Образовательный проект Леонида Некина

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

3.2. Умножение «в столбик»

До сих пор мы умели только умножать на счетах в пределах ${24 \times 24}$. Настало время научиться перемножать бóльшие числа, и не на счетах, а на бумаге — с помощью процедуры, которая называется умножением «в столбик».

Надо честно признаться: умножение «в столбик» — это одна из самых неприятных и нудных вещей во всей математике. Хуже нее только деление «уголком», которым мы тоже вскоре займемся. Как только мы освоим умножение «в столбик» и деление «уголком», мы можем смело утверждать, что самый трудный участок на пути изучения математики у нас остался позади.

Прежде всего нам понадобится таблица умножения в пределах от ${2 \times 2}$ до ${9 \times 9}$. Удобнее всего ее записать в таком виде:

 

    

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

$14$

$16$

$18$

$3$

$6$

$9$

$12$

$15$

$18$

$21$

$24$

$27$

$4$

$8$

$12$

$16$

$20$

$24$

$28$

$32$

$36$

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

$30$

$35$

$40$

$45$

$6$

$12$

$18$

$24$

$30$

$36$

$42$

$48$

$54$

$7$

$14$

$21$

$28$

$35$

$42$

$49$

$56$

$63$

$8$

$16$

$24$

$32$

$40$

$48$

$56$

$64$

$72$

$9$

$18$

$27$

$36$

$45$

$54$

$63$

$72$

$81$

Это так называемая таблица Пифагора. Здесь на пересечении строки, помеченной числом $3$, и колонки, помеченной числом $5$, стоит как раз произведение чисел ${3 \cdot 5}$, то есть $15$. Подобным же образом мы можем по этой таблице быстро найти произведение любых однозначных чисел (за исключением нуля и единицы, но умножать на ноль и единицу настолько легко, что никакая таблица не нужна).

В школе эту таблицу заставляют учить наизусть. На мой взгляд, в этом нет никакой необходимости. Пусть она просто будет под рукой, и этого совершенно достаточно. По мере того как мы будем практиковаться в умножении «в столбик», она выучится сама собой.

Таблицу умножения на отдельном листе (в формате pdf) можно взять здесь.

Итак, приступим к умножению чисел. Для начала научимся умножать многозначные числа (состоящие из нескольких цифр) на однозначные (состоящие из одной цифры). Пусть нам надо вычислить

${6879 \cdot 7}$.

Воспользовавшись свойствами умножения, которые мы проходили на прошлом уроке, мы можем написать:

$6879 \cdot 7$ =

$(9$

 $+$

$7 \cdot 10$

 $+$

$8 \cdot 100$

 $+$

$6 \cdot 1000) \cdot 7$

 $=$

$9 \cdot 7$

 $+$

$7 \cdot 7 \cdot 10$

 $+$

$8 \cdot 7 \cdot 100$

 $+$

$6 \cdot 7 \cdot 1000$

 $=$

$63$

 $+$

$49 \cdot 10$

 $+$

$56 \cdot 100$

 $+$

$42 \cdot 1000$

 $=$

 

$6~3$

$+$

$4~9~0$

$+$

$5~6~0~0$

$+$

 $4~2~0~0~0$

Перепишем это в виде упрощенной таблицы (очень похожей на ту, какую мы писали, когда учились сложению столбиком):

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

 

 $6$ 

 $3$ 

 

 $4$ 

 $9$ 

 

 

 $5$ 

 $6$ 

 

 $4$ 

 $2$ 

 

Теперь остается сложить числа под горизонтальной линией — и ответ готов:

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

 

 $6$ 

 $3$ 

 

 $4$ 

 $9$ 

 

 

 $5$ 

 $6$ 

 

 $4$ 

 $2$ 

 

 

$1$

$1$

 

 

 $4$ 

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

Надо ли пояснять, откуда взялись маленькие единички над нашим ответом? Когда мы в разряде десятков сложили $6$ и $9$, то получили $15$. Последнюю цифру этого числа (то есть пятерку) мы записали в ответе в разряде десятков, а первую цифру этого числа (то есть единицу) перенесли в следующий разряд в виде маленькой приподнятой единички. Потом в разряде сотен мы стали складывать $4$ и $6$, и не забыли добавить сюда же эту самую единичку. Получившееся число $11$ тоже записали наискосок: вторую единицу покрупнее и пониже (в аккурат в строке ответа), а первую единицу поменьше и повыше.

