4.2. Вращение и угол. Угловое расстояние и угловое смещение

Вращение

Пусть нам дана плоскость, а на ней — прямая, а на прямой — точка $O$. Отбросим ту часть прямой, которая расположена по какую-либо одну сторону от этой точки. Оставшаяся часть называется лучом с началом в точке $O$. Если нам к тому же дано, что луч проходит через точку $A$, то он обозначается как «луч $OA$» или, более кратко, $[OA)$.

Представим себе, что луч $OA$ вращается вокруг своего начала, точки $O$, наподобие стрелки часов, оставаясь всё время в заданной плоскости. Вращение — это особый тип движения, при котором смещение определяется не расстоянием, а углом. Такое угловое смещение естественнее всего измерять числом оборотов. Например, минутная стрелка часов делает за сутки $24$ оборота. Впрочем, правильнее было бы сказать не «$24$ оборота», а «$-24$ оборота», потому что в математике за положительное принято направление вращения против часовой стрелки.

Нельзя не заметить, что, сделав $-24$ оборота, стелка оказывается в точности в том же самом положении, в котором она находилась в самом начале. Спрашивается: можно ли на этом основании утверждать, что

$-24$ оборота = $0$ оборотов?

Ответ зависит от того, какие задачи перед нами стоят. Если мы решаем задачу на движение и нас интересует, например, скорость вращения стрелки, то в этом случае ставить здесь знак равенства, конечно, неправильно. Но если мы рассматриваем только неподвижные картинки и история вопроса никакой роли не играет, тогда почему бы и нет? Впрочем, обычно так уж явно не пишут:

$0$ оборотов ${= 1}$ оборот ${= -1}$ оборот ${= 2}$ оборота ${=-2}$ оборота ${=~...}$

или

$^1\!/\!_4$ оборота ${= -^3\!/\!_4}$ оборота ${= 1^1\!/\!_4}$ оборота ${=-1^3\!/\!_4}$ оборота ${=~...}$,

но это как бы подразумевается. Обычно стараются как можно меньше иметь дело с подобными «чудны́ми» равенствами, и поэтому угловое смещение задают таким образом, чтобы его величина $\alpha$ находилась в следующих пределах:

$-^1\!/\!_2$ оборота $< \alpha \leqslant~^1\!/\!_2$ оборота.

Однако совсем уж избежать «чудны́х» равенств нам не удастся, как это ясно видно, например, из следующего примера на сложение:

$-^1\!/\!_2$ оборотa ${+~^1\!/\!_4}$ оборота ${=~^3\!/\!_4}$ оборота ${= -^1\!/\!_4}$ оборота.

Угол

Пусть даны два луча $OA$ и $OB$ с общим началом в точке $O$. Такая геометрическая конструкция называется углом (в самом первоначальном смысле этого слова). Для нее применяется обозначение ${\angle AOB}$. Лучи $OA$ и $OB$ называются сторонами угла, а точка $O$ — его вершиной.

Ясно, что одну сторону угла можно перевести в другую посредством вращения вокруг вершины. Поэтому мы можем говорить об угловом расстоянии между сторонами. Оно равно угловому смещению, необходимому для перевода одной стороны в другую, взятому по абсолютной величине. (При этом не важно, переводим ли мы луч $OA$ в луч $OB$ или, наоборот, луч $OB$ в луч $OA$, поскольку в обоих случаях абсолютная величина углового смещения одинакова). Вместо слов «угловое расстояние» говорят также «величина угла» или, для краткости, просто «угол». Для обозначения величин углов используют, как правило, строчные греческие буквы: $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и т.д. Углы, отличающиеся на целое число оборотов, фактически совпадают. Обычно величину угла $\alpha$ выбирают так, чтобы она не превосходила пол-оборота:

$0$ оборотов ${\leqslant \alpha \leqslant~^1\!/\!_2}$ оборота,

но это ограничение не является строго обязательным.

