Образовательный проект Леонида Некина

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

1.5. Умножение

На этот раз нам понадобятся несколько пятикопеечных монет и, конечно же, снова счеты. Допустим, мы хотим купить себе конфет. Каждая конфета стоит $5$ копеек. Значит, чтобы купить две конфеты, мы должны отдать продавщице две пятикопеечные монеты — кладем их перед собой на стол. Теперь посчитаем, сколько здесь копеек — откладываем на счетах:

$5 + 5 = 10$

Эту же запись можно сделать немножко покороче. Когда я беру $2$ раза по $5$, я записываю это в виде примера на умножение:

$2 \cdot 5 = 10$

Это читается: «Два раза по пять равно десяти». (Хотя это и не общепринятый способ чтения, я всё же настоятельно бы посоветовал пока читать эту запись именно так.) Теперь, допустим, мы хотим купить $3$ конфеты. Выкладываем перед собой три монеты, откладываем на счетах $3$ раза по $5$ и получаем:

$5 + 5 + 5 = 15$

Или в виде примера на умножение:

$3 \cdot 5 = 15$

Еще пара таких демонстраций — и ребенок уже способен справляться с подобными примерами самостоятельно. Монеты вскоре становятся не нужны — достаточно одних счет. Теперь снова дело за практикой. Постепенно ребенок научится (почти безошибочно) считать все примеры из таблицы умножения. При этом многие ответы он мимоходом выучит наизусть. Настает время обратить его внимание на некоторые хитрости.

(1) Числа в примерах на умножение можно менять местами. Так, к примеру, $5$ раз по $3$ это ровно столько же, сколько $3$ раза по $5$. В этом легко убедиться если посмотреть на такую картинку:

●  ●  ●  ●  ●
●  ●  ●  ●  ●
●  ●  ●  ●  ●

Здесь пять столбцов по три кружка в каждом столбце, а значит, общее число кружков ${5 \cdot 3}$. С другой стороны, здесь три ряда по пять кружков в каждом ряду, то есть всего кружков ${3 \cdot 5}$. Таким образом, $5 \cdot 3 = 3 \cdot 5$. Теперь, когда мы узнали эту хитрость, нам позволительно читать запись

$5 \cdot 3$

как «пять умножить на три». Именно так принято говорить по-русски, однако по сути это неправильно. «Пять умножить на три» означает буквально «берем пятерку три раза», в то время как запись «${5 \cdot 3}$» означает на самом-то деле «берем тройку пять раз». Большой беды в этой путанице нет, потому что «пять умножить на три» в точности равно «трем умножить на пять». Другое русское выражение — «пятью три» — является, безусловно, более правильным. Не берусь утверждать про все иностранные языки, но по крайней мере в английском, немецком и французском выражение «${5 \cdot 3}$» читается (в буквальном переводе) как «пять раз по три».

(2) Умножать на $10$, оказывается, очень легко. Чтобы в этом убедиться, снова достаем полный набор наших монет. Допустим у нас есть $23$ копейки (две дестюльника и три копейки):





Мы хотим, чтобы денег у нас стало в $10$ раз больше. Докладываем монетки таким образом:

●  ●  ●  ●  ●  ●  ●  ●  ●  ●
●  ●  ●  ●  ●  ●  ●  ●  ●  ●
○  ○  ○  ○  ○  ○  ○  ○  ○  ○
○  ○  ○  ○  ○  ○  ○  ○  ○  ○
○  ○  ○  ○  ○  ○  ○  ○  ○  ○

Затем каждый ряд дестюльников заменяем на рубль, а каждый ряд копеек заменяем на дестюльник. Получаем $2$ рубля и $3$ дестюльника, то есть $230$ копеек. Чтобы умножить число на $10$, надо к этому числу справа приписать ноль:

$10 \cdot 23 = 23 \cdot 10 = 230$

Пусть у нас на счетах отложено число $23$. Умножить на $10$ — это значит все отложенные бусинки «переселить» на один ряд выше. Впрочем, будет очень полезно один разок действительно десять раз «тупо» отложить на счетах число $23$ (или любое другое) и посмотреть, что получится.

(3) Допустим, мы хотим на счетах умножить на $30$ число $23$. Будем ли мы откладывать $23$ тридцать раз? Нет, конечно. Мы сразу отложим $23$ десять раз, то есть попросту отложим число $230$. Всего надо так сделать $3$ раза, потому что $30$ это не что иное как $3$ раза по $10$. Получаем:

$30 \cdot 23 = 3 \cdot 230 = 690$

Умножать на $100$ тоже очень просто, потому что $100$ — это $10$ раз по $10$. Умножим $23$ на $10$. Приписав нуль, получим $230$. Потом еще раз умножим на десять. Припишем еще один нуль: $2300$. В итоге выходит:

$100 \cdot 23 = 23 \cdot 100 = 2300$

При умножении на $100$ к числу надо приписать два нуля. А на счетах при умножении на $100$ все отложенные бусинки «переселяются» на два ряда выше.

