1.6. Деление нацело и деление с остатком

Снова запасаемся счетами и «идем покупать» конфеты.

Задача 1.6.1. Известно, что одна конфета стоит $5$ копеек, а на покупку потрачено $15$ копеек. Спрашивается: сколько конфет куплено? Эту задачу можно решить двумя способами.

Первый способ. Считаем, что продавщица сначала получила от нас $5$ копеек и выдала одну конфету, потом получила еще $5$ копеек и выдала еще одну конфету — и так далее, пока у нее не набралось $15$ копеек. Откладываем на счетах $5$ копеек и говорим: «Одна конфета». Затем откладываем еще $5$ копеек. На этот раз мы не только говорим: «Две конфеты», — но еще и смотрим на счеты: не набралось ли там уже $15$ копеек? — Нет, не набралось. Тогда снова откладываем $5$ копеек, говорим: «Три конфеты», — и смотрим на счеты. На этот раз на счетах действительно $15$ копеек. Расчет с продавщицей закончен. У нас на руках три конфеты. Задача решена.

Отмечу, что точно такое же решение подошло бы, если б нас просто попросили вставить пропущенное число в запись

$\underline{\phantom{\ldots}} \cdot 5 = 15$

Второй способ. Откладываем на счетах $15$ копеек. Столько денег мы собираемся заплатить продавщице. Но отдаем мы их не сразу, а порциями по $5$ копеек. После каждой такой порции у нас прибавляется по одной конфете. Сбрасываем на счетах $5$ копеек и говорим «раз». Потом сбрасываем еще $5$ копеек и говорим «два». И так далее — до тех пор, пока не кончатся все деньги. В данном случае это произойдет на счет «три». Значит, мы купили три конфеты.

Подобная задача встречается настолько часто, что для ее решения введено специальное обозначение:

$15 / 5 = 3$

Читается: «Пятнадцать поделить на пять равно три».

Какой же способ удобнее? Мне лично больше нравится второй: я вначале откладываю на счетах стоимость всей покупки, а потом уже не обязан держать это число в памяти. Но еще лучше, конечно, помнить ответ примера на умножение:

$3 \cdot 5 = 15$

Тогда, собственно, и считать ничего не нужно. Можно сразу выписывать ответ.

После того как ребенок самостоятельно попрактиковался в делении не слишком больших чисел (прибегая, в случае необходимости, к счетам), настает время обсудить некоторые тонкости.

(1) Проще всего делить на $10$. Пусть, например, требуется решить пример:

$230 / 10 =$

Очень легко подобрать такое число, которое при умножении на $10$ дает $230$. Это, конечно, $23$. Поэтому

$230 / 10 = 23$

(2) Давайте вычислим на счетах

$150 / 50$

При этом мы можем представить себе, что мы опять покупаем конфеты. Только на этот раз каждая кофета стоит $50$ копеек, а на всю покупку потрачено $150$ копеек ($1$ руб. $50$ коп.). Спрашивается: сколько конфет мы купили? На счетах эта задача решается точь-в-точь так же, как и в том случае, когда одна конфета стоит $5$ копеек, а на всю покупку тратится $15$ копеек. Единственное отличие заключается в том, что все операции с бусинками мы проделываем на один ряд выше. Ответ у нас, естественно, получается тот же самый, что и раньше. Поэтому мы можем записать:

$150 / 50 = 15 / 5 = 3$

Точно так же:

$1500 / 500 = 15 / 5 = 3$

Вообще, нетрудно сообразить, что, когда мы делим друг на друга «круглые» числа (то есть такие числа, которые оканчиваются нулями), мы можем зачеркнуть у обоих чисел на конце по одинаковому числу нулей, и ответ при этом не изменится.

(3) К сожалению, умение быстро делить на $10$ не помогает в делении на $11$. И всё же, некоторые полезные трюки стоит иметь в виду. Пусть, например, требуется найти

$253 / 23$

Решаем этот пример вторым способом: откладываем сперва на счетах число $253$, а потом вместо того чтобы десять раз отнимать число $23$, отнимаем сразу $230$ и говорим: «Десять». После этого на счет «одиннадцать» все бусинки заканчиваются, и мы получаем (в два «хода»):

