Образовательный проект Леонида Некина

Учить АНГЛИЙСКИЙ, НЕМЕЦКИЙ с микрофоном в руках:

попробуйте один раз — и по-другому Вы уже не захотите.

Поддержка бесплатно на все сто — нажать сюда!

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

3.2. Умножение «в столбик»

До сих пор мы умели только умножать на счетах в пределах 24 × 24. Настало время научиться перемножать бóльшие числа, и не на счетах, а на бумаге — с помощью процедуры, которая называется умножением «в столбик».

Надо честно признаться: умножение «в столбик» — это одна из самых неприятных и нудных вещей во всей математике. Хуже нее только деление «уголком», которым мы тоже вскоре займемся. Как только мы освоим умножение «в столбик» и деление «уголком», мы можем смело утверждать, что самый трудный участок на пути изучения математики у нас остался позади.

Прежде всего нам понадобится таблица умножения в пределах от 2 × 2 до 9 × 9. Удобнее всего ее записать в таком виде:

 

    

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

6

8

10

12

14

16

18

3

6

9

12

15

18

21

24

27

4

8

12

16

20

24

28

32

36

5

10

15

20

25

30

35

40

45

6

12

18

24

30

36

42

48

54

7

14

21

28

35

42

49

56

63

8

16

24

32

40

48

56

64

72

9

18

27

36

45

54

63

72

81

Это так называемая таблица Пифагора. Здесь на пересечении строки, помеченной числом 3, и колонки, помеченной числом 5, стоит как раз произведение чисел 3∙5, то есть 15. Подобным же образом мы можем по этой таблице быстро найти произведение любых однозначных чисел (за исключением нуля и единицы, но умножать на ноль и единицу настолько легко, что никакая таблица не нужна).

В школе эту таблицу заставляют учить наизусть. На мой взгляд, в этом нет никакой необходимости. Пусть она просто будет под рукой, и этого совершенно достаточно. По мере того как мы будем практиковаться в умножении «в столбик», она выучится сама собой.

Таблицу умножения на отдельном листе (в формате pdf) можно взять здесь.

Итак, приступим к умножению чисел. Для начала научимся умножать на однозначное число. Пусть нам надо вычислить

6879∙7.

Воспользовавшись свойствами умножения, которые мы проходили на прошлом уроке, мы можем написать:

6879∙7 =

(9

 + 

7∙10

 + 

8∙100

 + 

6∙1000)∙7

 =

9∙7

 + 

7∙7∙10

 + 

8∙7∙100

 + 

6∙7∙1000

 =

63

 + 

49∙10

 + 

56∙100

 + 

42∙1000

 =

 

6 3

+

4 9 0

+

5 6 0 0

+

 4 2 0 0 0

Перепишем это в виде упрощенной таблицы (очень похожей на ту, какую мы писали, когда учились сложению столбиком):

 

  ×

 6 

 8 

 7 

 9 

 

 

 

 7 

 

 6 

 3 

 

 4 

 9 

 

 

 5 

 6 

 

 4 

 2 

 

Теперь остается сложить числа под горизонтальной линией — и ответ готов:

 

  ×

 6 

 8 

 7 

 9 

 

 

 

 7 

 

 6 

 3 

 

 4 

 9 

 

 

 5 

 6 

 

 4 

 2 

 

 

1

1

 

 

 4 

 8 

 1 

 5 

 3 

Надо ли пояснять, откуда взялись маленькие единички над нашим ответом? Когда мы в разряде десятков сложили 6 и 9, то получили 15. Последнюю цифру этого числа (то есть пятерку) мы записали в ответе в разряде десятков, а первую цифру этого числа (то есть единицу) перенесли в следующий разряд в виде маленькой приподнятой единички. Потом в разряде сотен мы стали складывать 4 и 6, и не забыли добавить сюда же эту самую единичку. Получившееся число 11 тоже записали наискосок: вторую единицу покрупнее и пониже (в аккурат в строке ответа), а первую единицу поменьше и повыше.

Мы теперь, в принципе, умеем умножать на однозначное число. Но давайте подумаем над усовершенствованиями. Во-первых, перепишем нашу табличку в более компактном виде:

 

  ×

 6 

 8 

 7 

 9 

 

 

 

 7 

 4 

 5 

 4 

 6 

 

 

 2 

 6 

 9 

 3 

 

1

1

 

 

 4 

 8 

 1 

 5 

 3 

А во-вторых, подумаем над возможностью более радикального сокращения записи. Вернемся в исходное положение:

 

  ×

 6 

 8 

 7 

 9 

 

 

 

 7 

В разряде единиц умножим 9 на 7. Результат 63 запишем, как и раньше, наискосок, но шестерку сделаем совсем маленькой:

 

  ×

 6 

 8 

 7 

 9 

 

 

 

