4.3. Угол между направлениями. Параллельные прямые

Для того чтобы мы могли определить угол между двумя лучами, лежащими на одной плоскости, они вовсе необязательно должны иметь общее начало. В самом деле, каждый луч, независимо от того, где он начинается, задает какое-то направление, а различие между двумя направлениями характеризуется не чем иным, как углом — точнее говоря, угловым расстоянием или, с учетом знака, угловым смещением.

Рассмотрим лучи $OA$ и $OB$ с общим началом в точке $O$. Обозначим угол между ними через $\gamma$. Давайте, однако, договоримся, что здесь и далее в этих рассуждениях под «углом» мы будем понимать не угловое расстояние, а угловое смещение, которое может быть положительным или отрицательным.  Об этом на рисунках нам будет напоминать стрелка у дуги, обозначающей угол:

Пусть на луче $OA$ между $O$ и $A$ задана произвольная точка $A_0$, а на луче $OB$ между $O$ и $B$ — произвольная точка $B_0$. Очевидно, что угол между лучами $A_0A$ и $B_0B$ тоже равен $\gamma$, хотя на этот раз лучи исходят не из одной точки.

Этот угол мы могли бы найти и другим способом. Проведем через точки $B_0$ и $A_0$ еще один («вспомогательный») луч $B_0A_0$ и измерим углы, обозначенные на рисунке через $\alpha$ и $\beta$:

Присмотримся повнимательнее:

$\alpha$ — это угол между лучами $B_0A_0$ и $A_0A$,

$\gamma$ — это угол между лучами $A_0A$ и $B_0B$,

$\beta$ — это угол между лучами $B_0A_0$ и $B_0B$,

значит, угол $\beta$ — это просто сумма углов $\alpha$ и $\gamma$:

$\beta = \alpha + \gamma$.

Отсюда, зная углы $\alpha$ и $\beta$, мы можем вычислить искомый угол $\gamma$ как их разность:

$\gamma = \beta − \alpha$.

Пусть теперь на плоскости нам даны два произвольных луча $A_0A$ и $B_0B$. Опираясь на предыдущие рассуждения, мы всегда можем найти угол $\gamma$ между ними одним из следующих двух способов.

Первый способ. Восстановить исходные лучи до полных прямых, найти точку их пересечения и непосредственно измерить угол $\gamma$ между лучами, исходящими из этой точки:

Второй способ. Провести «вспомогательный» луч $B_0A_0$ через точки $B_0$ и $A_0$, измерить образовавшиеся углы $\alpha$ и $\beta$ и вычислить угол $\gamma$ по формуле $\gamma = \beta - \alpha$.

Необходимо отметить, что второй способ работает всегда, а с первым способом могут возникнуть проблемы. Это случается, в частности, тогда, когда углы $\alpha$ и $\beta$ в точности равны друг другу:

В этом случае угол $\gamma$, вычисляемый по формуле $\gamma = \beta - \alpha$, обращается в нуль. А это означает, что прямые, восстановленные из лучей $A_0A$ и $B_0B$, нигде не пересекаются.

 

Действительно, если бы они пересекались, то угол между ними можно было бы измерить в точке пересечения непосредственно, но тогда он оказался бы отличен от нуля.

Про лучи, угол между которыми равно нулю, говорят, что они сонаправлены или параллельны. Возможен другой особый случай, когда угол $\gamma$, рассчитанный по формуле $\gamma = \beta - \alpha$, оказывается равен $180^\circ$ или $-180^\circ$:

Такие лучи называются противонаправленными или антипараллельными.

Если сонаправленные или противонаправленные лучи восстановить до прямых, то такие прямые называются параллельными. Важнейшее свойство параллельных прямых заключается в том, что они нигде не пересекаются.

Построение параллельных прямых

Пусть на листе бумаги начерчена некоторая прямая $n$ и мы хотим провести другую прямую, параллельную первой. Делается это так. Совместим с прямой $n$ одну из сторон чертежного треугольника. К другой стороне треугольника приставим линейку. Прочно держим линейку одной рукой и передвигаем треугольник другой рукой, скользя им вдоль линейки. После этого проводим линию по той стороне треугольника, которую первоначально мы приставляли к исходной прямой $n$. Новая линия образует тот же угол с линейкой, что и прямая $n$, а значит, обе линии параллельны друг другу.

Если мы хотим, чтобы новая прямая прошла через какую-то определенную точку, то мы всегда это может сделать, остановив скольжение угольника вдоль линейки в подходящем месте.

Конспект

1. Угол (точнее, угловое смещение) определен для любых двух лучей, лежащих на одной плоскости. Этот угол можно найти одним из следующих двух способов.

Первый способ. Восстановить лучи до полных прямых и измерить соответствующий угол непосредственно в точке пересечения прямых. Если окажется, что прямые не пересекаются, то этот способ не работает.

Второй способ. Провести третий луч, пересекающий первые два, и измерить углы, образовавшиеся в точках пересечения. Искомый угол равен разности этих новых углов. Данный способ работает всегда.

2. Лучи, угол между которыми равен нулю, называются сонаправленными или параллельными. Лучи, угол между которыми равен $180^\circ$ или $-180^\circ$ называются противонаправленными или антипараллельными.

3. Прямые называются параллельными, если на них лежат лучи, которые сонаправлены или противонаправлены.

4. Для построения параллельных прямых используют линейку и угольник. Приставляем одну сторону треугольника к линейке и проводим линию по какой-либо другой его стороне. Сдвигаем треугольник вдоль неподвижной линейки и проводим еще одну линию по той же стороне. Эти линии параллельны, поскольку образуют одинаковый угол с линейкой.

Задачи

4.3.1. Дан луч $A_0A$ и произвольная точка $B_0$. С помощью линейки, угольника и транспортира построить луч $B_0B$ с началом в точке $B_0$, так чтобы угловое смещение, отсчитанное от направления луча $A_0A$ до направления луча $B_0B$, составляло определенный угол $\gamma$.

Эта задача решается в два этапа. Вначале мы с помощью транспортира и линейки поворачиваем луч $A_0A$ на угол $\gamma$, а потом с помощью угольника и линейки переносим его из нового положения параллельно в точку $B_0$. При этом важно помнить, что поворот нужно делать против часовой стрелки, если угол $\gamma$ положителен, и по часовой стрелке, если угол $\gamma$ отрицателен.

______

4.3.2. Дан луч $A_0A$ и произвольная точка $B_0$. С помощью линейки, угольника и транспортира построить еще один луч $B_0B$ с началом в точке $B_0$, так чтобы эти два луча образовывали между собой угол $\gamma$.

Эта задача решается аналогично предыдущей, но на этот раз речь идет об угловом расстоянии между лучами, а не об угловом смещении. Поэтому угол $\gamma$ может быть отложен в обе сторона, как против, так и по часовой стрелки. Это значит, что задача имеет, вообще говоря, два решения.

______

4.3.3. При каком значении угла $\gamma$ решение предыдущей задачи определено однозначно?

Ответ. $\gamma = 0^\circ$ и $\gamma = 180^\circ$, а также все углы, отличающиеся от указанных на полное число оборотов.