4.1. Точка, прямая, плоскость. Расстояние и смещение. Действительные числа

Разобравшись с тем, что такое единицы измерения и размерность, мы можем теперь перейти собственно к измерениям. В школьной математике используются два измерительных прибора: (1) линейка для измерения расстояний и (2) транспортир для измерения углов.

Точка

Расстояние всегда измеряется между какими-либо двумя точками. С практической точки зрения точка представляет собой маленькое пятнышко, которое остается на бумаге, если ткнуть в нее карандашом или ручкой. Другой, более предпочтительный способ задать точку, — это нарисовать крестик двумя тонкими линиями, в результате чего задается точка их пересечения. На чертежах в книгах точка часто изображается в виде маленького черного кружочка. Но это всё лишь приблизительные наглядные изображения, а в строгом математическом смысле, точка — это воображаемый объект, размер которого по всем направлениям равен нулю. Для математиков весь мир состоит из точек. Точки находятся везде. Когда мы тыкаем ручкой в бумагу или рисуем крестик, мы не создаем новую точку, а лишь ставим метку на уже существующую, для того чтобы привлечь к ней чье-либо внимание. Если не оговорено противное, то подразумевается, что точки неподвижны и не меняют своего взаимного расположения. Но несложно вообразить и движущуюся точку, которая перемещается с места на место, как бы сливаясь то с одной неподвижной точкой, то с другой.

Прямая

Приставив линейку к двум точкам, мы можем провести через них прямую линию, и притом единственным образом. Воображаемая математическая прямая, проведенная по воображаемой идеальной линейке, обладает нулевой толщиной и простирается в обе стороны до бесконечности. На реальном чертеже эта воображаемая конструкция принимает вид:

Собственно говоря, в этом рисунке всё неправильно. Толщина линии здесь явно больше нуля, и никак не скажешь, чтобы линия простиралась до бесконечности. Тем не менее подобные неправильные рисунки очень полезны в качестве опоры для воображения, и мы будем ими постоянно пользоваться. Для того чтобы было удобнее отличать одну точку от другой, их обычно помечают заглавными буквами латинского алфавита. На этом рисунке, например, точки обозначены буквами $A$ и $B$. Прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, автоматически получает название «прямая $AB$». Для краткости допустимо также обозначение $(AB)$, где опущено слово «прямая» и добавлены круглые скобки. Прямые также можно обозначать строчными буквами. На рисунке, приведенном выше, прямая $AB$ обозначена буквой $n$.

Помимо точек $A$ и $B$ на прямой $n$ имеется огромное число других точек, каждую из которых можно представить как пересечение с еще какой-то прямой. Через одну и ту же точку можно провести много разных прямых.

Если мы знаем, что на прямой имеются несовпадающие точки $A$, $B$, $C$ и $D$, то ее с полным правом можно обозначить не только как $(AB)$, но и как $(AC)$, $(BD)$, $(CD)$ и т.п.

Отрезок. Длина отрезка. Расстояние между точками

Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком. Эти ограничивающие точки также принадлежат отрезку и называются его концами. Отрезок, концы которого приходятся на точки $A$ и $B$, обозначается как «отрезок $AB$» или, несколько короче, $[AB]$. Порядок букв в этом обозначении роли не играет. Этот же отрезок с тем же успехом можно назвать отрезком $BA$ или же $[BA]$.

Всякий отрезок характеризуется длиной — числом «шагов» (возможно, дробным), которые надо сделать вдоль отрезка, чтобы попасть из одного конца в другой. При этом длина самого «шага» является строго фиксированной величиной, которая, таким образом, играет роль единицы измерения расстояния. Когда мы имеем дело с отрезками, нарисованными на листе бумаги, в качестве такой единицы удобно брать сантиметр. Если концы отрезка приходятся на точки $A$ и $B$, то его длина обозначается как $|AB|$ (или $|BA|$).

Под расстоянием между двумя точками понимается длина соединяющего их отрезка. Фактически, однако, проводить отрезок для измерения расстояния не требуется — достаточно приставить к обоим точкам линейку (на которой заранее нанесены следы от «шагов»). Поскольку в математике точка — это вымышленный объект, то ничто не мешает нам пользоваться в своем воображении идеальной линейкой, которая измеряет расстояние с абсолютной точностью. Не следует, однако, забывать, что реальная линейка, приложенная к пятнышкам или центрам крестиков на бумаге, позволяет устанавливать расстояние лишь приблизительно — с точностью до одного миллиметра. Расстояние всегда неотрицательно.