Мы теперь, в принципе, умеем умножать на однозначное число. Но давайте подумаем над усовершенствованиями. Во-первых, перепишем нашу табличку в более компактном виде:

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

 $4$ 

 $5$ 

 $4$ 

 $6$ 

 

 

 $2$ 

 $6$ 

 $9$ 

 $3$ 

 

$1$

$1$

 

 

 $4$ 

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

А во-вторых, подумаем над возможностью более радикального сокращения записи. Вернемся в исходное положение:

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

В разряде единиц умножим $9$ на $7$. Результат $63$ запишем, как и раньше, наискосок, но шестерку сделаем совсем маленькой:

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

 

 

 

$6$

 

 

 

 

 

 $3$ 

Теперь умножим в разряде десятков $7$ на $7$. Получаем $49$. Прибавляем сюда нашу «маленькую» шестерку: ${49 + 6 = 55}$. Этот результат опять записываем наискосок:

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

 

 

$5$

$6$

 

 

 

 

 $5$ 

 $3$ 

Переходим к разряду сотен: ${8 \cdot 7 + 5 = 61}$. Записываем:

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

 

$6$

$5$

$6$

 

 

 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

И, наконец, в разряде тысяч получаем ${6 \cdot 7 + 6 = 48}$:

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $7$ 

$4$

$6$

$5$

$6$

 

 $4$ 

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

Здесь мы еще перенесли «маленькую» четверку в разряде десятков тысяч вниз, чтобы получить окончательный ответ. Не правда ли, наши вычисления стали короче, а запись еще более компактной?

Теперь возникает резонный вопрос. А как мы будем записывать эти вычисления в нашей тетрадке по математике, разлинованной в клетку? Будем ли мы писать «маленькие» цифры в отдельном ряду клеток или же втискивать их в тот же ряд клеток, где у нас записан ответ? Оба варианта не слишком хороши. Поэтому я предлагаю делать наши вычисления в столбик на отдельных листах бумаги. Для этого прекрасно подойдут обычные белые листы, какие используются для принтеров и копировальных машин. А тех, кому работать на линованной бумаге всё же привычнее, приглашаю воспользоваться листами с особой линовкой.

Лист со специальной линовкой для вычислений можно взять здесь (формат pdf).

Надо отметить, что в школе учат умножать «в столбик» несколько по-другому. Отличие состоит в том, что «маленькие» цифры не записывают на бумагу, а держат в уме — вероятно, по той именно причине, что в стандартных тетрадках в клетку их проcто некуда записывать. На мой взгляд, это слишком усложняет процесс счета и только способствует ошибкам.

Переходим к умножению на двузначные числа. Пусть требуется вычислить

${6879 \cdot 67}$.

Ну что ж, приступим.

$6879~\cdot$ $6$$7$ =

$6879~\cdot($$7$ $+$ $6 \cdot 10$$) =$

$6879 \cdot 7$
+
$6879 \cdot 6 \cdot 10$ $=$

 

$6~3$

$+$

$4~9~0$

$+$

$5~6~0~0$

$+$

$4~2~0~0~0$

 

$+$

 

$5~4~0$

$+$

$4~2~0~0$

$+$

$4~8~0~0~0$

$+$

$3~6~0~0~0~0$

Здесь при умножении на $6$ мы воспользовались тем же приемом, что и при умножении на $7$, только к каждому получившемуся слагаемому приписали еще $0$ из-за дополнительного умножения на $10$. Сумму «желтых» слагаемых находим точно так же, как раньше мы находили сумму «зеленых» слагаемых:

 

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $6$ 

 $7$ 

 

$4$

$6$

$5$

$6$

 

 

 $4$ 

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

$4$

$5$

$4$

$5$

 

 

 $4$ 

 $1$ 

 $2$ 

 $7$ 

 $4$ 

 

Складываем получившиеся ряды «больших» цифр и получаем окончательный ответ (при этом «маленькие» цифры можно зачеркнуть, чтобы не мешались):

 

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $6$ 

 $7$ 

 

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

 

 

 $4$ 

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

 

 

 $4$ 

 $1$ 

 $2$ 

 $7$ 

 $4$ 

 

 

$1$

 

 

 

 

 $4$ 

 $6$ 

 $0$ 

 $8$ 

 $9$ 

 $3$ 

Подобным же образом делается умножение на трехзначные числа. Например:
 

 

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $2$

 $6$ 

 $7$ 

 

 

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

 

 

 

 $4$

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

 

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

 

 

 

 $4$ 

 $1$ 

 $2$ 

 $7$ 

 $4$ 

 

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

 

 

 

 $1$ 

 $3$

 $7$

 $5$

 $8$

 

 

 

$1$

$1$

$1$

 