$253 / 23 = 11$

(4) Теперь, пусть требуется поделить $207$ на $23$. Если мы решаем этот пример вторым способом, то приходится действовать «в лоб»: отнимать и отнимать всё время по $23$, пока бусинки не закончатся. Однако первый способ оставляет некоторый простор для маневров. Тут всё как и при умножении. Допустим, мы, зазевавшись, отложили $23$ десять раз — получили $230$ и спохватились: случился перебор. Чтобы не начинать всё заново, прокручиваем назад последний «ход»: отнимаем $23$ и получаем $207$. Значит,

$207 / 23 = 9$

(5) Ноль, поделенный на любое число, равен нулю. Это очевидно. А вот делить на сам ноль нельзя. Если конфета стоит $0$ копеек, а мы на покупку потратили $15$ копеек, то это какая-то ерунда. Так не бывает. Нет такого числа, которое могло бы на законном основании заполнить пустое место в записи:

$\underline{\phantom{\ldots}} \cdot 0 = 15$

Если каждая конфета достается нам даром, то и наши затраты должны быть нулевыми, сколько бы мы конфет ни получали:

$1 \cdot 0 = 0$

$2 \cdot 0 = 0$

$10 \cdot 0 = 0$

$100 \cdot 0 = 0$

Но ведь можно поинтересоваться, сколько конфет по цене $0$ копеек за штуку мы получили, заплатив $0$ копеек? Поинтересоваться-то можно, да только запись

$0 / 0$

никак не приблизит нас к ответу: ноль, поделенный на ноль, может оказаться равен любому числу. Поэтому мы с такой записью связываться не будем и тоже наложим на нее запрет.

(6) Некоторое время мы будем также считать бессмыслицей запись типа

$17 / 5$

Если мы покупаем конфеты по $5$ копеек за штуку, а продавщица требует от нас уплатить $17$ копеек, то она явно неправа. В подобных случаях говорят, что семнадцать на пять нацело не делится. Причем тут словечко «нацело»? — При том, что деление, которому мы научились, именно так и называется — деление нацело. Однако есть и другие разновидности деления.

Рассмотрим еще одну задачу.

Задача 1.6.2. У нас в кармане $17$ копеек, а мы хотим купить как можно больше конфет, каждая из которых стоит $5$ копеек. Сколько конфет мы сможем купить и сколько денег у нас останется?

Откладываем на счетах $17$ копеек. Это все наши деньги. Вычитаем теперь отсюда порции по $5$ копеек и представляем себе, что за каждую порцию мы получаем одну конфету. После того как мы приобрели $3$ конфеты, у нас на руках остается только $2$ копейки, и больше конфет мы купить не можем. Ответ на задачу записывается так:

$17 : 5 = 3 ~(\text{ост. } 2)$

Читается: «Семнадцать поделить на пять равно трем, остаток два». Такой тип деления называется «делением с остатком». Мы можем также написать:

$17 = 3 \cdot 5 + 2$

Здесь наглядно показано, куда ушли наши $17$ копеек. Три раза по пять копеек (а всего пятнадцать) — столько мы отдали за конфеты, да плюс еще две копейки, которые у нас остались.

Задача 1.6.2а. У нас в кармане $170$ копеек, а мы хотим купить как можно больше конфет, каждая из которых стоит $50$ копеек. Сколько конфет мы сможем купить и сколько денег у нас останется?

Эта задача решается точно так же как и предыдущая, только бусинки на счетах надо всё время откладывать на один ряд выше. Получаем:

$170 : 50 = 3 ~(\text{ост. } 20)$

Или:

$170 = 3 \cdot 50 + 20$

Давайте возьмем на себе заметку: когда мы делим «круглые» числа с остатком, мы не можем так запросто зачеркивать у них на конце по одинаковому количеству нулей, как это мы делали при делении нацело. Если мы это сделаем, то недосчитаемся нулей  в остатке.

Теперь — дело за практикой. При этом следует иметь в виду, что остаток может оказаться равным нулю, например:

$15 : 5 = 3 ~(\text{ост. } 0)$

И, наконец, еще одна задача.

Задача 1.6.3. Купили $3$ конфеты, заплатив за покупку $15$ копеек. Сколько стоит одна конфета?

