Образовательный проект Леонида Некина

Учить АНГЛИЙСКИЙ, НЕМЕЦКИЙ по «Эхо»-технологии на тренажере «Бизон»:

попробуйте один раз — и по-другому Вы уже не захотите.

Поддержка бесплатно на все сто — нажать сюда!

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

3.1. Операция умножения и ее свойства

В прошлый раз, когда речь шла об операторах, мы особо отметили, что оператор, сам по себе, — это вещь совершенно бессмысленная. Это всего лишь заготовка, которая превращается в полноценное выражение, только если заполнить подобающим образом прилагаемые к нему «свободные» места.

Но, как вы, вероятно, помните, в самом начале этих заметок я говорил очень похожие вещи о числах. В природе такой вещи, как «число», не существует. Число, само по себе, ничего не значит. Если сказать просто «три», то получится какая-то чушь, ерунда, бессмыслица. Числа обретают смысл только тогда, когда за ними идут другие слова: «три котенка», «три поросенка», «три ребенка».

Так не является ли всякое число, взятое само по себе, не чем иным, как оператором?

Именно так! Операция, которая задается этим оператором, называется умножением. Действительно, возьмем любую вещь — например, карандаш, — и подействуем на нее оператором «3». Получаем:

3 карандаша = карандаш + карандаш + карандаш.

В точности так мы и определяли раньше умножение.

Разумеется, оператором умножения можно действовать не только на карандаши, но и вообще на всё, что поддается пересчету, — как на реальные предметы, так и на абстрактные понятия, включая числа. Мы можем сказать: «3 табуретки», «3 ежа», «3 вечера», «3 двойки» и так далее. Поскольку мы уже имели дело с переменными, мы знаем, что ту вещь, на которую действует наш оператор, можно представить в виде какой-нибудь буквы. Например, буквы k. Получается:

3k = k + k + k

Но ведь и вместо тройки может стоять любое другое число. Обозначим его буквой a. Получим:

ak.

Так выглядит операция умножения в самом общем виде. Забегая вперед, скажу, что на месте буквы а — так же, как и на месте буквы k, — может стоять не только число, но и вообще всякая вещь. Но пока под буквой а, то есть под первым сомножителем, мы будем подразумевать только число. Впрочем, оно не обязательно должно быть положительным. Мы уже знакомы с такими понятиями, как, например, минус три коровы. Условимся записывать это в таком виде:

(−3) коровы = − корова − корова − корова.

Это, по сути дела то же самое, что и

−(3 коровы) = −(корова + корова + корова).

Не будет ошибкой записать это и так:

3(−корова) = (−корова) + (−корова) + (−корова).

Но уж если на месте буквы k может стоять корова со знаком минус, то уж отрицательное число там может стоять и подавно. Например:

3(−4) = (−4) + (−4) + (−4).

Так же возможен случай, когда оба сомножителя — отрицательные числа:

(−3)(−4) = −(−4) − (−4) − (−4) = 4 + 4 + 4.

Выпишем теперь в общем виде правила умножения с участием отрицательных чисел (дополнив их, для полноты картины, знакомым нам правилом умножения на ноль):

(−a)k = −(ak)

a(−k) = −(ak)
(−a)(−k) = ak

0k = a0 = 0

Здесь подразумевается, что a — положительное число, в то время как k — это либо положительное число, либо какая-то вещь. Однако все эти равенства остаются справедливыми, даже если не требовать положительности a и k.

В случае, когда оба сомножителя представляют собой положительные числа, возникает небольшая неприятность, от которой, впрочем, очень легко избавиться. Пусть а = 3 и k = 4. Если подставить эти значения переменных в общее выражение

аk,

то мы получим

34.

Как тогда отличить выражение «три умножить на четыре» от числа «тридцать четыре»? Чтобы избежать путаницы, между двумя числовыми сомножителями принято ставить небольшую приподнятую точку:

3∙4.

В принципе, можно было бы еще брать один или оба сомножителя в скобки:

(3)4, 3(4) или (3)(4).

Но запись при этом получается более громоздкой, и так писать не принято.

