Образовательный проект Леонида Некина

Полный курс АНГЛИЙСКОГО и НЕМЕЦКОГО

Бесплатно. В интернет-группе. Жать сюда!

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

4.1. Точка, прямая, плоскость. Расстояние и смещение. Действительные числа

Разобравшись с тем, что такое единицы измерения и размерность, мы можем теперь перейти собственно к измерениям. В школьной математике используются два измерительных прибора — (1) линейка для измерения расстояний и (2) транспортир для измерения углов.

Точка

Расстояние всегда меряется между какими-либо двумя точками. С практической точки зрения, точка представляет собой маленькое пятнышко, которое остается на бумаге, если ткнуть в нее карандашом или ручкой. Другой, более предпочтительный способ задать точку, — это нарисовать крестик двумя тонкими линиями, в результате чего задается точка их пересечения. На чертежах в книгах точка часто изображается в виде маленького черного кружочка. Но это всё — лишь приблизительные наглядные изображения, а в строгом математическом смысле, точка это воображаемый объект, размер которого по всем направлениям равен нулю. Для математиков весь мир состоит из точек. Точки находятся везде. Когда мы тыкаем ручкой в бумагу или рисуем крестик, мы не создаем новую точку, а лишь ставим метку на уже существующую, для того чтобы привлечь к ней чье-либо внимание. Если не оговорено противное, то подразумевается, что точки неподвижны и не меняют своего взаимного расположения. Но несложно вообразить и движущуюся точку, которая перемещается с места на место, как бы сливаясь то с одной неподвижной точкой, то с другой.

Прямая

Приставив линейку к двум точкам, мы можем провести через них прямую линию, и притом единственным образом. Воображаемая математическая прямая, проведенная по воображаемой идеальной линейке, обладает нулевой толщиной и простирается в обе стороны до бесконечности. На реальном чертеже эта воображаемая конструкция принимает вид:

Собственно говоря, в этом рисунке всё неправильно. Толщина линии здесь явно больше нуля, и никак не скажешь, чтобы линия простиралась до бесконечности. Тем не менее подобные неправильные рисунки очень полезны в качестве опоры для воображения, и мы будем ими постоянно пользоваться. Для того чтобы было удобнее отличать одну точку от другой, их обычно помечают заглавными буквами латинского алфавита. На этом рисунке, например, точки обозначены буквами A и B. Прямая, проходящая через точки A и B, автоматически получает название «прямая AB». Для краткости допустимо также обозначение (AB), где опущено слово «прямая» и добавлены круглые скобки. Прямые также можно обозначать строчными буквами. На рисунке, приведенном выше, прямая AB обозначена буквой n.

Помимо точек A и B на прямой n имеется огромное число других точек, каждую из которых можно представить как пересечение с еще какой-то прямой. Через одну и ту же точку можно провести много разных прямых.

Если мы знаем, что на прямой имеются несовпадающие точки A, B, C и D, то ее с полным правом можно обозначить не только как (AB), но и как (AC), (BD), (CD) и т.п.

Отрезок. Длина отрезка. Расстояние между точками

Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком. Эти ограничивающие точки также принадлежат отрезку и называются его концами. Отрезок, концы которого приходятся на точки A и B, обозначается как «отрезок AB» или, несколько короче, [AB].

Всякий отрезок характеризуется длиной — числом (возможно, дробным) «шагов», которые надо сделать вдоль отрезка, чтобы попасть из одного конца в другой. При этом длина самого «шага» является строго фиксированной величиной, которая принимается за единицу измерения. Длины отрезков, нарисованных на листе бумаги, удобнее всего измерять в сантиметрах. Если концы отрезка приходятся на точки A и B, то его длина обозначается как |AB|.