 7 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 3 

Теперь умножим в разряде десятков 7 на 7. Получаем 49. Прибавляем сюда нашу «маленькую» шестерку: 49 + 6 = 55. Этот результат опять записываем наискосок:

 

  ×

 6 

 8 

 7 

 9 

 

 

 

 7 

 

 

5

6

 

 

 

 

 5

 3 

Переходим к разряду сотен: 8∙7 + 5 = 61. Записываем:

 

  ×

 6 

 8 

 7 

 9 

 

 

 

 7 

 

6

5

6

 

 

 

 1

 5

 3 

И, наконец, в разряде тысяч получаем 6∙7 + 6 = 48:

 

  ×

 6 

 8 

 7 

 9 

 

 

 

 7 

4

6

5

6

 

 4

 8

 1

 5

 3 

Здесь мы еще перенесли «маленькую» четверку в разряде десятков тысяч вниз, чтобы получить окончательный ответ. Не правда ли, наши вычисления стали короче, а запись еще более компактной?

Теперь возникает резонный вопрос. А как мы будем записывать эти вычисления в нашей тетрадке по математике, разлинованной в клетку? Будем ли мы писать «маленькие» цифры в отдельном ряду клеток или же втискивать их в тот же ряд клеток, где у нас записан ответ? Оба варианта не слишком хороши. Поэтому я предлагаю делать наши вычисления в столбик на отдельных листах бумаги. Для этого прекрасно подойдут обычные белые листы, какие используются для принтеров и копировальных машин. А тех, кому работать на линованной бумаге всё же привычнее, приглашаю воспользоваться листами с особой линовкой.

Лист со специальной линовкой для вычислений можно взять здесь (формат pdf).

Надо отметить, что в школе учат умножать «в столбик» несколько по-другому. Отличие состоит в том, что «маленькие» цифры не записывают на бумагу, а держат в уме — вероятно, по той именно причине, что в стандартных тетрадках в клетку их прото некуда записывать. На мой взгляд, это слишком усложняет процесс счета и только способствует ошибкам.

Переходим к умножению на двузначные числа. Пусть требуется вычислить

6879∙67.

Ну что ж, приступим.

6879∙67 =

6879∙(7 + 6∙10) =

6879∙7
+
6879∙6∙10 =

 

6 3

+

4 9 0

+

5 6 0 0

+

 4 2 0 0 0

 

+

 

5 4 0

+

4 2 0 0

+

4 8 0 0 0

+

 3 6 0 0 0 0

Здесь при умножении на 6 мы воспользовались тем же приемом, что и при умножении на 7, только к каждому получившемуся слагаемому приписали еще 0 из-за дополнительного умножения на 10. Сумму «желтых» слагаемых находим точно так же, как раньше мы находили сумму «зеленых» слагаемых:

 

 

  ×

 6 

 8 

 7 

 9 

 

 

 

 6 

 7 

 

4

6

5

6

 

 

 4 

 8 

 1 

 5 

 3 

4

5

4

5

 

 

 4 

 1 

 2 

 7 

 4 

 

Складываем получившиеся ряды «больших» цифр и получаем окончательный ответ (при этом «маленькие» цифры можно зачеркнуть, чтобы не мешались):

 

 

  ×

 6 

 8 

 7 

 9 

 

 

 

 6 

 7 

 

  4  

  6  

  5  

  6  

 

 

 4 

 8 

 1 

 5 

 3 

  4  

  5  

   4  

  5  

 

 

 4 

 1 

 2 

 7 

 4 

 

 

1

 

 

 

 

 4 

 6

 0

 8

 9

 3

Подобным же образом делается умножение на трехзначные числа. Например:
 

 

 

  ×

 6 

 8 

 7 

 9 

 

 

 

 2

 6 

 7 

 

 

4

6

5

6

 

 

 

 4 

 8 

 1 

 5 

 3 

 

4

5

4

5

 

 

 

 4 

 1 

 2 

 7 

 4 

 

1

1

1

1

 

 

 

 1 

 3

 7

 5

 8

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 1 

 8

 3

 6

 6

 9

 3

Если в середине трехзначного числа стоит ноль, то запись выглядит так:
 

 

 

  ×

 6 

 8 

 7 

 9 

 

 

 

 2

 0

 7 

 

 

4

6

5

6

 

 

 

 4 

 8 

 1 

 5 

 3 

1

1

1

1

 

 

 

 1 

 3 

 7

 5

 8

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 1 

 4

 2

 3

 9

 5

 3

Наконец, умножение круглых чисел (которые оканчиваются нулями) записывается в таком виде:
 

 

 

  ×

 6 

 8 

 7 

 9 

 0 

 

 

 

 

 

 2

 6 

 7 

 0 

 0 

 

 

 

4

6

5

6

 

 

 

 

 

 

 4 

 8 

 1 

 5 

 3 

 

 

 

 

4

5

4

5

 

 

 

 

 

 

 4 

 1 

 2 

 7 

 4 

 

 

 

 

1

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 1 

 3

 7

 5

 8

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 1 

 8 

 3 

 6 

 6 

 9 

 3 

 0 

 0 

 0 

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Умножение на однозначное число

Умножение на двузначное число

Умножение на трехзначное число

 

 

 

Вопросы и комментарии

29 марта, 2017 - 18:27

Яна

как умножить 1265,5 умножить на 255

 Ответить  

12 декабря, 2016 - 23:35

катя

как умножать 15, на 13,4?

