Образовательный проект Леонида Некина

Полный курс АНГЛИЙСКОГО и НЕМЕЦКОГО

Бесплатно. В интернет-группе. Жать сюда!

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

3.6. Обратные операции. Операция деления. Дроби

Давайте вспомним, что такое уравнения и как они решаются. Пусть требуется решить следующее уравнение относительно неизвестной переменной x:

x + 5 = 8.

Фактически, нам дано, что если подействовать оператором

(...) + 5

на переменную x, то в результате получается 8. Чтобы найти значение x, мы берем еще один оператор, а именно

(...) − 5,

и действуем им на обе части данного нам уравнения:

x + 5 − 5 = 8 − 5.

После очевидных упрощений получаем:

x = 3.

Таким образом, два оператора, с которыми мы тут имеем дело,

(...) + 5   и  (...) − 5,

устроены таким образом, что действие одного оператора полностью отменяет действие другого. Это можно записать в таком виде:

((...) + 5) − 5   =   ((...) − 5) + 5   =   (...) + 0.

Про такую ситуацию говорят, что оператор (...) − 5 является обратным к оператору (...) + 5. С тем же успехом можно сказать, что оператор (...) + 5 является обратным к оператору (...) − 5, или же, что эти два оператора являются взаимнообратными.

Давайте теперь решим такое уравнение:

5 + x = 8.

Для этого нам мог бы пригодиться оператор, обратный к

5 + (...).

Таким обратным оператором, очевидно, является

−5 + (...).

Итак, имеем:

−5 + 5 + x = −5 + 8.

Поскольку действия взаимнообратных операторов «гасят» друг друга, мы быстро приходим к ответу:

x = 3.

Любопытная ситуация возникает, если рассмотреть такое уравнение:

5 − x = 3.

Нам надо подобрать оператор, обратный к 5 − (...). Да ведь это же он сам и есть! Действительно,

5 − (5 − (...)) = 5 − 5 + (...) = 0 + (...)

Подействовав этим оператором на обе части уравнения, получаем:

5 − (5 − x) = 5 − 3,

x = 2.

Рассмотрим теперь уравнения с участием умножения. Например, такое:

3x = 15.

Тут бы очень кстати пришелся оператор, обратный к

3(...).

Такой оператор действительно есть. Называется он «одна третья часть от» или, короче, «одна треть» и обозначается так:

 1 

 (...)

 3 

Разумеется, обычно это записывается в упрощенном виде, без многоточия:

 1 

 

 3 

Давайте присмотримся к этому оператору повнимательнее. По определению обратного оператора, должно выполняться следующее «операторное» равенство:

3 (

 1 

 (...)) = 1(...).

 3 

Или, что то же:

 1 

 = 1.

 3 

Или:

 1 

 + 

 1 

 + 

 1 

 = 1.

 3 

 3 

 3 

Таким образом, «одна треть от» какой-либо вещи — эта такая штука, взяв которую три раза, мы снова получаем эту же самую вещь. Это особенно легко себе представить, если под «вещью» подразумевается, скажем, торт. Разрежем торт на три равные части, и тогда каждая такая часть будет представлять собой не что иное, как «одну треть от» торта. Впрочем, на занятиях математикой мы будем чаще делить на части не торты, а отрезки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь длина нижнего отрезка равна «одной трети от» длины верхнего отрезка.

А можно ли взять «одну треть от» коровы или автомобиля? Оказывается, можно. Допустим, нам дано, что с какого-то конвейера сходит один автомобиль за каждые три часа. Спрашивается: сколько автомобилей сходит с этого конвейера за один час? Ответ: «одна треть» автомобиля. Конечно, сама по себе «одна треть» автомобиля — это абсурд, бессмыслица. Но мы уже привыкли иметь дело с бессмыслицей, если она является временным, промежуточным результатом. Рано или поздно мы подействуем на «одну треть» автомобиля оператором 3(...) — и смысл снова восстановится. Например, нас могут спросить: а сколько автомобилей сходит с этого конвейера за сутки (24 часа)? Тогда мы напишем так:

24 

 1 

 автомобиля  =  8∙3 

 1 

 автомобиля = 8 автомобилей.

 3 

 3 

(На самом деле, после того как мы познакомимся с так называемыми «размерностями», мы будем записывать это несколько по-другому.)

Итак, мы определили «одну треть» следущим образом:

 1 

 = 1.

