1.4. Многозначные числа

Снова достаем монеты и счеты. Давайте вспомним, что надо делать, чтобы сложить числа $9$ и $3$ на монетах и счетах одновременно. Вспомнили? Получили ответ? Хорошо. А теперь сложим $90$ и $30$. Это почти та же самая задача. Кладем перед собой девять дестюльников, а немного поодаль заготовляем еще три дестюльника. На счетах во втором ряду откладываем девять бусинок. Перетаскиваем к себе один дестюльник и откладываем во втором ряду еще одну бусинку. Настало время идти в банк. Отдаем там десять дестюльников и получаем взамен один рубль, потому что один рубль — это столько же, сколько десять дестюльников или сто копеек. На счетах сбрасываем все бусинки во втором ряду и откладываем одну бусинку в третьем ряду. Третий ряд для того и предназначен, чтобы откладывать здесь рубли или сотни копеек. Теперь осталось перетащить к себе оставшиеся два дестюльника и отложить две бусинки во втором ряду. Ответ получен! Осталось его правильно записать.

Осматриваем ряды снизу вверх. На первом ряду ноль бусинок: пишем на бумаге цифру $0$. На втором ряду отложено две бусинки: приписываем слева цифру $2$. На третьем ряду отложена одна бусинка: дописываем слева $1$. На остальных рядах отложенных бусинок нет: писать больше ничего не требуется. Мы получили в результате число $120$ (читается «сто двадцать»). Вот мы и научились переваливать за сотню! Если нам теперь будет дано какое-то число, написанное на бумаге, — несколько цифр, стоящих друг за другом — мы всегда сможем отложить его на счетах. Нижний ряд бусинок соответствует последней цифре числа, второй ряд с низу — предпоследней и так далее. Не беда, если мы пока не умеем читать слишком длинные числа.

Теперь посчитаем, чему равно ${120 - 30}$. Для этого мы обратим все вычисления из прошлого примера вспять, только при хождении в банк слегка отклонимся от обратного порядка. А именно, когда придет время отнять от рубля один дестюльник,  мы сперва возьмем в банке десять дестюльников, отложим в сторону один из них, и лишь потом отнесем в банк один рубль. Соответственно, вначале отложим на счетах все бусинки второго ряда, сбросим из них одну, а затем сбросим также бусинку в третьем ряду. Это, вообще-то, не так уж и важно, в каком порядке проводить операции с банком, но на практике при вычислении на счетах удобнее вначале разобраться с нижним рядом, и только потом переходить к верхнему. Это позволяет делать вычисления более быстро и уменьшает вероятность ошибки.

Сможем ли мы теперь вычислить ${900 + 300}$? Тут почти всё то же самое, только складывать надо не копейки, а рубли, и, когда наберется десяток рублей, следует поменять их на одну десятирублевую бумажку, которая заменяет тысячу копеек.

Вызовут ли нас затруднения вычисления типа ${91 + 34}$ или ${921 + 345}$? Пожалуй, нет, не вызовут: все они состоят из знакомых нам действий с монетами или бусинками. Постепенно усложняем задания и приучаемся обходиться одними счетами, без монет:

$900 - 200 =$

$91 + 23 =$

$114 - 23 =$

$901 + 203 =$

$1104 - 203 =$

$910 + 230 =$

$1140 - 230 =$

$914 + 235 =$

$1149 - 235 =$

и тому подобное...

Особых пояснений требуют задания типа

$99 + 1$ =

$100 − 1$ =

В подобных случаях требуется проводить с банком две обменные операции. Например, для того чтобы из ста вычесть единицу, мы привычным образом берем в банке десять однокопеечных монет и откладываем одну из них в сторону. Затем настает время отнести в банк дестюльник, но свободного дестюльника у нас нету. Поэтому мы берем в банке десять дестюльников, и один из них сразу же возвращаем обратно. После этого мы отдаем банку один рубль, и у нас на руках остается девять дестильников и девять однокопеечных монет.

Замечание. Если вычисление какого-то примера на счетах вызывает трудности, порядок действий всегда можно узнать, обратившись к онлайн-тренажеру «Счеты».

Конспект

1. Чтобы сложить числа $90$ и $30$, надо проделать те же действия, что и при сложении $9$ и $3$. Вся разница заключается в том, что при сложении монет надо брать не копейки, а дестюльники. При вычислении на счетах надо откладывать бусинки не в первом нижнем ряду, а во втором. Чтобы сложить $900$ и $300$, мы берем рублевые («стокопеечные») монеты, а на счетах — откладываем бусинки в третьем ряду.

2. Всякое число можно записать бумаге в виде одной или нескольких цифр. Эту запись можно перенести на счеты. В нижнем ряду счет откладываем столько бусинок, какова последняя цифра в записи числа. Во втором ряду снизу откладываем предпоследнюю цифру и так далее. Благодаря этому мы можем складывать и вычитать на счетах любые числа, даже не умея их называть.

Задачи

1.4.1. Вставить подходящие числа вместо многоточий:

$25 + \ldots = 31$

$\ldots + 42 = 50$

$60 - \ldots = 45$

$\ldots - 4 = 18$

и т.п.

1.4.2. Перевести в копейки:

$4$ р.;

$7$ р. $34$ к.;

$32$ р. $63$ к.;

и т. п.

1.4.3. Перевести в рубли:

$300$ к.;

$2500$ к.;

и т. п.

1.4.4. Выразить в рублях и копейках:

$356$ к.;

$7645$ к.;

и т.п.

1.4.5. Вычислить:

$4$ р. + $38$ к.

$4$ р. − $38$ к.

и т.п.

Это задание — хороший повод поговорить о правиле: складывать можно только одинаковые вещи: например, рубли с рублями или копейки с копейками. Число рублей с числом копеек складывать нельзя! Вначале надо рубли перевести в копейки, и только тогда полученные числа можно складывать, то есть:

$4$ р. + $38$ к. = $400$ к. + $38$ к. = $438$ к. = $4$ р. $38$ к.

Такое же правило действует и при вычитании.

Замечание. В одном из школьных учебников мне встретилась задача: «В классе $12$ мальчиков и $14$ девочек. Сколько всего в классе детей?» Решение было преподнесено в следующем виде:

$12$ мальчиков + $14$ девочек = $26$ детей

На мой взгляд, такая запись, попавшись на глаза начинающему ученику, может способствовать развитию у него дурной привычки складывать, не задумываясь, всё без разбору. Правильно писать так:

$12 + 14 = 26$

Или:

$12$ детей + $14$ детей = $26$ детей

Пока «мальчики» и «девочки» не переведены в разряд «детей», складывать их нельзя.

 

Примеры из «динамических» прописей

Сложение и вычитание в пределах 1000

То же с «уравнениями»

Сложение и вычитание в пределах 1000 с возможным «приписыванием нулей»

То же с «уравнениями»

Сложение и вычитание в пределах 1000 (с возможным «приписыванием нулей», разность может быть отрицательной)

То же с «уравнениями»

 

Примеры из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Сложение и вычитание трехзначных чисел

Сложение и вычитание цен