 Ответить  

6 сентября, 2016 - 19:58

Гость

как умножить 407 на 306

26 февраля, 2017 - 19:05

Юлия

Не как

29 марта, 2017 - 18:29

Яна

Ну получается:
124542.00

 Ответить  

9 апреля, 2016 - 14:55

дима

как ришить деление

29 марта, 2017 - 18:22

Яна

обычно!

 Ответить  

6 февраля, 2016 - 13:05

Ваня

Как умножить в столбик 1200•100

23 марта, 2016 - 22:14

СЕРГЕЙ

1200 УМНОЖИТЬ НА 100 РАВНО 120000

10 мая, 2016 - 19:20

елена

да конечно.

 Ответить  

9 сентября, 2015 - 19:49

Гость

152922: 6 как делить в столбик ? 42329:7

26 сентября, 2015 - 20:52

милена

по таблице умножения

29 марта, 2017 - 18:24

Яна

по калькулятору

 Ответить  

1 сентября, 2015 - 14:29

Лёля

как 16 умножить на 27 в столбик?

25 ноября, 2015 - 16:29

юлия

.27
16
=
72

 Ответить  

26 мая, 2015 - 11:56

ан

Как 120 умножить на 25?
120
25
Или
120
25??

26 мая, 2015 - 12:25

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Если столбиком - то всё равно. А вообще-то это делается так:
(120/4) * 100 = 3000

 Ответить  

23 апреля, 2015 - 20:31

артём

Как решить пример столбиком.41,15×4,5=?

18 июля, 2015 - 13:15

ибра

41,15
4,5
185,175

 Ответить  

15 апреля, 2015 - 19:02

юля

как решить пример в столбик
306*407

 Ответить  

10 марта, 2015 - 17:42

вика

(1,24+3,56):16=????
Плиз в столбик!

 Ответить  

11 ноября, 2014 - 20:22

Оля

504
*203

24 ноября, 2014 - 18:53

Алмаз

102,312

 Ответить  

11 сентября, 2014 - 16:22

tron

15
*18

и ниже ответ

9 октября, 2014 - 17:15

нарина

118

 Ответить  

11 сентября, 2014 - 16:18

Зевс

обясните как умножать в столбик с нулями

 Ответить  

8 сентября, 2014 - 14:21

жасмина

обьясните как 15 умножить на 18 столбиком

13 января, 2015 - 16:14

Сашок

15
*18
_____
Сначало умножаем 15*8!Записываем под 8
15
*8
___
120
Потом умножаем на 1!(Пишем под этими числами!)Важно:писать под 1!НО * надо как и с 8!
Пример получается так:
15
*18
___
120
+15 (Тоесть начинаем писать под 2!)
____
135
Ну вот как то так!Спасибо,если прочитали

 Ответить  

16 января, 2014 - 20:14

Андрей

Все отлично сказано написано грамотно. все ясно и понятно , спасибо автору!

 Ответить  

4 октября, 2013 - 02:15

Анжела

Здраствуйте скажите пожалуйста как надо это делать вставь в каждое окошко одну такую цифру чтобы получились верные неравенства 41>4,5<52,8<28,7>67подчеркни те неравенства Ещё числа 36,54,46,40,56,24,запиши в нужные клетки таблицы пожалуйста помагите нам

4 октября, 2013 - 12:28

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Самое главное (и трудное) в математике - это научиться понимать условия задач, так чтобы их можно было внятно пересказать. После этого всё остальное становится легко. Я еще могу предположить, что первая задача решается так:
41 > 40; 51 < 52; 18 < 28; 77>67
а что касается того, чтобы вставить числа в нужные клетки таблицы, не бросив ни одного взгляда на таблицу, - тут уже, увы, я не волшебник.

16 марта, 2016 - 20:15

маргарита

как делить в столбик на 100?

16 марта, 2016 - 20:17

маргарита

зарание спасибо)

24 марта, 2016 - 11:02

Наталья Николаевна

А зачем на 100 делить в столбик???
Принцип деления на 10, 100, 1000 и т.д. "Частное равно делимому, уменьшенному на то количество цифр, сколько нулей стоит в делителе".
Например,
1200 : 10 = 120 или 123 : 10 = 12,3;
1200 : 100 = 12 или 1234 : 100 = 12,34;
12000 : 1000 = 12 или 12345 : 1000 = 12,345

4 сентября, 2017 - 16:55

диана

класно очень помогло с уроками

 Ответить