1.3. Разряды чисел. Сложение и вычитание по разрядам

Взрослый высыпает на стол перед ребенком горсть однокопеечных монет и просит их пересчитать (подойдут любые мелкие монеты, на которых написана цифра $1$). Эта сложная задача, требующая длительной концентрации внимания, и, вероятно, ребенку не сразу удастся с ней справиться. Потом взрослый показывает ребенку одну «хитрость». Оказывается, пересчитывая монеты, можно складывать их в стопки по десять. Теперь, если даже отвлечешься и собьешься со счета, не надо начинать всё с начала. Ведь содержание уже сформированных стопок пересчитывать не требуется! Несколько последних монет, из которых нельзя сделать полноценной стопки, остаются лежать на столе россыпью. Пусть ребенок убедиться, что считать по-новому гораздо быстрее и легче. Особенно легко определять количество монет, если все стопки по десять уже выложены. Ребенок должен научиться быстро отвечать на вопросы:

— Сколько стопок (полных десятков)?

— Сколько монет россыпью (отдельных единиц)?

— Сколько всего монет?

Следующее задание: быстро отобрать заданное количество монет (в пределах от $1$ до $99$), пользуясь заранее сформированными стопками.

Далее можно приступать к «хитрому» способу сложения и вычитания. «Отбери, пожалуйста, $32$ монеты», — говорит взрослый ребенку. — «А теперь еще $24$ монеты. Прекрасно! Сколько всего монет ты отобрал?» Хорошо бы ребенок сам догадался пересчитать вместе все стопки, а потом вместе все отдельные монеты (иначе придется ему это подсказать). Теперь он может быстро назвать ответ. Точно так же складываются числа $53$ и $25$, $40$ и $38$ и тому подобное. Но вот новое задание, казалось бы, очень похожее на предыдущие: сложить $36$ и $27$. Тут есть подвох. Если всё делать по-старому, то получится несуществующее число «пятьдесят тринадцать». Как быть? Ага! Из монет, оставшихся в россыпи, можно сделать еще одну полноценную стопку, и всё тогда становится на свои места. Пятьдесят тринадцать превращается в шестьдесят три. Теперь ребенок может самостоятельно тренироваться складывать любые числа (лишь бы результат оставался в пределах сотни).

Настала очередь разбираться с вычитанием. «Отбери, пожалуйста, $35$ монет. А теперь $12$ из них положи в сторону. Сколько монет осталось?» Ясно, что нужно убрать одну стопку и еще две монеты из россыпи. А вот задание посложнее: отобрать $35$ монет и из них отложить в сторону $16$. Ну, что ж, откладываем одну стопку, и еще пять монет из россыпи, а дальше что? Отдельных монеток больше не осталось. Придется рассыпать одну из стопок. Из новой россыпи и откладываем последнюю, шестую монету. После того как ребенок поймет принцип «хитрого» вычитания, ему можно давать соответствующие задания для самостоятельной работы.

Пора думать о новых усовершенствованиях. Всё-таки иметь дело со стопками не очень практично. Стопки неудобно перемещать с места на место: они того и гляди рассыпятся, да и хранить их непонятно как. Давайте использовать вместо стопок десятикопеечные монеты — «дестюльники». И пусть у нас будет «банк», в котором всегда можно поменять стопку из десяти однокопеечных монет на один дестюльник и обратно. Допустим, нам надо сложить $27$ и $48$. Мы берем вначале два дестюльника и семь копеек, потом добавляем четыре дестюльника и восемь копеек. Далее сгребаем дестюльники в одну кучку, а копеечные монеты — в другую. Из десяти копеечных монет формируем одну стопку, несем ее в банк и берем взамен еще один дестюльник. Получаем результат: семь дестюльников и пять копеек. Вычитание проделывается аналогично. Допустим, надо из числа $34$ вычесть $18$. Начинаем с трех дестюльников и четырех копеек. Откладываем один дестюльник на другой конец стола, потом — четыре копейки. Надо бы и дальше продолжать откладывать, да копейки кончились. Не беда. Меняем в банке один дестюльник на десять копеечных монет и продолжаем перекладывать копейки, пока на другом конце стола их не наберется восемь штук. Ответ получен!

Напрактиковавшись в «хитром» сложении и вычитании с помощью копеек и дестюльников, ребенок подготовлен к тому, чтобы пользоваться счетами «по-взрослому». Поначалу, все вычисления проводятся параллельно на монетах и на счетах. Новые правила откладывания чисел на счетах таковы. Когда все бусинки находятся на правой стороне — это «нисколько», «ноль». Число отдельных единиц (однокопеечных монет) откладываются справа налево на самом нижнем ряду, а число десятков (дестюльников) — на втором ряду снизу. Остальные ряды пока не трогаем. Пусть требуется сложить $47$ и $35$. Берем четыре дестюльника и семь копеек, а параллельно на счетах откладываем семь бусинок первого (нижнего) ряда, и четыре бусинки второго ряда. На другом конце стола заготавливаем три дестюльника и пять копеек. Операцию сложения начинаем с перетаскивания копеек. Перенесли первую копейку — и тут же отложили еще одну бусинку в нижнем ряду счет. Перенесли вторую копейку — отложили бусинку. Перенесли третью копейку — отложили бусинку. Меж тем, отдельных копеек набралось уже десять штук, а все бусинки в нижнем ряду переместились в левую сторону. Относим в банк десять копеек и берем взамен один дестюльник — на счетах сбрасываем все бусинки первого ряда и немедленно (обратным движением руки) откладываем одну бусинку во втором ряду. Перенесли четвертую копейку — отложили бусинку в нижнем ряду. Пятую — отложили бусинку. Копейки закончились. Переносим дестюльники. После каждого дестюльника откладываем бусинку во втором ряду. Когда дестюльники заканчиваются, убеждаемся, что на монетах и на счетах получился один и тот же ответ.

При вычитании чисел поступаем аналогично. Вначале удаляем одну за другой копейки — и параллельно сбрасываем бусинки в нижнем ряду. Если копеек не хватает, то берем в банке десять копеечных монет в обмен на дестюльник, — откладываем нижний ряд полностью и немедленно сбрасываем одну бусинку во втором ряду. (Впоследствии порядок расчетов с банком будет несколько изменен.) Покончив с копейками, удаляем один за другим дестюльники, параллельно сбрасывая бусинки во втором ряду.

После некоторой тренировки монеты становятся не нужны — ребенку достаточно пользоваться одними лишь счетами.

Этот этап очень сложен и очень важен, потому что здесь ребенок впервые сталкивается с математической абстракцией. Здесь важно не торопиться и хорошенько закрепить пройденный материал, прежде чем идти дальше. Отныне сложение и вычитание чисел не должно представлять никакой проблемы.

Необязательное дополнение 1: «уравнения»

Возвращаемся к заданиям, в которых надо заменить многоточие на подходящее число, например:

$\ldots + 58 = 93$

$86 - \ldots = 47$

Раньше, когда мы имели дело с маленькими числами, которые легко охватить одним взглядом, ребенок мог без труда «увидеть» верный ответ, и ему необязательно было очень внимательно слушать объяснения взрослых. Теперь, казалось бы, почти те же самые задачи могут вдруг оказаться ужасно сложными.

Это хороший повод поговорить об одном хорошем способе упрощения сложных задач. Пусть, например, нам досталось такое задание:

$\ldots + 58 = 93$

Отставим на время этот пример в сторонку, а вместо него возьмем пример очень похожий, но совсем простой:

$\ldots + 3 = 5$

Ну, конечно, тут вместо многоточия нужно поставить двойку:

$\underline{\,2\,} + 3 = 5$

Ведь мы этим уже занимались! Мы можем даже теперь взять однокопеечные монетки и выложить их таким образом:

①  ①     ①  ①  ①

И тогда всё сразу становится ясно. Но спрашивается, а как можно получить этот ответ из тех чисел, которые нам известны? Конечно, так:

$5 - 3 = 2$

А теперь возвращаемся к первоначальному заданию и производим те же самые действия с исходными числами:

$93 - 58 = 35$

Можно выписывать ответ:

$\underline{\,35\,} + 58 = 93$

Только его еще обязательно надо проверить: всё-таки мы получили его не совсем строгим способом. То есть мы должны теперь честно посчитать на счетах, сколько будет «${35 + 58}$», и убедиться, что мы получим в результате именно $93$.