Положение точки на прямой

Пусть нам дана некоторая прямая. Отметим на ней произвольную точку и обозначим ее буквой $O$. Поставим рядом с ней число $0$ (Обратите внимание: для написания числа ноль используется более «тощий» символ, чем для буквы $O$). Какое-то одно из двух возможных направлений вдоль прямой назовем «положительным», а противоположное ему — «отрицательным». Обычно за положительное принимается направление слева направо или снизу вверх, но это необязательно. Отметим положительное направление стрелочкой, как показано на рисунке:

Теперь для любой точки, расположенной на прямой, мы можем определить ее положение. Положение точки $A$ задается величиной, которая может быть отрицательной, равной нулю или положительной. Ее абсолютное значение равно расстоянию между точками $O$ и $A$ (то есть длине отрезка $OA$), а знак определяется тем, в каком направлении от точки $O$ надо двигаться, чтобы попасть в точку $A$. Если двигаться надо в положительном направлении, то и знак положительный. Если в отрицательном, то и знак отрицательный. Вместо слова «положение» часто используют также слово «координата». Такая геометрическая конструкция называется направленной прямой, или же осью, с началом в точке $O$.

Иррациональные и действительные (вещественные) числа

Когда мы имеем дело с реальным чертежом и определяем положение реальной точки на реальной прямой с помощью школьной линейки, у нас получается значение, округленное с точностью до одного миллиметра. Иначе говоря, результатом оказывается величина, взятая из следующего ряда:

$0$ мм, $1$ мм, $-1$ мм, $2$ мм, $-2$ мм, $3$ мм, $-3$ мм и т.д.

Результат никак не может быть равен, например, $1/3$ см, потому что, как мы знаем, одна треть сантиметра представима в виде бесконечной периодической дроби

$0{,}333333333...$ см,

которая после округления должна стать равной $0{,}3$ см.

Иное дело, когда мы манипулируем в воображении идеальными математическими объектами.

Во-первых, в этом случае запросто можно отбрасывать единицы измерения и оперировать исключительно безразмерными величинами. Тогда мы приходим к геометрической конструкции, с которой мы познакомились, когда проходили рациональные числа, и которую мы назвали числовой прямой:

Теперь мы будем также называть ее числовой осью.

Во-вторых, мы вполне можем себе представить, что координата точки задается какой-нибудь периодической десятичной дробью, вроде

$0{,}333333333...$

Более того, мы можем вообразить бесконечную непериодическую дробь — такую, например, как

$1$${,}\underline{0}$$1$$\underline{00}$$1$$\underline{000}$$1$$\underline{0000}$$1$$\underline{00000}$$1$$\underline{000000}$$1$$...$

или

$1$${,}\underline{2}$$3$$\underline{4}$$5$$\underline{6}$$7$$\underline{8}$$9$$\underline{10}$$11$$\underline{12}$$13$$\underline{14}$$15$$\underline{16}$$17$$\underline{18}$$19$$\underline{20}$$21$$...$

Подобные воображаемые числа, представимые в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называются иррациональными. Иррациональные числа вместе с уже знакомыми нам рациональными числами образуют так называемые действительные числа. Вместо слова «действительные» употребимо также слово «вещественные». Любое мыслимое положение точки на прямой может быть выражено действительным числом. И наборот, если нам дано какое-то действительное число $x$, мы всегда можем представить себе точку $X$, положение которой задается числом $x$.

Смещение

Пусть $a$ — координата точки $A$, а $b$ — координата точки $B$. Тогда величина

$v = b - a$

является смещением, которое переводит точку $A$ в точку $B$. Это становится особенно очевидно, если предыдущее равенство переписать в виде

$b = a + v$.

Иногда вместо слова «смещение» используют слово «вектор». Также говорят, что точка $B$ смещена вдоль числовой оси относительно точки $A$ на величину $v$. Несложно видеть, что положение $x$ произвольной точки $X$ — это не что иное, как смещение, переводящее точку $O$ (с координатой, равной нулю) в точку $X$:

$x = 0 + x$.

Смещения можно складывать между собой, а также вычитать друг из друга. Так, если смещение $(b - a)$ переводит точку $A$ в точку $B$, а смещение $(c - b)$ точку $B$ в точку $C$, тогда смещение

$(b - a) + (c - b) = c - a$

переводит точку $A$ в точку $C$.