Под расстоянием между двумя точками понимается длина соединяющего их отрезка. Фактически, однако, проводить отрезок для измерения расстояния не требуется — достаточно приставить к обоим точкам линейку (на которой заранее нанесены следы от «шагов»). Поскольку в математике точка — это вымышленный объект, то ничто не мешает нам пользоваться в своем воображении идеальной линейкой, которая измеряет расстояние с абсолютной точностью. Не следует, однако, забывать, что реальная линейка, приложенная к пятнышкам или центрам крестиков на бумаге, позволяет устанавливать расстояние лишь приблизительно — с точностью до одного миллиметра. Расстояние всегда неотрицательно.

Положение точки на прямой

Пусть нам дана некоторая прямая. Отметим на ней произвольную точку и обозначим ее буквой O. Поставим рядом с ней число 0. Какое-то одно из двух возможных направлений вдоль прямой назовем «положительным», а противоположное ему — «отрицательным». Обычно за положительное принимается направление слева направо или снизу вверх, но это необязательно. Отметим положительное направление стрелочкой, как показано на рисунке:

Теперь для любой точки, расположенной на прямой, мы можем определить ее положение. Положение точки A задается величиной, которая может быть отрицательной, равной нулю или положительной. Ее абсолютное значение равно расстоянию между точками O и A (то есть длине отрезка OA), а знак определяется тем, в каком направлении от точки O надо двигаться, чтобы попасть в точку A. Если двигаться надо в положительном направлении, то и знак положительный. Если в отрицательном, то и знак отрицательный. Вместо слова «положение» часто используют также слово «координата».

Иррациональные и действительные (вещественные) числа

Когда мы имеем дело с реальным чертежом и определяем положение реальной точки на реальной проямой с помощью школьной линейки, у нас получается значение, округленное с точностью до одного миллиметра. Иначе говоря, результатом оказывается величина, взятая из следующего ряда:

0 мм, 1 мм, −1 мм, 2 мм, −2 мм, 3 мм, −3 мм и т.д.

Результат никак не может быть равен, например, 1/3 см, потому что, как мы знаем, одна треть санитиметра представима в виде бесконечной периодической дроби

0,333333333... см,

которая после округления должна стать равной 0,3 см.

Иное дело, когда мы манипулируем в воображении идеальными математическими объектами.

Во-первых, в этом случае запросто можно отбрасывать единицы измерения и оперировать исключительно безразмерными величинами. Тогда мы приходим к геометрической конструкции, с которой мы познакомились, когда проходили рациональные числа, и которую мы назвали числовой прямой:

 

Поскольку слово «прямая» в геометрии и без того сильно «нагружено», эту же конструкцию часто называют числовой осью или просто осью.

Во-вторых, мы вполне можем себе представить, что координата точки задается какой-нибудь периодической десятичной дробью, вроде

0,333333333...

Более того, мы можем вообразить бесконечную непериодическую дробь — такую, например, как

1,010010001000010000010000001...

или

1,23456789101112131415161718192021...

Подобные воображаемые числа, представимые в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называются иррациональными. Иррациональные числа вместе с уже знакомыми нам рациональными числами образуют так называемые действительные числа. Вместо слова «действительные» употребимо также слово «вещественные». Любое мыслимое положение точки на прямой может быть выражено действительным числом. И наборот, если нам дано какое-то действительное число x, мы всегда можем представить себе точку X, положение которой задается числом x.

Смещение

Пусть a — координата точки A, а b — координата точки B. Тогда величина

v = ba

является смещением, которое переводит точку A в точку B. Это становится особенно очевидно, если предыдущее равенство переписать в виде

b = a + v.

Иногда вместо слова «смещение» используют слово «вектор». Несложно видеть, что положение x произвольной точки X — это не что иное, как смещение, переводящее точку O (с координатой, равной нулю) в точку X:

x = 0 + x.

Смещения можно складывать между собой, а также вычитать друг из друга. Так, если смещение (b − a) переводит точку A в точку B, а смещение (c − b) точку B в точку C, тогда смещение

(ba) + (cb) = c − a

переводит точку A в точку C.