К этой задаче можно подойти «чисто формально». От нас фактически требуется вставить правильное число в запись

$3 \cdot \underline{\phantom{\ldots}} = 15$

Но ведь мы знаем, что числа в примерах на умножение можно менять местами. Поэтому, задача будет решена, если мы найдем подходящее число, которое можно подставить сюда:

$\underline{\phantom{\ldots}} \cdot 3 = 15$

Такую задачу мы уже умеем решать:

$15 / 3 = 5$

Это уже знакомое нам деление нацело. Откладываем на счетах $15$ бусинок, и принимаемся сбрасывать всякий раз по $3$ бусинки, пока бусинок больше не останется. Поскольку бусинки пришлось сбрасывать $5$ раз, то и ответ у задачи $5$, а точнее (вспомним условие) $5$ копеек.

Однако, того, кто привык докапываться до сути вещей, такое формальное решение удовлетворить, конечно, не должно. Ведь нельзя же, в самом деле, отнять $3$ конфеты от $15$ копеек! От копеек можно отнимать только копейки!

Задача, по сути, заключается в том, чтобы $15$ однокопеечных монеток поделить на три одинаковые кучки. Откладываем на счетах $15$ бусинок, а потом берем себе, в самом деле, настоящие монетки и начинаем их делить — так, словно делим их поровну между тремя детьми. Вот тебе одна монетка, вот тебе одна монетка, вот тебе одна монетка — прошли первый круг, у каждого ребенка стало по одной монетке. У нас же на три монетки убавилось. Из $15$ бусинок, отложенных на счетах, сбрасываем три. После каждого следующего круга у каждого ребенка прибавляется по одной монетке, а у нас становится на три монетки меньше. Значит, всякий раз, завершая круг, мы должны сбросить на счетах по $3$ бусинки. Когда мы проходим $5$ кругов, монетки у нас заканчиваются и все бусинки на счетах сброшены. В результате, каждому ребенку досталось по $5$ монеток. Значит, если $15$ копеек поделить на $3$ одинаковые кучки, то в каждой кучке окажется по $5$ копеек (и если за $3$ конфеты заплатили $15$ копеек, то каждая конфета стоит $5$ копеек). Тут важно понимать, что, решая эту задачу, мы от копеек отнимаем именно копейки, а вовсе не конфеты.

Задача 1.6.3a. Купили $30$ конфет, заплатив за покупку $150$ копеек. Сколько стоит одна конфета?

Повторяем все рассуждения, которые позволили решить нам предыдущую задачу (как «формальные», так и более наглядные). Получаем:

$150 / 30 = 15 / 3 = 5$

Здесь мы опять имеем дело с делением нацело. Поэтому тут снова работает правило, по которому мы можем зачеркивать у чисел, стоящих по разные стороны от знака деления, по одинаковому количеству нулей.

* * *

Чтобы получше уяснить себя смысл деления нацело, давайте возьмем $15$ монеток и выстроим их в три ряда по пяти монеток в каждом:

●  ●  ●  ●  ●
●  ●  ●  ●  ●
●  ●  ●  ●  ●

так чтобы было наглядно видно, что ${15 = 5 \cdot 3}$. А теперь поделим $15$ на $3$, то есть вычислим ${15 / 3}$. Для этого мы будем отнимать отсюда один из другим столбцы, в каждом из которых, как мы видим, находится по три монеты. Сколько раз мы это сможем сделать, таким и окажется результат наших вычислений. Таким образом, результат деления ${15 / 3}$ — это не что иное, как ответ на вопрос: сколько здесь столбцов?

Вместе с тем на практике деление удобнее представлять себе не как многократное вычитание, а как разбиение на равные части. В данном случае $15$ монеток у нас уже разделены на $3$ одинаковых ряда. Для того чтобы вычислить ${15 / 3}$, надо просто ответить на вопрос: сколько монеток в каждом ряду? 

По-разному представляя себе деление, мы пришли к двум разным вопросам: во-первых, «Сколько здесь столбцов?», а во-вторых, «Сколько монеток в ряду?» Но по сути дела здесь спрашивается об одном и том же, и ответ в обоих случаях одинаков, а именно — пять.

В ходе наших рассуждений мы попутно установили одно очень важное совместное свойство умножения и деления. Если $5$ вначале умножить на $3$, а потом поделить на $3$, то в результате снова получится $5$. В самом деле:

$5 \cdot 3 = 15$

$15 / 3 = 5$

Также нетрудно видеть, что, если $15$ поделить на $3$, а потом умножить на $3$, то снова получится $15$:

$15 / 3 = 5$

$5 \cdot 3 = 15$

Эти утверждения остаются, разумеется, справедливы для любой другой тройки чисел, связанных между собой подобным же образом операциями деления и умножения. Кратко это можно сформулировать так: умножение и деление на одно и то же число взаимно отменяют друг друга.