Замечание. По логике вещей, тут следовало бы уточнить, как надлежит складывать и вычитать иррациональные числа, поскольку смещение вполне может оказаться иррациональным. Разумеется, математики позаботились о том, чтобы выработать соответствующие формальные процедуры, но на практике мы этим заниматься не будем, так как для решения практических задач всегда достаточно приближенных вычислений с округленными величинами. Мы сейчас просто примем на веру, что понятия «сложение» и «вычитание» — а также «умножение» и «деление» — корректно определены для любых двух действительных чисел (с той, впрочем, оговоркой, что делить на ноль нельзя).

Тут, пожалуй, будет уместно отметить тонкое различие между понятиями «смещение» и «расстояние». Расстояние всегда неотрицательно. Оно фактически представляет собой смещение, взятое по абсолютной величине. Так, если смещение

$v = b - a$

переводит точку $A$ в точку $B$, тогда расстояние $s$ между точками $A$ и $B$ равно

$s = |v| = |b - a|$.

Это равенство остается справедливым независимо от того, которое из двух чисел больше — $a$ или $b$.

Плоскость

В практическом смысле, плоскость — это лист бумаги, на котором мы чертим наши геометрические чертежи. Воображаемая математическая плоскость отличается от листа бумаги тем, что она имеет нулевую толщину и неограниченную поверхность, которая простирается в разные стороны до бесконечности. Кроме того, в отличие от листа бумаги, математическая плоскость является абсолютно жесткой: она никогда не гнется и не мнется — даже если ее оторвать от письменного стола и расположить в пространстве каким угодно образом.

Расположение плоскости в пространстве однозначно задается тремя точками (если только они не лежат на какой-нибудь одной прямой). Чтобы это нагляднее себе представить, давайте нарисуем три произвольные точки, $O$, $A$ и $B$, и проведем через них две прямые $OA$ и $OB$, как показано на рисунке:

«Натянуть» в воображении плоскость на две пересекающиеся прямые уже несколько проще, чем «опереть» ее на три точки. Но для еще большей наглядности проделаем еще кое-какие дополнительные построения. Давайте возьмем наугад пару точек: одну в любом месте на прямой $OA$, а другую — в любом месте на прямой $OB$. Проведем через эту пару точек новую прямую. Далее, подобным же образом выберем другую пару точек и проведем через них еще одну прямую. Повторив эту процедуру много раз, мы получим что-то вроде паутины:

Наложить плоскость на такую конструкцию уже совсем просто — тем более что эту воображаемую паутину можно сделать настолько густой, что она покроет собой всю плоскость без пробелов.

Заметим, что если взять на плоскости пару несовпадающих точек и провести через них прямую, то эта прямая обязательно будет лежать в той же самой плоскости, что и точки.

Конспект

1. Точка ($A$, $B$, и т.п.): воображаемый объект, размер которого по всем направлениям равен нулю.

2. Прямая ($n$, $m$ или $(AB)$): бесконечно тонкая линия; проводится через две точки ($A$ и $B$) по линейке однозначным образом; простирается в обе стороны до бесконечности.

3. Отрезок ($[AB]$): часть прямой, ограниченная двумя точками ($A$ и $B$) — концами отрезка, которые также считаются принадлежащими отрезку.

4. Длина отрезка ($|AB|$): (дробное) число сантиметров (или же другой единицы измерения), укладывающихся между концами ($A$ и $B$).

5. Расстояние между двумя точками: длина отрезка с концами в этих точках.

6. Положение точки на прямой (координата): расстояние от точки до некоторого заранее выбранного центра (также лежащего на прямой) с приписанным знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того, по какую сторону от центра точка расположена. Прямая с выбранным началом отсчета и направлением отчета называется осью.

7. Положение точки на оси задается действительным (вещественным) числом, а именно — десятичной дробью, которая может быть либо (1) конечной или бесконечной периодической (рациональные числа), либо (2) бесконечной непериодической (иррациональные числа).

8. Смещение, переводящее точку $A$ (с координатой $a$) в точку $B$ (с координатой $b$): ${v = b - a}$. При этом говорят, что точка $B$ смещена относительно точки $A$ на величину $v$.

9. Расстояние равно смещению, взятому по абсолютной величине: ${|AB| = |b − a|}$.

