — во вспомогательной строке в разряде сотен.

Продолжаем точно также со всеми остальными разрядами. Если при умножении самого старшего разряда мы поставили во вспомогательную строку какое-то число, то переносим его в строку ответа.

3. Умножение «в столбик» двух многозначных чисел. Первое число умножаем на каждый из разрядов второго числа — так, как мы это делали, когда умножали многозначное число на однозначное. Результаты записываем «в столбик» друг под другом со сдвигом согласно разряду, а затем складываем их.

4. При умножении друг на друга круглых чисел, оканчивающихся нулями, отбрасываем сперва конечные нули, а потом, получив окончательный результат, приписываем к нему справа столько нулей, сколько мы их первоначально отбросили.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Умножение на однозначное число

Умножение на двузначное число

Умножение на трехзначное число

 

 

 

Вопросы и комментарии

7 февраля, 2020 - 08:05

ЛИЗЗИТЕЙЛОР

сайт нормальный.

26 сентября, 2019 - 07:31

sanasnoz

Это хороший сайт

29 апреля, 2019 - 11:08

Виктор Иванович

На сайте "Как дважды два" необычные калькуляторы умножают и делят любые числа столбиком, показывается решение. www.mathvaz.ru

13 мая, 2018 - 13:12

Юки

Сайт очень хороший. Всё поняла

16 апреля, 2018 - 14:15

Кристина97

Проще нету

16 апреля, 2018 - 14:15

Кристина

Все легко

7 февраля, 2020 - 08:06

ЛИЗЗИТЕЙЛОР

ага,точно)

12 апреля, 2018 - 06:27

розалья

это кажись возможно выучить

29 марта, 2017 - 18:27

Яна

как умножить 1265,5 умножить на 255

13 мая, 2018 - 13:08

лиза

Будит 322 702,5

12 декабря, 2016 - 23:35

катя

как умножать 15, на 13,4?

6 сентября, 2016 - 19:58

Гость

как умножить 407 на 306

26 февраля, 2017 - 19:05

Юлия

Не как

29 марта, 2017 - 18:29

Яна

Ну получается:
124542.00

9 апреля, 2016 - 14:55

дима

как ришить деление

29 марта, 2017 - 18:22

Яна

обычно!

7 мая, 2018 - 22:10

Вася Пупкин

Дима, для начала писать научись без ошибок.

8 мая, 2018 - 18:05

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

На этом сайте можно писать с ошибками, а недоброжелательность, наоборот, не привествтвуется.

7 февраля, 2020 - 08:08

ЛИЗЗИТЕЙЛОР

во-во!!!!!!

6 февраля, 2016 - 13:05

Ваня

Как умножить в столбик 1200•100

23 марта, 2016 - 22:14

СЕРГЕЙ

1200 УМНОЖИТЬ НА 100 РАВНО 120000

10 мая, 2016 - 19:20

елена

да конечно.

9 сентября, 2015 - 19:49

Гость

152922: 6 как делить в столбик ? 42329:7

26 сентября, 2015 - 20:52

милена

по таблице умножения

29 марта, 2017 - 18:24

Яна

по калькулятору

1 сентября, 2015 - 14:29

Лёля

как 16 умножить на 27 в столбик?

25 ноября, 2015 - 16:29

юлия

.27
16
=
72

26 мая, 2015 - 11:56

ан

Как 120 умножить на 25?
120
25
Или
120
25??

26 мая, 2015 - 12:25

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Если столбиком - то всё равно. А вообще-то это делается так:
(120/4) * 100 = 3000

23 апреля, 2015 - 20:31

артём

Как решить пример столбиком.41,15×4,5=?

18 июля, 2015 - 13:15

ибра

41,15
4,5
185,175

15 апреля, 2015 - 19:02

юля

как решить пример в столбик
306*407

10 марта, 2015 - 17:42

вика

(1,24+3,56):16=????
Плиз в столбик!

11 ноября, 2014 - 20:22

Оля

504
*203

24 ноября, 2014 - 18:53

Алмаз

102,312

11 сентября, 2014 - 16:22

tron

15
*18

и ниже ответ

9 октября, 2014 - 17:15

нарина

118

11 сентября, 2014 - 16:18

Зевс

обясните как умножать в столбик с нулями

8 сентября, 2014 - 14:21

жасмина

обьясните как 15 умножить на 18 столбиком

13 января, 2015 - 16:14

Сашок

15
*18
_____
Сначало умножаем 15*8!Записываем под 8
15
*8
___
120
Потом умножаем на 1!(Пишем под этими числами!)Важно:писать под 1!НО * надо как и с 8!
Пример получается так:
15
*18
___
120
+15 (Тоесть начинаем писать под 2!)
____
135
Ну вот как то так!Спасибо,если прочитали

16 января, 2014 - 20:14

Андрей

Все отлично сказано написано грамотно. все ясно и понятно , спасибо автору!

4 октября, 2013 - 02:15

Анжела

Здраствуйте скажите пожалуйста как надо это делать вставь в каждое окошко одну такую цифру чтобы получились верные неравенства 41>4,5<52,8<28,7>67подчеркни те неравенства Ещё числа 36,54,46,40,56,24,запиши в нужные клетки таблицы пожалуйста помагите нам

4 октября, 2013 - 12:28

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Самое главное (и трудное) в математике - это научиться понимать условия задач, так чтобы их можно было внятно пересказать. После этого всё остальное становится легко. Я еще могу предположить, что первая задача решается так:
41 > 40; 51 < 52; 18 < 28; 77>67
а что касается того, чтобы вставить числа в нужные клетки таблицы, не бросив ни одного взгляда на таблицу, - тут уже, увы, я не волшебник.

16 марта, 2016 - 20:15

маргарита

как делить в столбик на 100?

16 марта, 2016 - 20:17

маргарита

зарание спасибо)

24 марта, 2016 - 11:02

Наталья Николаевна

А зачем на 100 делить в столбик???
Принцип деления на 10, 100, 1000 и т.д. "Частное равно делимому, уменьшенному на то количество цифр, сколько нулей стоит в делителе".
Например,
1200 : 10 = 120 или 123 : 10 = 12,3;
1200 : 100 = 12 или 1234 : 100 = 12,34;
12000 : 1000 = 12 или 12345 : 1000 = 12,345

4 сентября, 2017 - 16:55

диана

класно очень помогло с уроками