Кроме того, раз уж говорим об умножении как об операции, нам неплохо бы иметь специальный символ для обозначения бинарного оператора умножения. Помимо приподнятой точки

(...) ∙ (...)

которая, прямо скажем, выглядит в этой роли не очень солидно, для этой цели часто применяется косой крестик

(...) × (...)

Впрочем, приподнятую точку «∙» очень легко перепутать с обычной точкой, какую мы обычно ставим в конце предложений. Точно так же, косой крестик «×» слишком уж похож на латинскую букву икс «х» (и русскую «ха»). Особенно бы часто путаница возникала, если бы символы «∙» и «×» находились бы наряду с символами «.» и «х» на одной и той же клавиатуре компьютера. Поэтому их там и нет. Вместо них имеется клавиша с изображением звездочки «*». Поэтому теперь в качестве знака умножения всё чаще и чаще стала применяться именно звездочка:

(...) * (...)

Поговорим теперь о свойствах умножения. И начнем мы, как ни странно, с того, что внимательно посмотрим на обычный пример на сложение:

3 + 2 = 5.

Поскольку числа сами по себе ничего не значат, на самом деле за этим примером может стоять что-то вроде:

3 конфеты + 2 конфеты =

(конфета + конфета + конфета) + (конфета + конфета) =

5 конфет.

Заменим в этой цепочке равенств среднее выражение таким образом:

3 конфеты + 2 конфеты =

(3 + 2) конфет =

5 конфет.

Приглядимся повнимательнее к первому равенству из этой цепочки:

3 конфеты + 2 конфеты = (3 + 2) конфет.

Здесь вместо конфет может стоять что угодно, да и числа могут быть другими. Поэтому мы можем написать в общем виде:

ak + bk = (a + b)k,

где a и b — произвольные целые числа, а k — как и раньше, либо целое число, либо вообще любая вещь. Мы получили очень важное равенство (точнее, тождество), которое в школе называется распределительным свойством умножения. По-научному же, это свойство называется дистрибутивностью.

Проверим это равенство на каком-нибудь числовом примере. Пусть a = 3, b = 2, k = 7. Тогда

ak + bk = 3∙7 + 2∙7 = 21 + 14 = 35.

В то же время,

(a + b)k = (3 + 2)∙7 = 5∙7 = 35.

Как и следовало ожидать, результаты в обоих случаях совпадают. Кстати, давайте обратим внимание на порядок выполнения действий (то есть операций). В выражении

[1]

[3]

[2]

3∙7

 + 

2∙7

в первую очередь выполняются операции умножения, а операция сложения — во вторую (см. красные числа в квадратных скобках). Говорят, что операция умножения имеет приоритет (первоочередность) по отношению к операции сложения. Если мы хотим изменить такой порядок выполнения действий, то мы должны воспользоваться скобками. Именно поэтому в выражении

(3 + 2)∙7

скобки совершенно нелишни. Если бы здесь скобок не стояло, то вычисления следовало бы проводить так:

3 + 2∙7 = 3 + 14 = 17.

Как видно, результат оказывается совершенно другим. Само собой разумеется, что по отношению к операции вычитания умножение также имеет приоритет.

Дистрибутивность умножения широко применяется для упрощения всевозможных вычислений. Пусть, например, требуется вычислить:

4∙987 + 6∙987.

Тот, кто знает про дистрибутивность, может сделать это буквально в два счета:

4∙987 + 6∙987 = (4 + 6)∙987 = 10∙987 = 9870.

Поскольку a и b могут быть отрицательными, дистрибутивность с равным успехом может применяться также в случае разности:

18∙987 − 17∙987 = (18 − 17)∙987 = 1∙987 = 987.

Наконец, число слагаемых вовсе необязательно должно равняться двум. Их может быть сколько угодно много:

1∙10 + 2∙10 + 3∙10 − 4∙10 = (1 + 2 + 3 − 4)∙10 = 2∙10 = 20.

Теперь приглядимся повнимательней к «чистым» примерам на умножение — в том виде, как мы к ним привыкли. Пусть, например, надо умножить три на два:

3∙2 = 6.