А если мы захотим умножить $23$ на $300$? Сразу откладываем на счетах $2300$ и делаем так всего три раза. Получаем:

$300 \cdot 23 =3 \cdot 2300 = 6900$

А если надо умножить $230$ на $300$? Тут всё то же самое:

$300 \cdot 230 = 3 \cdot 23000 = 69000$

Мы замечаем одну полезную вещь: когда мы перемножаем «круглые» числа (то есть такие, которые оканчиваются на ноль), мы можем поначалу вовсе отбросить все конечные нули, выполнить умножение без них, а потом к результату приписать столько нулей, сколько мы отбросили. Например, в примере на умножение

$300 \cdot 230$

мы отбрасываем три конечных нуля и получаем

$3 \cdot 23 = 69$

Теперь сталось только приписать сюда те самые три нуля, которые мы отбросили:

$300 \cdot 230 = 69000$

(4) Если на $10$ умножать очень легко, то и на $11$ ненамного труднее. Допустим, мы хотим умножить на $11$ всё то же самое число $23$. Для этого надо число $23$ отложить на счетах $11$ раз. Но мы уже знаем, какое число мы получим после того, как сделаем это $10$ раз. Это $230$. Поэтому мы сразу откладываем $230$, после чего нам остается отложить $23$ только один раз. Мы получаем ответ всего в два «хода»:

$11 \cdot 23 = 253$

Однако, если так легко умножать на $11$, то и на $12$ — тоже нетрудно. Одни раз отложим $230$ и два раза по $23$. В результате получим (в три «хода»):

$12 \cdot 23 = 276$

Умножать на $20$ мы уже умеем. Для этого понадобится лишь два «хода»: два раза по $230$ — и готово!

А сколько «ходов» нужно чтобы умножить $23$ на $21$? — Только три: откладываем два раза по $230$ и один раз $23$.

Теперь нам нетрудно будет вычислить и такие примеры:

$101 \cdot 23$ (в два «хода),

$102 \cdot 23$ (в три «хода»).

Оказывается, мы уже умеем легко перемножать между собой довольно большие числа.

(5) Пусть нам теперь требуется вычислить $9 \cdot 23$. Значит ли это, что мы должны, по старинке, откладывать на счетах число $23$ целых девять раз? Нет, не значит. Допустим, мы просчитались, и вместо девяти раз отложили это число десять раз. Такую ситуацию легко исправить. Прокручиваем последний, лишний, «ход» в обратную сторону (то есть, вычитаем $23$) — и всё в порядке. Но ведь мы уже заранее знаем, что получится, если отложить число $23$ десять раз. Поэтому мы можем сознательно как бы просчитаться, а потом поправиться. Откладываем $230$, вычитаем $23$, и получаем ответ (в два «хода»):

$9 \cdot 23 = 207$

Подобным же образом, чтобы вычислить $8 \cdot 23$, надо «поправиться» два раза. Откладываем $230$ и два раза отнимаем $23$ (всего три «хода» вместо восьми):

$8 \cdot 23 = 184$

Используя данный прием, мы теперь сумеем легко вычислить:

$19 \cdot 23$ (в три «хода),

$99 \cdot 23$ (в два «хода»)

и тому подобное.

Разумеется, усложнение примеров не самоцель. Важно, чтобы ребенок разобрался во всех хитростях и научился ими пользоваться. Однако перемножать на счетах числа в пределах $24$ — это вполне посильная задача. В этом случае для решения одного примера понадобится не более шести «ходов».

(6) Самый легкий случай — это когда требуется умножить на число $0$ (ноль). Отложим ли мы число $23$ ноль раз или ноль бусинок отложим $23$ раза, результат всё равно один:

$0 \cdot 23 = 0$

$23 \cdot 0 = 0$

Конспект

1. Чтобы узнать, сколько стоят три конфеты по пять копеек, мы откладываем на счетах три раза по пять бусинок. На бумаге эта задача и ее ответ записывается в виде ${5 + 5 + 5 =15}$ или сокращенно $3 \cdot 5 = 15$ (три раза по пять равно пятнадцать). Это пример на умножение: следовало бы говорить, что мы пять умножили на три и получили пятнадцать. Однако на практике запись $3 \cdot 5$ в русском языке принято не совсем правильно читать «три умножить на пять». Эта путаница не приводит к недоразумениям, потому что если взять пять раз по три, то мы получим тот же самый результат — пятнадцать. Числа, входящие в пример на умножение можно менять местами. Пять умножить на три это то же самое, что и три умножить на пять: $3 \cdot 5 = 5 \cdot 3 = 15$.

