<< Назад | Оглавление | Далее >>
3.2. Умножение «в столбик»
До сих пор мы умели только умножать на счетах в пределах ${24 \times 24}$. Настало время научиться перемножать бóльшие числа, и не на счетах, а на бумаге — с помощью процедуры, которая называется умножением «в столбик».
Надо честно признаться: умножение «в столбик» — это одна из самых неприятных и нудных вещей во всей математике. Хуже нее только деление «уголком», которым мы тоже вскоре займемся. Как только мы освоим умножение «в столбик» и деление «уголком», мы можем смело утверждать, что самый трудный участок на пути изучения математики у нас остался позади.
Прежде всего нам понадобится таблица умножения в пределах от ${2 \times 2}$ до ${9 \times 9}$. Удобнее всего ее записать в таком виде:
| $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
$2$ | $4$ | $6$ | $8$ | $10$ | $12$ | $14$ | $16$ | $18$ |
$3$ | $6$ | $9$ | $12$ | $15$ | $18$ | $21$ | $24$ | $27$ |
$4$ | $8$ | $12$ | $16$ | $20$ | $24$ | $28$ | $32$ | $36$ |
$5$ | $10$ | $15$ | $20$ | $25$ | $30$ | $35$ | $40$ | $45$ |
$6$ | $12$ | $18$ | $24$ | $30$ | $36$ | $42$ | $48$ | $54$ |
$7$ | $14$ | $21$ | $28$ | $35$ | $42$ | $49$ | $56$ | $63$ |
$8$ | $16$ | $24$ | $32$ | $40$ | $48$ | $56$ | $64$ | $72$ |
$9$ | $18$ | $27$ | $36$ | $45$ | $54$ | $63$ | $72$ | $81$ |
Это так называемая таблица Пифагора. Здесь на пересечении строки, помеченной числом $3$, и колонки, помеченной числом $5$, стоит как раз произведение чисел ${3 \cdot 5}$, то есть $15$. Подобным же образом мы можем по этой таблице быстро найти произведение любых однозначных чисел (за исключением нуля и единицы, но умножать на ноль и единицу настолько легко, что никакая таблица не нужна).
В школе эту таблицу заставляют учить наизусть. На мой взгляд, в этом нет никакой необходимости. Пусть она просто будет под рукой, и этого совершенно достаточно. По мере того как мы будем практиковаться в умножении «в столбик», она выучится сама собой.
Таблицу умножения на отдельном листе (в формате pdf) можно взять здесь.
Итак, приступим к умножению чисел. Для начала научимся умножать многозначные числа (состоящие из нескольких цифр) на однозначные (состоящие из одной цифры). Пусть нам надо вычислить
${6879 \cdot 7}$.
Воспользовавшись свойствами умножения, которые мы проходили на прошлом уроке, мы можем написать:
$6879 \cdot 7$ =
$(9$ | $+$ | $7 \cdot 10$ | $+$ | $8 \cdot 100$ | $+$ | $6 \cdot 1000) \cdot 7$ | $=$ |
$9 \cdot 7$ | $+$ | $7 \cdot 7 \cdot 10$ | $+$ | $8 \cdot 7 \cdot 100$ | $+$ | $6 \cdot 7 \cdot 1000$ | $=$ |
$63$ | $+$ | $49 \cdot 10$ | $+$ | $56 \cdot 100$ | $+$ | $42 \cdot 1000$ | $=$ |
| $6~3$ |
$+$ | $4~9~0$ |
$+$ | $5~6~0~0$ |
$+$ | $4~2~0~0~0$ |
Перепишем это в виде упрощенной таблицы (очень похожей на ту, какую мы писали, когда учились сложению столбиком):
$\times$ | $6$ | $8$ | $7$ | $9$ |
|
|
| $7$ | |
| $6$ | $3$ | ||
| $4$ | $9$ |
| |
| $5$ | $6$ |
| |
$4$ | $2$ |
| ||
Теперь остается сложить числа под горизонтальной линией — и ответ готов:
$\times$ | $6$ | $8$ | $7$ | $9$ |
|
|
| $7$ | |
| $6$ | $3$ | ||
| $4$ | $9$ |
| |
| $5$ | $6$ |
| |
$4$ | $2$ |
| ||
| $1$ | $1$ |
|
|
$4$ | $8$ | $1$ | $5$ | $3$ |
Надо ли пояснять, откуда взялись маленькие единички над нашим ответом? Когда мы в разряде десятков сложили $6$ и $9$, то получили $15$. Последнюю цифру этого числа (то есть пятерку) мы записали в ответе в разряде десятков, а первую цифру этого числа (то есть единицу) перенесли в следующий разряд в виде маленькой приподнятой единички. Потом в разряде сотен мы стали складывать $4$ и $6$, и не забыли добавить сюда же эту самую единичку. Получившееся число $11$ тоже записали наискосок: вторую единицу покрупнее и пониже (в аккурат в строке ответа), а первую единицу поменьше и повыше.