* * *

Итак, мы теперь знаем, что такое деление нацело и деление с остатком. Это самые простые разновидности деления. Однако в математике они играют далеко не самую главную роль. Но прежде чем познакомиться с самым распространенным, самым важным типом деления, мы должны еще усвоить кое-какие математические идеи. Эти идеи с непривычки могут показаться довольно сложными. Мы, конечно, постараемся рассказать о них как можно проще и понятнее. Поэтому первое время мы будем иллюстрировать их главным образом примерами на сложение и вычитание. Это не значит, что про умножение и деление можно полностью забыть и бросить в них практиковаться. После некоторого перерыва мы снова начнем постоянно иметь дело с умножением и делением. Мы встретимся с ними тогда как со старыми, добрыми знакомыми и, уж во всяком случае, не будем тратить драгоценное время на тупое заучивание таблицы умножения.

Конспект

1. Сколько конфет куплено, если одна конфета стоит $5$ копеек, а за всю покупку уплачено $15$ копеек? Чтобы решить эту задачу, мы должны посчитать, сколько раз из числа $15$ надо вычесть число $5$, чтобы получить ноль, или, как еще говорят, поделить $15$ на $5$. Коротко это решение записывается в виде ${15 / 5 = 3}$. Такая операция с числами $15$ и $5$ называется делением нацело.

2. При делении нацело «круглых» чисел (т.е. чисел, оканчивающихся на ноль) можно у каждого из них зачеркнуть справа по одинаковому количеству нулей.

3. Ноль, поделенный на любое число, кроме нуля, равен нулю. На сам же ноль делить нельзя.

4. Сколько бы раз мы ни вычитали число $5$ из числа $17$, ноль мы не получим. Говорят, что $17$ не делится нацело на $5$. Для этих чисел, однако, определено деление с остатком. Так называется решение задачи: Сколько конфет стоимостью $5$ копеек можно купить на $17$ копеек и сколько денег останется? Краткая запись решения: ${17 : 5 = 3 ~(\text{ост. } 2)}$, или же ${17 = 5 \cdot 3 + 2}$. Когда мы делим с остатком круглые числа, нули зачеркивать нельзя.

5. Сколько стоит одна конфета, если за $3$ конфеты заплатили $15$ копеек? Чтобы решить это задачу, надо $15$ копеек поделить на три равные части, например, между тремя детьми. На первом круге даем каждому ребенку по копейке, при этом у нас становится на $3$ копейки меньше. На втором круге снова даем каждому по копейке. И так далее, пока у нас деньги не кончатся. В результате каждый получает столько копеек, сколько всего кругов. Задача свелась к делению нацело: $15/3 = 5$.

6. Умножение и деление на одно и то же число взаимно отменяют друг друга.

Задачи (в дополнение к примерам на деление)

1.6.4. Заполнить пропуски подходящими числами:

$7 \cdot \underline{\phantom{\ldots}} = 21$

$\underline{\phantom{\ldots}} \cdot 8 = 32$

$\underline{\phantom{\ldots}} \,/ 6 = 5$

$18 / \underline{\phantom{\ldots}} = 2$

$\underline{\phantom{\ldots}} : 5 = 4 ~(\text{ост. } 3)$

$20 : \underline{\phantom{\ldots}} = 3 ~(\text{ост. } 2)$

и т. п.

Примеры из «динамических» прописей

Таблица умножения с «уравнениями»

Умножение и деление нацело в пределах таблицы умножения

То же с «уравнениями»

Все четыре арифметические действия в пределах 100

То же с «уравнениями»

Деление с остатком в пределах 100

То же с «уравнениями»

Умножение и деление с остатком в пределах 100

То же с «уравнениями»

Все четыре арифметические действия в пределах 100 (разность может быть отрицательной, деление с остатком)

То же с «уравнениями»

Деление нацело в пределах таблицы 24×24

То же с «уравнениями»

Умножение и деление нацело в пределах таблицы 24×24

То же с «уравнениями»

Сложение и вычитание до 1000 (с возможным «приписыванием нулей»), умножение и деление в пределах 24×24

То же с «уравнениями»

Сложение и вычитание до 1000 (с возможным «приписыванием нулей», разность может быть отрицательной), умножение и деление в пределах 24×24

То же с «уравнениями»