 3 

Теперь мы должны убедиться, что после перестановки результат не изменится:

 

 1 

 3 = 1.

 3 

Только в этом случае мы имеем право операторы «три раза по» и «одна треть от» называть взаимнообратными. Возьмем исходное «операторное» равенство

 1 

(...) = 1(...)

 3 

и вместо многоточия напишем в обеих его частях число 3:

 1 

 3 = 3.

 3 

Для наглядности поставим тут скобки:

3 (

 1 

 3) = 3.

 3 

Как видно, выражение в скобках может быть равно только единице, в чем, собственно, мы и хотели убедиться.

Возвращаемся к уравнению, с которого мы начали этот разговор:

3x = 15.

Представим правую его часть в виде 3∙5 и подействуем на обе части оператором «одна треть от»:

 1 

 3x

 1 

 3 ∙ 5

 3 

 3 

Отсюда немедленно получаем:

x = 5.

Оператор «одна треть от» обладает очень важным свойством: его можно менять местами не только с числом 3, но и вообще с любым целым числом. Возьмем, для определенности, двойку и сравним выражения:

 1 

 2   и   2 

 1 

.

 3 

 3 

Подействуем на каждое из этих выражений оператором 3(...). Вначале на первое выражение:

 1 

 2  =  1 ∙ 2 = 2.

 3 

Затем на второе:

3 ∙ 2 

 1 

 = 2 ∙ 3 

 1 

 = 2 ∙ 1 = 2.

 3 

 3

Как видим, в обоих случаях получается одно и то же число. Значит и исходные выражения равны между собой:

 1 

 2 = 2 

 1 

.

 3 

 3 

Это равенство можно представить себе наглядно так. Возьмем какой-нибудь отрезок и условимся считать, что длина его равна единице:

 

 

 

Подействуем на длину этого отрезка оператором 2(...), иначе говоря, сделаем его в два раза длиннее:

 

 

 

 

 

Полученный отрезок поделим на три равные части:

 

 

 

 

 

 

 

И возьмем одну такую часть:

 

 

 

Точно такой же отрезок можно получить другим способом. Снова берем отрезок, длина которого условно равна единице:

 

 

 

Делим его на три равные части:

 

 

 

 

 

 

 

И берем две из таких частей:

 

 

 

Как нетрудно убедиться, результат в обоих случаях оказывается одинаковым.

На практике, вместо того чтобы писать

 1 

 2   или   2 

 1 

,

 3 

 3 

обычно пишут несколько короче:

 2

 3 

Это читается: «две третих». Такая «двухэтажная» запись называется дробью. Горизонтальная линия называется дробной чертой. Число, которое стоит над дробной чертой, называется числителем. Число, которое стоит под дробной чертой, называется знаменателем. Такая запись очень удобна, когда мы пишем математические формулы на бумаге или на школьной доске, но она плохо вписывается в строки сплошного текста. Поэтому «двухэтажную» дробь часто переписывают в «одноэтажном» виде:

2/3 

или применяют, так сказать, промежуточный вариант:

2/3

«Одноэтажная» запись, 2/3, хороша еще и тем, что мы можем объявить косую черту «/» бинарным оператором:

(...) / (...)

Операция, которая задается этим оператором, называется делением. В качестве знака деления может также использоваться двоеточие (главным образом, в школьных учебниках):

(...) : (...)

В нашем курсе математики мы используем двоеточие только для обозначения деления с остатком. Кроме того, на клавишах калькуляторов для обозначения деления может применяться так называемый «обелюс»:

(...) ÷ (...)

Следует отметить, что в некоторых случаях результат операции деления оказывается равным целому числу, например:

15 / 3 = 

 15 

 = 15 

 1 

 = 5 ∙ 3 

 1 

 = 5 ∙ 1 = 5.

  3 

 3 

 3 

Это, по сути, хорошо знакомое нам деление нацело. А что делать, если числитель не делится нацело на знаменатель? Как тогда записывать результат? Однозначного ответа на этот вопрос нет. В зависимости от ситуации мы будем представлять результат деления в разном виде. Об этом мы еще будем подробно говорить на ближайших уроках. Пока лишь замечу, что у математиков считается совершенно в порядке вещей представлять ответы на математические задачи в виде дробей — таких, как, например,

 2 

.

 3 

Это само по себе считается вполне полноценным ответом и никаких дальнейших вычислений не требует.

Настало время сделать кое-какие обобщения и уточнить формулировки. Пусть дано целое число n, отличное от нуля (оно может быть как положительным или отрицательным). Это число, как мы знаем, задает оператор умножения:

n (...).

У этого оператора есть обратный оператор:

 1 

 (...)

 n 

(читается «одна энная» или «один поделить на эн»). Обратный оператор определяется таким образом, что выполняется следующее «операторное» равенство:

n 

 1 

 (...) = 

 1 

 n (...) = 1 (...),

 n 

 n

или, если опустить многоточия:

n 

 1 

 = 

 1 

 n = 1.

 n 

 n

Оператор

 1

 n 

также называют числом, обратным к числу n. Поэтому числа

n   и    

 1 

 n 

являются взаимнообратными. Действие оператора «одна энная» на произвольное целое число k:

 1 

 k

 n 

называется умножением числа «одна энная» на число k. При этом выполняется свойство коммутативности (перестановочности):

 1 

 k = k 

 1 

.

 n 

 n 

Операция деления произвольного целого числа k на ненулевое целое число n записывается в виде «двухэтажной» дроби

 k

 n 

или же в строчку

k/n  (а также  k/n)

и определяется как

k/n = k/n

 k

   =   

 1 

 k =

 1

.

 

 n

 

Иначе говоря, деление числа k на число n — это то же самое, что и умножение числа k на число, обратное к n.

При делении числа k на число n следует различать два случая:

Случай 1. Числа k и n связаны между собой соотношением

k = nm,

где m — какое-то целое число. Тогда, подействовав на обе части этого равенства оператором 1/n, получаем:

 k

 = m.

 n 

Фактически, мы тут имеем дело с делением нацело, которое лишь надо дополнить следующими правилами расстановки знака «минус»:

 −

 = −m;    

  k

 = −m;    

 −

 = m.

  n 

 −

 −n

(Эти правила моментально следуют из подобных же правил для умножения.) Пусть, например, k = 15, n = −3. Тогда 15/(−3) = −5. Мы говорим: «Пятнадцать поделить на минус три равно минус пяти».

Случай 2. k не делится нацело на n. Например, k = 2 и n = 3. Тогда говорят, что результат деления является дробным числом. При этом запись дробного числа, вообще говоря, ничем не отличается от записи операции деления (разве что иногда возможны кое-какие упрощения, речь о которых впереди). Так, мы можем сказать: «Два поделить на три равно две третих», — однако и «два поделить на три», и «две третих» записываются совершенно одинаково, а именно любым из трех способов:

 2

,  или 2/3,  или 2/3.

 3 

Следует особо отметить, что умножение на ноль не имеет обратного оператора. Какое бы число или вещь мы ни взяли ноль раз, всё равно в результате получится ноль. Поэтому-то и не существует такого оператора

 1 

,

 0

для которого можно было бы написать:

 1 

 = 1.

 0

Точно так же, не имеют смысла записи вроде

 3 

.

 0

Делить на ноль нельзя.

Следует отметить, что в сложных выражениях без скобок операция деления выполняется прежде операций сложения и вычитания. Таким образом, выражение

2 + 1 / 3

следует понимать как

2 + (1 / 3),

а не как (2 + 1) / 3. В этом смысле, деление имеет ту же приоритетность, что и умножение. Вместе с тем, выражения без скобок, в которых одновременно присутствуют умножение и деление, могут вызывать некоторую путаницу. Вообще-то, принято считать, что в этом случае операции следует выполнять последовательно слева направо. Так,

12 / 3 ∙ 4 = (12 / 3) ∙ 4.

Однако почти та же самая запись с использованием переменных может иметь другой смысл:

a/3c = a/(3c).

Даже такое выражение

12 / 3 / 4,

хотя и не содержит неоднозначности, выглядит несколько странновато. Таких сомнительных или странноватых случаев лучше избегать. Достигается это постановкой дополнительной пары скобок, например:

(a/3)c   или   (12 / 3) / 4.

 

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Умножение и деление целых чисел (в пределах таблицы умножения)

Умножение и деление целых чисел на двузначное целое число

Четыре арифметических действия с целыми числами и деление с остатком натуральных чисел

Примеры в несколько арифметических действий («одноэтажная» запись)

Дополнительные упражнения на составные выражения («одноэтажная» запись)

Примеры в несколько арифметических действий («многоэтажная» запись)

Дополнительные упражнения на составные выражения («многоэтажная» запись)