 

 

 $1$

 $8$

 $3$

 $6$

 $6$

 $9$

 $3$

Если в середине трехзначного числа стоит ноль, то запись выглядит так:
 

 

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 

 

 

 $2$

 $0$

 $7$ 

 

 

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

 

 

 

 $4$ 

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

 

 

 

 $1$ 

 $3$ 

 $7$

 $5$

 $8$

 

 

 

$1$

$1$

 

 

 

 

 $1$ 

 $4$

 $2$

 $3$

 $9$

 $5$

 $3$

Наконец, умножение круглых чисел (которые оканчиваются нулями) записывается в таком виде:
 

 

 

$\times$

 $6$ 

 $8$ 

 $7$ 

 $9$ 

 $0$ 

 

 

 

 

 

 $2$

 $6$

 $7$

 $0$

 $0$ 

 

 

 

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

$\require{cancel} \cancel{~6~}$

 

 

 

 

 

 

 $4$ 

 $8$ 

 $1$ 

 $5$ 

 $3$ 

 

 

 

 

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

$\require{cancel} \cancel{~4~}$

$\require{cancel} \cancel{~5~}$

 

 

 

 

 

 

 $4$ 

 $1$ 

 $2$ 

 $7$ 

 $4$ 

 

 

 

 

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

$\require{cancel} \cancel{~1~}$

 

 

 

 

 

 

 $1$ 

 $3$

 $7$

 $5$

 $8$

 

 

 

 

 

 

$1$

$1$

$1$

 

 

 

 

 

 

 $1$

 $8$

 $3$ 

 $6$ 

 $6$ 

 $9$ 

 $3$ 

 $0$ 

 $0$ 

 $0$ 

Конспект

1. Таблица умножения — это таблица, из которой можно узнать результаты умножения всех однозначных чисел друг на друга. (Умножение на единицу может быть опущено, так как результат в этом случае очевиден.) 

2. Умножение «в столбик» многозначного числа на однозначное. Каждый отдельный разряд многозначного числа, начиная с младшего, умножаем на однозначное число и записываем результаты «в столбик» друг под другом со сдвигом согласно разряду.  Полученные таким образом промежуточные результаты складываем и получаем окончательный результат. На практике сложение по отдельным разрядам, начиная с младшего, выполняется сразу же, как только представляется возможность, по мере появления промежуточных результатов. При этом отпадает необходимость полностью выписывать промежуточные результаты, а, чтобы разгрузить память, достаточно лишь небольших пометок.

3. Умножение «в столбик» двух многозначных чисел. Первое число умножаем на каждый из разрядов второго числа — так, как мы это делали, когда умножали многозначное число на однозначное. Результаты записываем «в столбик» друг под другом со сдвигом согласно разряду, а затем складываем их.

4. При умножении друг на друга круглых чисел, оканчивающихся нулями, отбрасываем сперва конечные нули, а потом, получив окончательный результат, приписываем к нему справа столько нулей, сколько мы их первоначально отбросили.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Умножение на однозначное число

Умножение на двузначное число

Умножение на трехзначное число

 

 

 

Вопросы и комментарии

7 февраля, 2020 - 08:05

ЛИЗЗИТЕЙЛОР

сайт нормальный.

 Ответить  

26 сентября, 2019 - 07:31

sanasnoz

Это хороший сайт

 Ответить  

29 апреля, 2019 - 11:08

Виктор Иванович

На сайте "Как дважды два" необычные калькуляторы умножают и делят любые числа столбиком, показывается решение. www.mathvaz.ru

 Ответить  

13 мая, 2018 - 13:12

Юки

Сайт очень хороший. Всё поняла

 Ответить  

16 апреля, 2018 - 14:15

Кристина97

Проще нету

 Ответить  

16 апреля, 2018 - 14:15

Кристина

Все легко

7 февраля, 2020 - 08:06

ЛИЗЗИТЕЙЛОР

ага,точно)

 Ответить  

12 апреля, 2018 - 06:27

розалья

это кажись возможно выучить

 Ответить  

29 марта, 2017 - 18:27

Яна

как умножить 1265,5 умножить на 255

13 мая, 2018 - 13:08

лиза

Будит 322 702,5

 Ответить  

12 декабря, 2016 - 23:35

катя

как умножать 15, на 13,4?

 Ответить  

6 сентября, 2016 - 19:58

Гость

как умножить 407 на 306

26 февраля, 2017 - 19:05

Юлия

Не как

29 марта, 2017 - 18:29

Яна

Ну получается:
124542.00

 Ответить  

9 апреля, 2016 - 14:55

дима

как ришить деление

29 марта, 2017 - 18:22

Яна

обычно!