10. Плоскость: бесконечно тонкий лист бумаги, простирающийся разные стороны до бесконечности; однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Задачи

4.1.1. Точки $A$ и $B$ расположены на одной оси. Известно, что расстояние между ними равно $|AB| = 3{\,\textit{см}}$, а координата точки $A$ равна $a = 5{\,\textit{см}}$. Чему равна координата точки $B$?

Нарисуем ось и отметим на ней точку $A$.

Точка $B$ может находится как слева, так и справа от точки $A$. В одном случае ее координата равна $b = a - |AB| = 2{\,\textit{см}}$, а в другом $b = a + |AB| = 8{\,\textit{см}}$.

Ответ. Задача имеет два решения: $2{\,\textit{см}}$ и $8{\,\textit{см}}$.

______

4.1.2. Три точки $A$, $B$ и $C$ расположены таким образом, что $|AB| = 5 {\,\textit{см}}$, $|BC| = 3 {\,\textit{см}}$, $|AC| = 7 {\,\textit{см}}$. Можно ли провести прямую, которая проходила бы через все эти три точки?

Возможен следующий порядок следования точек на прямой: $ABC$, $ACB$, $BAC$. В первом случае должно выполняться соотношение $|AB| + |BC| = |AC|$. Во втором случае: $|AC| + |CB| = |AB|$. В третьем случае: $|BA| + |AC| = |BC|$. Но ни одно из этих соотношений не выполняется. Значит, точки не могут располагаться на одной прямой.

Ответ. Нельзя.

______

4.1.3. На оси расположены точки $A$ и $B$ с координатами соответственно $a = -5 {\,\textit{см}}$ и $b = 3{\,\textit{см}}$. Найти координату $c$ точки $C$, расположенной на той же оси, если известно, что $|BC| - |AC| = 2 {\,\textit{см}}$.

Отметим точку $D$, которая смещена относительно точки $B$ на $-2 {\,\textit{см}}$. Ее координата равна $d = 3 {\,\textit{см}} - 2 {\,\textit{см}} = 1 {\,\textit{см}}$. Тогда точка $C$ находится посередине между точками $A$ и $D$. Ее координату $c$ находим из уравнения $c - a = d - c$. Она равна $c = \frac{1}{2}(a + d) = \frac{1}{2}(a + b - 2 {\,\textit{см}}) = -2 {\,\textit{см}}$.

Ответ. $c = -2 {\,\textit{см}}$.

______

4.1.4. На оси расположены точки $A$ и $B$ с координатами соответственно $a = 1 {\,\textit{см}}$ и $b = 9 {\,\textit{см}}$. Найти координату точки $C$, расположенной на той же оси, если известно, что $|AC| = 3|BC|$.

Возможны два случая.

Случай 1. Точка $C$ расположена между точками $A$ и $B$. Делим отрезок $[AB]$ на $(3 + 1)$ равные части. Отсчитываем от точки $A$ три части и ставим тут точку $C$. Ее координата равна $c = a + \frac{3}{3+1} (b - a) = 7 {\,\textit{см}}$.

Случай 2. Точка $C$ расположена правее точки $B$. Делим отрезок $[AB]$ на $(3 - 1)$ равные части. Точно такую же часть откладываем справа от точки $B$ и ставим там точку $C$. Ее координата равна $c = b + \frac{1}{3-1} (b - a) = 13 {\,\textit{см}}$.

Ответ. Два решения: $c = 7{\,\textit{см}}$ и $c = 13{\,\textit{см}}$.

______

4.1.5. На оси расположены точки $A$ и $B$ с координатами соответственно $a = 1{,}7 {\,\textit{см}}$ и $b = 8 {\,\textit{см}}$. Найти координату точки $C$, расположенной на той же оси, если известно, что $2|AC| = 5|BC|$.

Возможны два случая.

Случай 1. Точка $C$ расположена между точками $A$ и $B$. Делим отрезок $[AB]$ на $(5 + 2)$ равных частей. Отсчитываем от точки $A$ пять частей и ставим тут точку $C$. Ее координата равна $c = a + \frac{5}{5+2} (b - a) = 6{,}2 {\,\textit{см}}$.

Случай 2. Точка $C$ расположена правее точки $B$. Делим отрезок $[AB]$ на $(5 - 2)$ равные части. Две точно такие же части откладываем справа от точки $B$ и ставим там точку $C$. Ее координата равна $c = b + \frac{2}{5-2} (b - a) = 12{,}2{\,\textit{см}}$.

Ответ. Два решения: $c = 6{,}2 {\,\textit{см}}$ и $c = 12{,}2 {\,\textit{см}}$.