Мы теперь, в принципе, умеем умножать на однозначное число. Но давайте подумаем над усовершенствованиями. Во-первых, перепишем нашу табличку в более компактном виде:
$\times$ | $6$ | $8$ | $7$ | $9$ |
|
|
| $7$ | |
$4$ | $5$ | $4$ | $6$ |
|
| $2$ | $6$ | $9$ | $3$ |
| $1$ | $1$ |
|
|
$4$ | $8$ | $1$ | $5$ | $3$ |
А во-вторых, подумаем над возможностью более радикального сокращения записи. Вернемся в исходное положение:
$\times$ | $6$ | $8$ | $7$ | $9$ |
|
|
| $7$ |
В разряде единиц умножим $9$ на $7$. Результат $63$ запишем, как и раньше, наискосок, но шестерку сделаем совсем маленькой:
$\times$ | $6$ | $8$ | $7$ | $9$ |
|
|
| $7$ | |
|
|
| $6$ |
|
|
|
|
| $3$ |
Теперь умножим в разряде десятков $7$ на $7$. Получаем $49$. Прибавляем сюда нашу «маленькую» шестерку: ${49 + 6 = 55}$. Этот результат опять записываем наискосок:
$\times$ | $6$ | $8$ | $7$ | $9$ |
|
|
| $7$ | |
|
| $5$ | $6$ |
|
|
|
| $5$ | $3$ |
Переходим к разряду сотен: ${8 \cdot 7 + 5 = 61}$. Записываем:
$\times$ | $6$ | $8$ | $7$ | $9$ |
|
|
| $7$ | |
| $6$ | $5$ | $6$ |
|
|
| $1$ | $5$ | $3$ |
И, наконец, в разряде тысяч получаем ${6 \cdot 7 + 6 = 48}$:
$\times$ | $6$ | $8$ | $7$ | $9$ |
|
|
| $7$ | |
$4$ | $6$ | $5$ | $6$ |
|
$4$ | $8$ | $1$ | $5$ | $3$ |
Здесь мы еще перенесли «маленькую» четверку в разряде десятков тысяч вниз, чтобы получить окончательный ответ. Не правда ли, наши вычисления стали короче, а запись еще более компактной?
Теперь возникает резонный вопрос. А как мы будем записывать эти вычисления в нашей тетрадке по математике, разлинованной в клетку? Будем ли мы писать «маленькие» цифры в отдельном ряду клеток или же втискивать их в тот же ряд клеток, где у нас записан ответ? Оба варианта не слишком хороши. Поэтому я предлагаю делать наши вычисления в столбик на отдельных листах бумаги. Для этого прекрасно подойдут обычные белые листы, какие используются для принтеров и копировальных машин. А тех, кому работать на линованной бумаге всё же привычнее, приглашаю воспользоваться листами с особой линовкой.
Лист со специальной линовкой для вычислений можно взять здесь (формат pdf).
Надо отметить, что в школе учат умножать «в столбик» несколько по-другому. Отличие состоит в том, что «маленькие» цифры не записывают на бумагу, а держат в уме — вероятно, по той именно причине, что в стандартных тетрадках в клетку их проcто некуда записывать. На мой взгляд, это слишком усложняет процесс счета и только способствует ошибкам.