Все другие задания с многоточиями решаются точно таким же образом. Давайте, еще раз посмотрим на всю ту же картинку и составим табличку типовых решений

①  ①     ①  ①  ①

 

Необязательное дополнение 2: «отрицательные числа»

Для примеров с отрицательными числами предыдущую табличку можно продолжить:

 

Конспект

1. Пересчет. Допустим, мы хотим пересчитать однокопеечные монеты (в пределах сотни). Для этого складываем их в стопки по десять штук. Несколько последних монет, из которых нельзя сделать полноценной стопки, остаются лежать россыпью. Если у нас пять стопок и три монеты россыпью, значит, всего у нас $53$ монеты.

2. Сложение. Пусть надо сложить две кучки монет. Каждую кучки представляем в виде стопок по $10$ монет и россыпи. Например, в первой кучке может оказаться $3$ стопки и $6$ отдельных монеток — всего $36$ монет. А во второй кучке — $2$ стопки и $7$ отдельных монеток — всего $27$ монет. Сдвигаем кучки вместе — стопки к стопкам, россыпь к россыпи. Получаем ${3 + 2 = 5}$ стопок и ${6 + 7 = 13}$ монеток в россыпи. Из этих $13$ монеток мы составляем еще одну полноценную стопку, и у нас остаются еще $3$ монетки. Итого, у нас ${5 + 1 = 6}$ стопок и $3$ отдельные монетки — всего $63$ монет.

3. Вычитание. Допустим, у нас есть кучка из $35$ монет — $3$ стопки и $5$ монеток россыпью — и мы хотим отобрать из нее $16$ монет. Отбираем одну стопку и замечаем, что не можем отобрать $6$ отдельных монеток из россыпи в $5$ монет. Поэтому рассыпаем одну из оставшихся стопок. Теперь у нас в россыпи ${10 + 5 = 15}$ монет. Отбираем из них $6$ монеток. Cмотрим, что осталось: из трех первоначальных стопок одну отобрали и одну рассыпали, осталась одна. В россыпи у нас находится ${15 - 6 = 9}$ монеток. Значит, всего осталось $19$ монет.

4. «Банк». Вместо стопок из десяти однокопеечных монет удобнее пользоваться десятикопеечными монетами — «дестюльниками». Если при сложении кучек у нас набирается больше десяти копеек россыпью, мы идем в «банк» и меняем десять однокопеечных монет на один дестюльник. Если при разбиении одной кучки на две части, нам не хватает монет в россыпи, мы меняем в «банке» один дестюльник на десять однокопеечных монет.

5. Сложение и вычитание на счетах. Все действия с монетами — отдельными копейками и дестюльниками — можно «перенести» на счеты. Однокопеечные монеты мы заменяем бусинками из нижнего ряда, которые мы откладываем с правой стороны на левую. Дестюльники заменяем бусинками из второго ряда. Если при сложении у нас набирается полный нижний ряд, мы его сбрасываем обратно и тут же откладываем бусинку из второго ряда. Если при вычитании нам не хватает бусинок на нижнем ряду, откладываем нижний ряд полностью и немедленно сбрасываем одну бусинку во втором ряду.

6. Уравнения. Если уравнения с большими числами, например ${86 - … = 47}$, вызывают затруднения, имеет смысл вначале решить похожее уравнение с маленькими числами, например ${5 - … = 2}$. Здесь сразу видно, что вместо многоточия надо поставить ${5 - 2 = 3}$. Значит, в исходном уравнении вместо многоточия должно стоять ${86 - 47 = 39}$.

Задачи

1.3.1. Взрослый называет число. Вопрос: сколько в этом числе полных десятков, сколько отдельных единиц?

1.3.2. Обратная задача. В некотором числе столько-то полных десятков и столько-то отдельных единиц. Что это за число?

Примеры из «динамических» прописей

Сложение и вычитание в пределах 100

То же с «уравнениями»

Сложение и вычитание в пределах 100 (разность может быть отрицательной)

То же с «уравнениями»