2. Чтобы умножить число на 10, надо приписать к нему справа нуль. При этом бусинки на счетах «переселяются» на один ряд выше. При умножении на сто мы приписываем к чилу два нуля, а бусинки на счетах «переселяем» на два ряда выше. Когда мы перемножаем «круглые» числа (оканчивающиеся на $0$), мы можем поначалу отбросить все конечные нули, выполнить умножение без них, а потом к результату приписать столько нулей, сколько мы отбросили.

3. Чтобы умножить 23 на 30, откладываем на счетах три раза число 230. Умножая 23 на 31, откладываем на счетах три раза число 230 и один раз число 23. При умножении 23 на 102 откладываем на счетах один раз число 2300 и два раза число 23.

4. Чтобы умножить 23 на 9, откладываем на счетах число 230 и отнимаем от него число 23. Умножая 23 на 98, откладываем 2300 и два раза отнимаем 23.

5. При умножении любого числа на ноль получается ноль ($0$).

Задачи (в дополнение к обычным примерам на умножение)

1.5.1. Как удобнее вычислять:

$7$ раз по $8$ или $8$ раз по $7$?

$11$ раз по $19$ или $19$ раз по $11$?

и т. п.

1.5.2. За сколько «ходов» можно вычислить следующие примеры:

$15 \cdot 15$

$89 \cdot 9$

$16 \cdot 201$

$13 \cdot 0$

и т. п.

Примеры из «динамических» прописей

Примеры из таблицы умножения

Умножение в пределах таблицы ${24 \times 24}$ 

 

 

 

Вопросы и комментарии

14 мая, 2015 - 20:36

Леонид

Добрый вечер, я хотел спросить по поводу задачи к материалу: Как удобней вычислять? т.е удобней вычислять от большего к меньшему? 8 раз по 7, 20 по 6. Правильно ли я понял или нет?

15 мая, 2015 - 10:08

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Если мы вычисляем 8 раз по 7, то мы откладываем вначале 70 (один "ход"), и еще два раза отнимаем семерку (два "хода"). Итого - три "хода".
Если мы вычисляем 7 раз по 8, то мы откладываем вначале 80, и отнимаем три раза по 8. Итого - четыре "хода".
Значит, первый вариант удобнее.

Чтобы вычислить 20 по 6 достаточно "двух" ходов: два раза по 60. А вычисление 6-ти по 20 потребует, как минимум, пять "ходов".

Совершенно случайно в обоих случаях получилось так, что большее по меньшему вычислять удобнее, но на самом деле "большесть" и "меньшесть" тут не при чем. 2 раза по 17 вычисять безусловно удобнее, чем 17 раз по 2.

 Ответить  

12 октября, 2013 - 19:34

Елена

"Теперь посчитаем, сколько здесь копеек — откладываем на счетах:

5 + 5 = 10.

Эту же запись можно сделать немножко покороче. Когда я беру 2 раза по 5, я записываю это так:

2 ∙ 5 = 10"

Вообще-то первый множитель - это повторяющееся слагаемое, а второй - сколько раз его взяли. Ребенку важно это усвоить сразу - для успешного решения задач.

А вообще - спасибо за прекрасный сайт, уже несколько лет пользуюсь его материалами.

12 октября, 2013 - 21:59

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Как раз наоборот. Мы говорим "пять коров", а не "коров пять", мы пишем 2 см, а не см 2, 2х, а не x2. Сбивающее с толку выражение "два умножить на пять" существует только в русском языке (который особенно запутан в том, что касается числительных), в Западных языках принято говорить "два раза по пять": two times five, zwei mal fünf, deux fois cinq. Да и по-русски можно, слава богу, сказать "дважды пять".

8 марта, 2015 - 10:32

Училка

Преклоняюсь перед великим тружеником. НО! Логику в математике русским языком не заменишь=))) 5+5+5+5+5+5+5=5х7. Тут главное: не СКОЛЬКО РАЗ ты возьмёшь, а ЧТО ты будешь брать (узнавать). Вот и ставь это число на первое место!

8 марта, 2015 - 12:16

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Если на первое место ставить, что я беру, а на второе - сколько я беру, то как же тогда понимать выражения "два метра" или "три поросенка"?

 Ответить