Переходим к умножению на двузначные числа. Пусть требуется вычислить
${6879 \cdot 67}$.
Ну что ж, приступим.
$6879~\cdot$ $6$$7$ =
$6879~\cdot($$7$ $+$ $6 \cdot 10$$) =$
$6879 \cdot 7$
+
$6879 \cdot 6 \cdot 10$ $=$
| $6~3$ |
$+$ | $4~9~0$ |
$+$ | $5~6~0~0$ |
$+$ | $4~2~0~0~0$ |
| $+$ |
| $5~4~0$ |
$+$ | $4~2~0~0$ |
$+$ | $4~8~0~0~0$ |
$+$ | $3~6~0~0~0~0$ |
Здесь при умножении на $6$ мы воспользовались тем же приемом, что и при умножении на $7$, только к каждому получившемуся слагаемому приписали еще $0$ из-за дополнительного умножения на $10$. Сумму «желтых» слагаемых находим точно так же, как раньше мы находили сумму «зеленых» слагаемых:
| $\times$ | $6$ | $8$ | $7$ | $9$ |
|
|
| $6$ | $7$ | |
| $4$ | $6$ | $5$ | $6$ |
|
| $4$ | $8$ | $1$ | $5$ | $3$ |
$4$ | $5$ | $4$ | $5$ |
|
|
$4$ | $1$ | $2$ | $7$ | $4$ |
|
Складываем получившиеся ряды «больших» цифр и получаем окончательный ответ (при этом «маленькие» цифры можно зачеркнуть, чтобы не мешались):
| $\times$ | $6$ | $8$ | $7$ | $9$ |
|
|
| $6$ | $7$ | |
| $\require{cancel} \cancel{~4~}$ | $\require{cancel} \cancel{~6~}$ | $\require{cancel} \cancel{~5~}$ | $\require{cancel} \cancel{~6~}$ |
|
| $4$ | $8$ | $1$ | $5$ | $3$ |
$\require{cancel} \cancel{~4~}$ | $\require{cancel} \cancel{~5~}$ | $\require{cancel} \cancel{~4~}$ | $\require{cancel} \cancel{~5~}$ |
|
|
$4$ | $1$ | $2$ | $7$ | $4$ |
|
| $1$ |
|
|
|
|
$4$ | $6$ | $0$ | $8$ | $9$ | $3$ |
Подобным же образом делается умножение на трехзначные числа. Например:
|
| $\times$ | $6$ | $8$ | $7$ | $9$ |
|
|
| $2$ | $6$ | $7$ | |
|
| $\require{cancel} \cancel{~4~}$ | $\require{cancel} \cancel{~6~}$ | $\require{cancel} \cancel{~5~}$ | $\require{cancel} \cancel{~6~}$ |
|
|
| $4$ | $8$ | $1$ | $5$ | $3$ |
| $\require{cancel} \cancel{~4~}$ | $\require{cancel} \cancel{~5~}$ | $\require{cancel} \cancel{~4~}$ | $\require{cancel} \cancel{~5~}$ |
|
|
| $4$ | $1$ | $2$ | $7$ | $4$ |
|
$\require{cancel} \cancel{~1~}$ | $\require{cancel} \cancel{~1~}$ | $\require{cancel} \cancel{~1~}$ | $\require{cancel} \cancel{~1~}$ |
|
|
|
$1$ | $3$ | $7$ | $5$ | $8$ |
|
|
| $1$ | $1$ | $1$ |
|
|
|
$1$ | $8$ | $3$ | $6$ | $6$ | $9$ | $3$ |
Если в середине трехзначного числа стоит ноль, то запись выглядит так:
|
| $\times$ | $6$ | $8$ | $7$ | $9$ |
|
|
| $2$ | $0$ | $7$ | |
|
| $\require{cancel} \cancel{~4~}$ | $\require{cancel} \cancel{~6~}$ | $\require{cancel} \cancel{~5~}$ | $\require{cancel} \cancel{~6~}$ |
|
|
| $4$ | $8$ | $1$ | $5$ | $3$ |
$\require{cancel} \cancel{~1~}$ | $\require{cancel} \cancel{~1~}$ | $\require{cancel} \cancel{~1~}$ | $\require{cancel} \cancel{~1~}$ |
|
|
|
$1$ | $3$ | $7$ | $5$ | $8$ |
|
|
| $1$ | $1$ |
|
|
|
|
$1$ | $4$ | $2$ | $3$ | $9$ | $5$ | $3$ |
Наконец, умножение круглых чисел (которые оканчиваются нулями) записывается в таком виде:
