3.2. Умножение «в столбик»

До сих пор мы умели только умножать на счетах в пределах ${24 \times 24}$. Настало время научиться перемножать бóльшие числа, и не на счетах, а на бумаге — с помощью процедуры, которая называется умножением «в столбик».

Надо честно признаться: умножение «в столбик» — это одна из самых неприятных и нудных вещей во всей математике. Хуже нее только деление «уголком», которым мы тоже вскоре займемся. Как только мы освоим умножение «в столбик» и деление «уголком», мы можем смело утверждать, что самый трудный участок на пути изучения математики у нас остался позади.

Прежде всего нам понадобится таблица умножения в пределах от ${2 \times 2}$ до ${9 \times 9}$. Удобнее всего ее записать в таком виде:

Это так называемая таблица Пифагора. Здесь на пересечении строки, помеченной числом $3$, и колонки, помеченной числом $5$, стоит как раз произведение чисел ${3 \cdot 5}$, то есть $15$. Подобным же образом мы можем по этой таблице быстро найти произведение любых однозначных чисел (за исключением нуля и единицы, но умножать на ноль и единицу настолько легко, что никакая таблица не нужна).

В школе эту таблицу заставляют учить наизусть. На мой взгляд, в этом нет никакой необходимости. Пусть она просто будет под рукой, и этого совершенно достаточно. По мере того как мы будем практиковаться в умножении «в столбик», она выучится сама собой.

Таблицу умножения на отдельном листе (в формате pdf) можно взять здесь.

Итак, приступим к умножению чисел. Для начала научимся умножать многозначные числа (состоящие из нескольких цифр) на однозначные (состоящие из одной цифры). Пусть нам надо вычислить

${6879 \cdot 7}$.

Воспользовавшись свойствами умножения, которые мы проходили на прошлом уроке, мы можем написать:

Перепишем это в виде упрощенной таблицы (очень похожей на ту, какую мы писали, когда учились сложению столбиком):

Теперь остается сложить числа под горизонтальной линией — и ответ готов:

Надо ли пояснять, откуда взялись маленькие единички над нашим ответом? Когда мы в разряде десятков сложили $6$ и $9$, то получили $15$. Последнюю цифру этого числа (то есть пятерку) мы записали в ответе в разряде десятков, а первую цифру этого числа (то есть единицу) перенесли в следующий разряд в виде маленькой приподнятой единички. Потом в разряде сотен мы стали складывать $4$ и $6$, и не забыли добавить сюда же эту самую единичку. Получившееся число $11$ тоже записали наискосок: вторую единицу покрупнее и пониже (в аккурат в строке ответа), а первую единицу поменьше и повыше.

Мы теперь, в принципе, умеем умножать на однозначное число. Но давайте подумаем над усовершенствованиями. Во-первых, перепишем нашу табличку в более компактном виде:

А во-вторых, подумаем над возможностью более радикального сокращения записи. Вернемся в исходное положение:

В разряде единиц умножим $9$ на $7$. Результат $63$ запишем, как и раньше, наискосок, но шестерку сделаем совсем маленькой:

Теперь умножим в разряде десятков $7$ на $7$. Получаем $49$. Прибавляем сюда нашу «маленькую» шестерку: ${49 + 6 = 55}$. Этот результат опять записываем наискосок:

Переходим к разряду сотен: ${8 \cdot 7 + 5 = 61}$. Записываем:

И, наконец, в разряде тысяч получаем ${6 \cdot 7 + 6 = 48}$:

Здесь мы еще перенесли «маленькую» четверку в разряде десятков тысяч вниз, чтобы получить окончательный ответ. Не правда ли, наши вычисления стали короче, а запись еще более компактной?

Теперь возникает резонный вопрос. А как мы будем записывать эти вычисления в нашей тетрадке по математике, разлинованной в клетку? Будем ли мы писать «маленькие» цифры в отдельном ряду клеток или же втискивать их в тот же ряд клеток, где у нас записан ответ? Оба варианта не слишком хороши. Поэтому я предлагаю делать наши вычисления в столбик на отдельных листах бумаги. Для этого прекрасно подойдут обычные белые листы, какие используются для принтеров и копировальных машин. А тех, кому работать на линованной бумаге всё же привычнее, приглашаю воспользоваться листами с особой линовкой.

Лист со специальной линовкой для вычислений можно взять здесь (формат pdf).

Надо отметить, что в школе учат умножать «в столбик» несколько по-другому. Отличие состоит в том, что «маленькие» цифры не записывают на бумагу, а держат в уме — вероятно, по той именно причине, что в стандартных тетрадках в клетку их проcто некуда записывать. На мой взгляд, это слишком усложняет процесс счета и только способствует ошибкам.

Переходим к умножению на двузначные числа. Пусть требуется вычислить

${6879 \cdot 67}$.

Ну что ж, приступим.

Здесь при умножении на $6$ мы воспользовались тем же приемом, что и при умножении на $7$, только к каждому получившемуся слагаемому приписали еще $0$ из-за дополнительного умножения на $10$. Сумму «желтых» слагаемых находим точно так же, как раньше мы находили сумму «зеленых» слагаемых:

Складываем получившиеся ряды «больших» цифр и получаем окончательный ответ (при этом «маленькие» цифры можно зачеркнуть, чтобы не мешались):

Подобным же образом делается умножение на трехзначные числа. Например:
 

Если в середине трехзначного числа стоит ноль, то запись выглядит так:
 

Наконец, умножение круглых чисел (которые оканчиваются нулями) записывается в таком виде:
 

Конспект

1. Таблица умножения — это таблица, из которой можно узнать результаты умножения всех однозначных чисел друг на друга. (Умножение на единицу может быть опущено, так как результат в этом случае очевиден.) 

2. Умножение «в столбик» многозначного числа на однозначное. Каждый отдельный разряд многозначного числа, начиная с младшего, умножаем на однозначное число и записываем результаты «в столбик» друг под другом со сдвигом согласно разряду.  Полученные таким образом промежуточные результаты складываем и получаем окончательный результат. На практике сложение по отдельным разрядам, начиная с младшего, выполняется сразу же, как только представляется возможность, по мере появления промежуточных результатов. При этом отпадает необходимость полностью выписывать промежуточные результаты, а, чтобы разгрузить память, достаточно лишь небольших пометок.

3. Умножение «в столбик» двух многозначных чисел. Первое число умножаем на каждый из разрядов второго числа — так, как мы это делали, когда умножали многозначное число на однозначное. Результаты записываем «в столбик» друг под другом со сдвигом согласно разряду, а затем складываем их.

4. При умножении друг на друга круглых чисел, оканчивающихся нулями, отбрасываем сперва конечные нули, а потом, получив окончательный результат, приписываем к нему справа столько нулей, сколько мы их первоначально отбросили.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Умножение на однозначное число

Умножение на двузначное число

Умножение на трехзначное число