7 мая, 2018 - 22:10

Вася Пупкин

Дима, для начала писать научись без ошибок.

8 мая, 2018 - 18:05

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

На этом сайте можно писать с ошибками, а недоброжелательность, наоборот, не привествтвуется.

7 февраля, 2020 - 08:08

ЛИЗЗИТЕЙЛОР

во-во!!!!!!

 Ответить  

6 февраля, 2016 - 13:05

Ваня

Как умножить в столбик 1200•100

23 марта, 2016 - 22:14

СЕРГЕЙ

1200 УМНОЖИТЬ НА 100 РАВНО 120000

10 мая, 2016 - 19:20

елена

да конечно.

 Ответить  

9 сентября, 2015 - 19:49

Гость

152922: 6 как делить в столбик ? 42329:7

26 сентября, 2015 - 20:52

милена

по таблице умножения

29 марта, 2017 - 18:24

Яна

по калькулятору

 Ответить  

1 сентября, 2015 - 14:29

Лёля

как 16 умножить на 27 в столбик?

25 ноября, 2015 - 16:29

юлия

.27
16
=
72

 Ответить  

26 мая, 2015 - 11:56

ан

Как 120 умножить на 25?
120
25
Или
120
25??

26 мая, 2015 - 12:25

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Если столбиком - то всё равно. А вообще-то это делается так:
(120/4) * 100 = 3000

 Ответить  

23 апреля, 2015 - 20:31

артём

Как решить пример столбиком.41,15×4,5=?

18 июля, 2015 - 13:15

ибра

41,15
4,5
185,175

 Ответить  

15 апреля, 2015 - 19:02

юля

как решить пример в столбик
306*407

 Ответить  

10 марта, 2015 - 17:42

вика

(1,24+3,56):16=????
Плиз в столбик!

 Ответить  

11 ноября, 2014 - 20:22

Оля

504
*203

24 ноября, 2014 - 18:53

Алмаз

102,312

 Ответить  

11 сентября, 2014 - 16:22

tron

15
*18

и ниже ответ

9 октября, 2014 - 17:15

нарина

118

 Ответить  

11 сентября, 2014 - 16:18

Зевс

обясните как умножать в столбик с нулями

 Ответить  

8 сентября, 2014 - 14:21

жасмина

обьясните как 15 умножить на 18 столбиком

13 января, 2015 - 16:14

Сашок

15
*18
_____
Сначало умножаем 15*8!Записываем под 8
15
*8
___
120
Потом умножаем на 1!(Пишем под этими числами!)Важно:писать под 1!НО * надо как и с 8!
Пример получается так:
15
*18
___
120
+15 (Тоесть начинаем писать под 2!)
____
135
Ну вот как то так!Спасибо,если прочитали

 Ответить  

16 января, 2014 - 20:14

Андрей

Все отлично сказано написано грамотно. все ясно и понятно , спасибо автору!

 Ответить  

4 октября, 2013 - 02:15

Анжела

Здраствуйте скажите пожалуйста как надо это делать вставь в каждое окошко одну такую цифру чтобы получились верные неравенства 41>4,5<52,8<28,7>67подчеркни те неравенства Ещё числа 36,54,46,40,56,24,запиши в нужные клетки таблицы пожалуйста помагите нам

4 октября, 2013 - 12:28

Леонид Некин

Леонид Некин's picture

Самое главное (и трудное) в математике - это научиться понимать условия задач, так чтобы их можно было внятно пересказать. После этого всё остальное становится легко. Я еще могу предположить, что первая задача решается так:
41 > 40; 51 < 52; 18 < 28; 77>67
а что касается того, чтобы вставить числа в нужные клетки таблицы, не бросив ни одного взгляда на таблицу, - тут уже, увы, я не волшебник.

16 марта, 2016 - 20:15

маргарита

как делить в столбик на 100?

16 марта, 2016 - 20:17

маргарита

зарание спасибо)

24 марта, 2016 - 11:02

Наталья Николаевна

А зачем на 100 делить в столбик???
Принцип деления на 10, 100, 1000 и т.д. "Частное равно делимому, уменьшенному на то количество цифр, сколько нулей стоит в делителе".
Например,
1200 : 10 = 120 или 123 : 10 = 12,3;
1200 : 100 = 12 или 1234 : 100 = 12,34;
12000 : 1000 = 12 или 12345 : 1000 = 12,345

4 сентября, 2017 - 16:55

диана

класно очень помогло с уроками

 Ответить