|
| $\times$ | $6$ | $8$ | $7$ | $9$ | $0$ |
|
|
|
|
| $2$ | $6$ | $7$ | $0$ | $0$ | ||
|
| $\require{cancel} \cancel{~4~}$ | $\require{cancel} \cancel{~6~}$ | $\require{cancel} \cancel{~5~}$ | $\require{cancel} \cancel{~6~}$ |
|
|
|
|
|
| $4$ | $8$ | $1$ | $5$ | $3$ |
|
|
|
| $\require{cancel} \cancel{~4~}$ | $\require{cancel} \cancel{~5~}$ | $\require{cancel} \cancel{~4~}$ | $\require{cancel} \cancel{~5~}$ |
|
|
|
|
|
| $4$ | $1$ | $2$ | $7$ | $4$ |
|
|
|
|
$\require{cancel} \cancel{~1~}$ | $\require{cancel} \cancel{~1~}$ | $\require{cancel} \cancel{~1~}$ | $\require{cancel} \cancel{~1~}$ |
|
|
|
|
|
|
$1$ | $3$ | $7$ | $5$ | $8$ |
|
|
|
|
|
| $1$ | $1$ | $1$ |
|
|
|
|
|
|
$1$ | $8$ | $3$ | $6$ | $6$ | $9$ | $3$ | $0$ | $0$ | $0$ |
Конспект
1. Таблица умножения — это таблица, из которой можно узнать результаты умножения всех однозначных чисел друг на друга. (Умножение на единицу может быть опущено, так как результат в этом случае очевиден.)
2. Умножение «в столбик» многозначного числа на однозначное. К первому сомножителю — многозначному числу — приписываем снизу, под разрядом единиц, второй сомножитель — однозначный. Еще ниже резервируем две строки: первая, вспомогательная, — половинной высоты; вторая, предназначенная для ответа, — нормальной высоты.
Умножаем разряд единиц первого сомножителя на второй (однозначный) сомножитель — в результате получаем однозначное или двузначное число. Последнюю цифру этого числа пишем в строке ответа — под разрядом единиц. Предпоследнюю цифру (если она есть) записываем во вспомогательную строку в разряд десятков.
Умножаем разряд десятков первого сомножителя на второй сомножитель и прибавляем цифру, стоящую в разряде десятков во вспомогательной строке (если она там есть). В результате получаем однозначное или двузначное число. Последнюю цифру этого числа пишем в строке ответа в разряде десятков. Предпоследнюю (если она есть) — во вспомогательной строке в разряде сотен.
Продолжаем точно также со всеми остальными разрядами. Если при умножении самого старшего разряда мы поставили во вспомогательную строку какое-то число, то переносим его в строку ответа.
3. Умножение «в столбик» двух многозначных чисел. Первое число умножаем на каждый из разрядов второго числа — так, как мы это делали, когда умножали многозначное число на однозначное. Результаты записываем «в столбик» друг под другом со сдвигом согласно разряду, а затем складываем их.
4. При умножении друг на друга круглых чисел, оканчивающихся нулями, отбрасываем сперва конечные нули, а потом, получив окончательный результат, приписываем к нему справа столько нулей, сколько мы их первоначально отбросили.
Из «бесконечного» сборника типовых упражнений
Умножение на однозначное число
Умножение на трехзначное число
<< Назад | Карта сайта | Главная | Далее >>