И снова мы вспоминаем, что под этой записью подразумевается кое-что вроде:

3∙(2 конфеты) =

2 конфеты + 2 конфеты + 2 конфеты =

(2 + 2 + 2) конфет =

(3∙2) конфет =

6 конфет.

Из всей этой цепочки особый интерес для нас представляет равенство

3∙(2 конфеты) = (3∙2) конфет.

Вместо «конфет» здесь может стоять любая вещь или число. В общем виде (с сохранением прежних обозначений) получаем:

a(bk) = (ab)k.

Или же, выписывая в явном виде оператор умножения:

a∙(bk) = (ab)∙k.

Это тождество в школьных учебниках носит название сочетательное свойство умножения, а профессиональные математики говорят: умножение ассоциативно.

Помните, мы когда-то говорили об ассоциативности сложения?

a + (b + c) = (a + b) + c.

(Здесь c — еще одно произвольное целое число.) Зачем оно было нам нужно? От самой по себе ассоциативности сложения толку было мало, однако вместе с коммутативностью (перестановочностью) —

a + b = b + a

— оно давало нам «официальное право» совершенно произвольно менять порядок вычислений в сумме, которая состоит из любого числа слагаемых. Точно так же, мы могли бы теперь менять порядок вычислений в произведении любого числа сомножителей, если бы установили, что операция умножения коммутативна. Однако с этим есть небольшая загвоздка. В общем виде мы записываем умножение так:

ak,

где a это целое число, а k может быть не только числом, но и любой другой вещью. Например,

три поросенка.

Если мы теперь переставим местами сомножители, то получится

поросенка три.

Согласно определению умножения, мы должны теперь взять «три» такое число раз которое равно «поросенку»! Полная чушь! Как тут быть?

Мы, конечно, могли бы договориться о том, чтобы придать этой чуши какой-то смысл. Мы могли бы условиться, что «поросенка три» — это в точности то же самое, что и «три поросенка». Именно так мы и поступим через некоторое время. Но пока мы сделаем оговорку, что нам разрешено переставлять местами только числа, оставляя «поросят» на месте:

3 ∙ (5 поросят) = 5 ∙ (3 поросенка).

Когда-то (а именно, в пятом уроке) мы уже убеждались в верности этого равенства. Пользуясь ассоциативностью умножения, мы можем также написать:

(3 ∙ 5) поросят = 3 ∙ (5 поросят) = 5 ∙ (3 поросенка) = (5 ∙ 3) поросят.

Итак, под коммутативностью (перестановочностью) умножения мы будем пока понимать любое из двух тождеств (которые вследствие ассоциативности умножения означают одно и то же):

3 ∙ (5 поросят) = 5 ∙ (3 поросенка),

(3 ∙ 5) поросят = (5 ∙ 3) поросят.

Сокращенно это записывается так:

3 ∙ 5 = 5 ∙ 3.

Или, в общем виде:

ab = ba.

В школе это тождество называется перестановочным свойством умножения.

Теперь мы обзавелись всеми необходимыми свойствами, чтобы утверждать, что произведение любого числа числовых сомножителей может вычисляться в совершенно любом порядке. Действительно, налицо полная аналогия со сложением. Сравните:

ab = ba

   и   

a + b = b + a,

a∙(bс) = (ab)∙с

   и   

a + (b + c) = (a + b) + c.

Мы знаем, что из коммутативности и ассоциативности сложения каким-то образом выводится, что слагаемые можно произвольным образом менять местами. Каким бы ни был этот вывод, мы можем заменить в нем всюду оператор сложения на оператор умножения — и мы получим аналогичное доказательство на случай умножения.

Изменение порядка сомножителей иногда очень сильно облегчает вычисления. Например:

5∙765∙2 = 5∙2∙765 = 10∙765 = 7650.

В заключение этого нашего урока выпишем свойства умножения еще раз. Для произвольных целых чисел a, b и c справедливы следующие тождества:

ab = ba

   

(коммутативность)

a(bс) = (ab)с

   

(ассоциативность)

+ = (a + b)с

   

(дистрибутивность)

 

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Подстановки и упрощение выражений типа n(±ax ± by) ± m(±cx ± dy)