Примечание. По логике вещей, тут следовало бы уточнить, как надлежит складывать и вычитать иррациональные числа, поскольку смещение вполне может оказаться иррациональным. Разумеется, математики позаботились о том, чтобы выработать соответствующие формальные процедуры, но на практике мы этим заниматься не будем, так как для решения практических задач всегда достаточно приближенных вычислений с округленными величинами. Мы сейчас просто примем на веру, что понятия «сложение» и «вычитание» — а также «умножение» и «деление» — корректно определены для любых двух действительных чисел (с той, впрочем, оговоркой, что делить на ноль нельзя).

Тут, пожалуй, будет уместно отметить тонкое различие между понятиями «смещение» и «расстояние». Расстояние всегда неотрицательно. Оно фактически представляет собой смещение, взятое по абсолютной величине. Так, если смещение

v = ba

переводит точку A в точку B, тогда расстояние s между точками A и B равно

s = |v| = |ba|.

Это равенство остается справедливым независимо от того, которое из двух чисел больше — a или b.

Плоскость

В практическом смысле, плоскость — это лист бумаги, на котором мы чертим наши геометрические чертежи. Воображаемая математическая плоскость отличается от листа бумаги тем, что она имеет нулевую толщину и неограниченную поверхность, которая простирается в разные стороны до бесконечности. Кроме того, в отличие от листа бумаги, математическая плоскость является асолютно жесткой: она никогда не гнется и не мнется — даже если ее оторвать от письменного стола и расположить в пространстве каким угодно образом.

Расположение плоскости в пространстве однозначно задается тремя точками (если только они не лежат на какой-нибудь одной прямой). Чтобы это нагляднее себе представить, давайте нарисуем три произвольные точки, O, A и B, и проведем через них две прямые OA и OB, как показано на рисунке:

«Натянуть» в воображении плоскость на две пересекающиеся прямые уже несколько проще, чем «опереть» ее на три точки. Но для еще большей наглядности проделаем еще кое-какие дополнительные построения. Давайте возьмем наугад пару точек: одну в любом месте на прямой OA, а другую — в любом месте на прямой OB. Проведем через эту пару точек новую прямую. Далее, подобным же образом выберем другую пару точек и проведем через них еще одну прямую. Повторив эту процедуру много раз, мы получим что-то вроде паутины:

Наложить плоскость на такую конструкцию уже совсем просто — тем более что эту воображаемую паутину можно сделать настолько густой, что она покроет собой всю плоскость без пробелов.

Заметим, что если взять на плоскости пару несовпадающих точек и провести через них прямую, то эта прямая обязательно будет лежать в той же самой плоскости.

Конспект

Точка (A, B, и т.п.): воображаемый объект, размер которого по всем направлениям равен нулю.

Прямая (n, m или (AB)): бесконечно тонкая линия; проводится через две точки (A и B) по линейке однозначным образом; простирается в обе стороны до бесконечности.

Отрезок ([AB]): часть прямой, ограниченная двумя точками (A и B) — концами отрезка, которые также считаются принадлежащими отрезку.

Длина отрезка (|AB|): (дробное) число сантиметров (или же другой единицы измерения), укладывающихся между концами (A и B).

Расстояние между двумя точками: длина отрезка с концами в этих точках.

Положение точки на прямой (координата): расстояние от точки до некоторого заранее выбранного центра (также лежащего на прямой) с приписанным знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того, по какую сторону от центра точка расположена.

Положение точки на прямой задается действительным (вещественным) числом, а именно — десятичной дробью, которая может быть либо (1) конечной или бесконечной периодической (рациональные числа), либо (2) бесконечной непериодической (иррациональные числа).

Смещение, переводящее точку A (с координатой a) в точку B (с координатой b): v = b − a.

Расстояние равно смещению, взятому по абсолютной величине: |AB| = |b − a|.

Плоскость: бесконечно тонкий лист бумаги, простирающийся разные стороны до бесконечности; однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой.