Образовательный проект Леонида Некина

Учить АНГЛИЙСКИЙ, НЕМЕЦКИЙ с микрофоном в руках:

попробуйте один раз — и по-другому Вы уже не захотите.

Поддержка бесплатно на все сто — нажать сюда!

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

3.7. Рациональные числа

В прошлый раз мы познакомились с дробями и упомянули о том, что они тоже называются числами. Речь идет о так называемых рациональных числах. Вообще, рациональным называют такое число, которое можно записать в виде дроби

 a

,

 

где a и b — какие-либо целые числа, причем b ≠ 0. Если a делится нацело на b, то число a/b является целым, в противном случае оно называется дробным. (Заметим, что обычно в определении рациональных чисел знаменатель b объявляют не целым, а натуральным числом. Сути дела это нисколько не меняет.)

Всякое целое число a является в то же время рациональным, потому что оно представимо в виде a/1.

Пусть a/b, c/d и p/q — три произвольных рациональных числа (все числители и знаменатели — целые числа, причем знаменатели отличны от нуля). Рассмотрим на их примере общие свойства рациональных чисел. Заметим для начала, что

 

 b = a   и   b 

 a 

 = a.

 b

 b 

Если мы вспомним определение дроби, то эти равенства становятся совершенно очевидны.

Умножение рациональных чисел осуществляется по такому правилу:

 

 ∙ 

 c

 = 

 ac 

 b

 

 bd

Действительно, представим обычную единицу в виде (bd)/(bd) и умножим ее на левую часть этого равенства:

 bd 

 

 a 

 

 c 

 = 

  1

 db 

 1

 a 

 1

 c

  1

 ad 

 1 

 c = 

 ac

.

 bd

 b 

 d 

 bd 

 b 

 d 

 bd 

 

 bd 

В результате мы получили правую часть, что и доказывает равенство обеих частей. Легко убедиться что такое умножение обладает свойствами коммутативности («перестановочности») и ассоциативности («сочетательности»):

 a

 

 c

 = 

 c 

 

 a

;   

 a

 (

 c

 

 p

) = (

 a

 

 c

)

 

.

 

 

 d 

 

 b 

 d 

 

 

 d 

 q

На менее формальном языке это означает, что мы можем произвольно менять порядок вычислений в произведении любого числа сомножителей.

Сокращение дробей. Если у дроби числитель и знаменатель равны между собой, то такая дробь, очевидно, равна единице:

 

 = 1. 

 b

Отсюда

 cb 

 

 c

 db

 

Таким образом, значение дроби не меняется, если числитель и знаменатель одновременно умножить или поделить на одно и то же число. Например,

 2

 

 3

 = 

 2∙3 

 = 

 2

.

 3 

 5 

 3∙4

 5 

Одновременное деление числителя и знаменателя на одно и то же число b называют сокращением дроби на число b. Давно нам знакомое правило деления круглых чисел является, по сути дела, частным случаем сокращения на 10:

 20 

 = 

 2

.

 30

 3 

Вот еще два полезных соотношения, которые получаются, если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить (или поделить) на −1:

 −a

 = 

 a

;   

   a 

 = 

 −a

 −

 b 

 −b 

  

Деление. Число a/b, поделенное на число c/d, представляет собой «многоэтажную» дробь, которую можно записать как произведение первого числа на число, обратное ко второму:

 

 a 

 

 b

 = 

 a

 ∙ (Число, обратное к 

 c 

).

 

 c

 

 d 

 

 d

Но числом, обратным к c/d, является d/c, поскольку

 c

 

 d

 = 1.

 

 

А значит,

 

 a 

 

 b

 = 

 a

 ∙ 

 

 

 c

 

 d 

 

 c

Этот же результат мы получим, если просто умножим числитель и знаменатель «центральной» дроби на bd:

 

 a 

bd 

 b

 = 

 ad

.

 

 c

bd 

 d 

 bc 

Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем. Рассмотрим такую цепочку равенств (для удобства здесь каждый знак равенства дополнен подходящим обоснованием):

a/b + c/b =по определению дроби=

a∙(1/b) + c∙(1/b) =дистрибутивность=

(a + с)∙(1/b) =по определению дроби=

(a + с)/b

Заметим, что эта цепочка равенств осталась бы справедливой, если бы мы в ней всюду поменяли знак «плюс» на знак «минус». Таким образом, мы приходим к следующим правилам:

 a

 + 

 c

 = 

 a + c 

 b 

 b 

    b

 a

 − 

 c

 = 

 ac 

 b 

 b 

    b

Сложение и вычитание дробей с разным знаменателем. Если знаменатели у дробей разные, то прежде чем их складывать, их надо заменить дробями с одинаковым знаменателем. Делается это так:

 a

 + 

 c

 = 

 ad

 + 

 cb

.

 

 

 b

 d

Это называется приведением дробей к одинаковому знаменателю. Точно такую же процедуру надо проделать, если мы имеем дело с вычитанием. Общие правила сложения и вычитания выглядят следующим образом:

 a

 + 

 c

 = 

 ad + cb

 b 

 

    bd

 a

 − 

 c

 = 

 adcb

 b 

 

    bd

Впрочем, во многих конкретных случаях задача сложения или вычитания дробей с разными знаменателями решается несколько проще. Например:

1/3 + 1/6 =

2/6 + 1/6 =

3/6 =

1/2.

Или:

1/4   + 1/6 =

3/12 + 2/12 =

5/12.

Противоположные числа. Два рациональных числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Пусть a/b — произвольное рациональное число, тогда число, ему противоположное, обозначается как

− 

 a 

  или  −(a/b).

 b 

Очевидно, что

− 

 a

 = 

 −

 = 

  a

.

 

  b 

 −

Нетрудно также убедиться, что разность чисел a/b и c/d равна сумме чисел a/b и −(c/d). Действительно, складываем a/b и −(c/d) и получаем тот же результат, как если бы мы вычисляли разность a/b − c/d:

 

 a

 + 

(

− 

 c

)

 = 

 a

 + 

 −

 = 

 ad + (−c)b 

 = 

 ad − c

.

 

 

 

 

      bd

    bd 

Числовая прямая. Рациональные числа удобно ассоциировать с точками на бесконечной прямой. Делается это так. Рисуем прямую линию и с помощью засечек отмечаем на ней в произвольных местах две разные точки. Одна из этих точек символизирует число «ноль», другая — число «единица». (Обычно эту линию чертят горизонтально, а единицу располагают правее нуля, но это необязательно.) Расстояние между этими двумя точками принимаем за единичную длину. Далее, мы равномерно покрываем засечками всю нашу прямую, так чтобы расстояние между соседними засечками равнялось единичной длине, и нумеруем их целыми числами.

 

На самом деле, числа — это всё же не то же самое, что и точки. Гораздо правильнее было бы представлять себе числа не как засечки, а как протяженные отрезки-стрелочки, у которых есть начало и конец, причем начало совпадает с нулем, а конец приходится на ту или иную засечку:

 

Знак перед числом («минус» или подразумеваемый «плюс») указывает, в какую сторону направлена стрелочка, а «голое» число без знака предствляет собой длину отрезка: оно говорит нам о том, сколько единичных длин укладывается между его началом и концом. Но рисовать стрелочки не так удобно, как засечки, поэтому мы будем всё же пользоваться засечками.

Разделим отрезок между нулем и единицей на две равные части, поставив посередине новую засечку и пометив ее числом 1/2. Расстояние от нуля до этой засечки задает нам новую длину, равную одной второй от единичной длины. Покроем нашу прямую новой порцией засечек, так чтобы расстояние между соседними засечками равнялось новой длине. Пронумеруем новые засечки целыми числами, приписав к ним через дробную черту знаменатель 2:

 

Как и следовало ожидать, часть новых засечек совпала со старыми.

Повторим еще раз эту же процедуру с той разницей, что теперь мы будем делить отрезок между нулем и единицей не на две, а на три части. Для этого нам понадобятся две новые засечки. Берем ту из них, которая ближе расположена к нулю и помечаем ее числом 1/3. После расстановки и нумерации очередной порции засечек получаем следующую картину (во избежание путаницы тут показаны только дроби со знаменателем 3):

 

И так далее и тому подобное. Покажем, пожалуй, еще рисунок с дробями со знаменателем 4 и на этом остановимся:

 

Каким бы ни было рациональное число a/b, ему обязательно найдется место на нашей числовой прямой. Следует только заметить, что если нам попадется дробь с отрицательным знаменателем, например 2/(−3), то, прежде чем откладывать ее на числовой прямой, мы сократим ее на −1:

2/(−3) = (−2)/3 = −(2/3).

Спрашивается: а как можно поделить отрезок на какое-нибудь заранее заданное число одинаковых частей? Вообще-то, для этого есть специальная процедура, с которой мы познакомимся, когда будем заниматься геометрией. А пока — мы будем делать это «на глазок» или, еще лучше, мы будем чертить наши рисунки на бумаге в клеточку и заранее выбирать длину единичного отрезка таким образом, чтобы его можно было легко разделить «по клеточкам».

Сравнение рациональных чисел. Проще всего сравнивать числа с нулем. Если некоторое рациональное число x = a/b (точнее, соответствующая ему засечка) располагается на нашей числовой прямой справа от нуля (точнее, с той же стороны, что и единица), то про него говорят, что оно положительное и что оно больше нуля: a/b > 0. Если же оно расположено с другой стороны, то оно отрицательное и, соответственно, меньше нуля: a/b < 0. Вообще, запись

x > y

означает, что число x правее (то есть больше) числа y, а одинаковая по смыслу запись

y < x

означает, что число y левее (то есть меньше) числа x.

Пусть x и y — произвольные рациональные числа, так что x = a/b и y = c/d. Как определить, которое из них меньше, а которое больше? Если подходить к делу чисто формально, то можно просто посчитать их разность

x − y

 a

 − 

 c

 = 

 adcb

 b 

 

    bd

и сравнить ее с нулем. Если окажется, что результат больше нуля, тогда x > y. Если результат меньше нуля, тогда x < y. Для полноты картины следует отметить, что результат может оказаться равен нулю. В этом случае x = y.

Но если проявлять творческий подход, то оказывается, что во многих случаях дроби можно сравнивать не производя никаких вычислений. Например, сразу видно, что

 3

 < 

 4

,

 7 

 7 

потому что у обеих этих дробей знаменатели одинаковы и — что тоже немаловажно — положительны, а числитель у первой дроби меньше, чем у второй. А как быть, если числители одинаковы, но отрицательны? Как сравнить, например,

  3

  и  

  4

?

 −7 

 −7 

Сделаем знаменатели положительными, сократив каждую из дробей на −1, и тогда сразу станет ясно, что

  3 

 = 

 −3 

 > 

 −4 

 = 

  4 

.

 −7 

  7 

  7 

 −7 

Также нетрудно видеть, что

 1

 < 

 1

   и  − 

 1

 > − 

 1 

.

 3 

 2 

 3 

 2

Вообще, если у двух положительных дробей числители одинаковы, то меньше та из них, у которых знаменатель больше. У отрицательных дробей — всё наоборот.

Абсолютная величина (модуль) числа — это то, что мы называли «голым» числом с отброшенным знаком. Если число отрицательное и перед ним стоит знак «минус», то после отбрасывания знака такое число превращается в противоположное. Если перед числом не стоит никакого знака (а подразумевается «плюс»), то отбрасывать, собственно, нечего и число остается самим собой. Модуль числа x обозначается как |x|. Формальное определение модуля выглядит следующим образом:

|x| =

{

  x, если x ≥ 0

x, если x < 0

Как мы знаем, всякому рациональному числу x соответствует некоторая точка X на числовой прямой. Модуль числа x можно понимать как расстояние от этой точки до отметки «ноль». Расстояние между двумя точками X и Y, которые соотвествуют некоторым произвольным числам x и y, равно:

|xy| =

{

x y, если x ≥ y

y x, если x < y

 

Расстояние — это величина в любом случае неотрицательная. Расстояние от точки X до точки Y в точности равно расстоянию от точки Y до точки X. (Ради простоты выражений, допустимо также говорить «расстояние между числами x и y».)

Правильные, неправильные и смешанные дроби. Дроби, значение которых по абсолютной величине (по модулю) меньше единицы, называются правильными. Их внешний вид сравнительно легок для восприятия:

1/2, 3/5, −6/7 и тому подобное.

Дроби, которые по абсолютной величине больше единицы, называются неправильными. Как правило, они воспринимаются на глаз гораздо труднее:

15/2, 14/3, −60/7.

Чтобы облегчить восприятие, неправильные дроби часто записывают в виде так называемых смешанных чисел. Делается это следующим образом. Допустим, мы хотим записать в виде смешанного числа дробь

15/2.

Выполним соответствующее деление с остатком:

15 : 2 = 7 (ост. 1).

Результат этого деления можно записать таким образом:

15 = 2 ∙ 7 + 1.

Подействуем на обе части этого выражения оператором 1/2:

15/2 = 7 + 1/2.

Про такую запись говорят, что число 15/2 выражено в виде суммы целой части (7) и дробной части (1/2). Эту запись иногда сокращают до такого вида:

15/2 = 7 1/2 («семь целых и одна вторая»).

То, что стоит в правой части этого равенства (7 1/2), называется смешанной дробью или смешанным числом. Сразу возникает недоуменный вопрос: как же так? Ведь мы до сих пор придерживались обозначений, согласно которым запись 7 1/2 должна означать произведение чисел 7 и 1/2 (то есть 7 ∙ 1/2), а вовсе не их сумму (7 + 1/2). Приходится признать, что такая запись действительно имеет два совершенно разных смысла. Но путаницы всё же, как правило, не возникает, потому что из сопровождающих пояснительных слов бывает ясно, что именно имеется в виду.

Отрицательные смешанные числа записываются следующим образом:

−60/7 = −8 4/7.

Это на самом деле означает:

−60/7 = −8  4/7.

Здесь −8 — это целая часть отрицательного числа, а −4/7 — дробная часть.

Запись рациональных чисел в виде смешанных дробей облегчает вычисления при выполнении операций сложения и вычитания, например:

15/2 + 14/3 =

7 1/2 + 4 2/3 =

(7 + 4) + (1/2 + 2/3) =

(7 + 4) + (3/6 + 4/6) =

11 + 7/6 =

11 + 1 1/6 =

12 1/6.

Если смешанную дробь требуется перевести обратно в неправильную, то это делается так:

12 1/6 =

(12∙6)/6 + 1/6 =

(12∙6 + 1)/6 =

(72 + 1)/6 =

73/6.

Немного о терминологии. Какую часть (или какую долю) число 1 составляет от числа 7? Разумеется, одну седьмую, то есть 1/7. В общем случае, дробь x/y говорит нам о том, сколько (и каких) частей число x составляет от числа y (x и y — произвольные рациональные числа, y ≠ 0):

число 2 составляет 2/3 (две трети) от числа 3;

2/5 от 3/5 составляет (2/5) / (3/5) = 2/3 (две третих частей);

1/3 от 1/2 составляет (1/3) / (1/2) = 2/3.

Число, выражаемое дробью x/y, называют отношением чисел x и y. Уже знакомое нам слово частное тоже, разумеется, можно употреблять в этом значении.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Простые задания на понимание терминологии
То же,  с использованием технологии LaTeX

Перевод смешанной дроби в неправильную
То же, LaTeX

Перевод неправильной дроби в смешанную
То же, LaTeX

Сложение и вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями (только положительные числа)
То же, LaTeX

Сложение смешанных дробей с одинаковыми знаменателями (положительные и отрицательные числа)
То же, LaTeX

Сравнение дробей
То же, LaTeX

Сложение и вычитание смешанных дробей с разными знаменателями (только положительные числа)
То же, LaTeX

Сложение смешанных дробей с разными знаменателями (положительные и отрицательные числа)
То же, LaTeX

Умножение и деление дробей
То же, LaTeX

Повторение предыдущего (только положительные числа):
То же, LaTeX

Повторение предыдущего (положительные и отрицательные числа):
То же, LaTeX

Раскрытие скобок в выражениях типа (a ∙/ b) ∙/ (c ∙/ d)

Параллель между сложением-вычитанием и умножением-делением в выражениях типа (a ± b) ± (c ± d) и (a ∙/ b) ∙/ (c ∙/ d)

 

 

 

Вопросы и комментарии

3 декабря, 2016 - 01:10

Гость

Здравствуйте Леонид. А как выделить целую часть у отрицательного рационального числа. Например у меня есть число -4/3 (минус четыре третьих). Я выделяю целую часть, получаю -1и1/3. Но я не могу обратно перевести это смешанное число в неправильную дробь. Получаю (-1*3+1)/3 (минус одну третью) вместо положенных четырех третьих

3 декабря, 2016 - 11:54

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

-4/3 = -(4/3) = -(1+1/3) = -1 1/3
-1 1/3 = -(1+1/3) = -(4/3) = -4/3

 Ответить