Помимо оборотов, в качестве единицы измерения углов часто используется градус, обозначаемый значком «$^\circ$»:

$1$ оборот = $360^\circ$,

$1^\circ =~^1\!/\!_{360}$ оборота.

Угол в пол-оборота ($180^\circ$) называется развернутым.

Угол величиной четверть оборота ($90^\circ$) называется прямым.

Углы меньше прямого называются острыми.

Углы больше прямого, но меньше развернутого называются тупыми.

В школе на уроках математики углы измеряются с помощью транспортира, который обеспечивает точность около одного градуса. Таким образом, все возможные результаты измерений представлены в следующем конечном ряду:

$0^\circ\!, 1^\circ\!, 2^\circ\!, ..., 180^\circ$.

В нашем воображении, однако, мы всегда можем представить себе углы, которые выражаются произвольными действительными числами.

Пересечение прямых

При пересечении двух прямых образуется четыре угла, как показано на рисунке:

В этой конструкции два соседних угла, у которых одна сторона общая, называются смежными. Их сумма, очевидно, равна пол-оборота ($180^\circ$). Так, в обозначениях, указанных на рисунке:

$\,\alpha\,$$\:+\:$$\,\beta\,$$\:= 180^\circ$,

$\,\beta\,$$\:+\:$$\,\gamma\,$$\:= 180^\circ$,

$\,\gamma\,$$\:+\:$$\,\delta\,$$\:= 180^\circ$,

$\,\delta\,$$\:+\:$$\,\alpha\,$$\:= 180^\circ$.

Два противоположных угла, не имеющих общих сторон, называются вертикальными. Вертикальные углы равны по величине между собой, потому что они переходят друг в друга при вращении на пол-оборота вокруг точки пересечения прямых:

$\,\alpha\,$$\:=\:$$\,\gamma\,$

$\,\beta\,$$\:=\:$$\,\delta\,$

Хотя определение угла было дано для лучей, очень часто приходится слышать такое выражение, как «угол между прямыми». В качестве углового расстояния между двумя прямыми можно с одинаковым успехом взять любой из четырех углов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$, образующихся при их пересечении. Знание одного из них позволяет моментально вычислить все остальные. Фактически, выбор приходится делать только между двумя смежными углами $\alpha$ и $\beta$, поскольку ${\gamma = \alpha}$ и $\delta = \beta$. Обычно выбирают тот из них, который меньше, но это необязательно.

Отметим, что если хотя бы один из четырех углов является прямым, то это означает, что и все остальные углы тоже прямые:

$\alpha = \beta = \gamma = \delta =~^1\!/\!_2$ оборота $= 90^\circ$.

Прямые, пересекающиеся под углом $90^\circ$, называются перпендикулярными.

Замечание. К сожалению, в геометрии прилагательное «прямой» употребляется в двух совершенно разных, не связанных друг с другом смыслах. Прямыми могут быть углы и прямыми могут быть линии. Будем внимательны, чтобы не запутаться.

Конспект

1. Луч ($[OA)$) с началом в точке $O$: «половинка прямой», то есть усеченная прямая $(OA)$, в которой сохранена только точка $O$ и точки, расположенные от $O$ с той же стороны, что и точка $A$.

2. Вращение луча [OA) вокруг своего начала $O$ характеризуется угловым смещением, которое измеряется в оборотах. Направление вращения против часовой стрелки принято за положительное. Угловые смещения, отличающиеся на целое число оборотов, фактически совпадают.

3. Угол (${\angle AOB}$): два луча [OA) и [OB) с общим началом O. Лучи [OA) и [OB) называются сторонами угла.

4. Величина угла (или же угловое расстояние между сторонами): угловое смещение, необходимое для перевода одной стороны в другую, взятое по абсолютной величине. Вместо слов «величина угла» или «угловое расстояние» часто говорят просто «угол». Величина угла определена неоднозначно (так как добавление целого числа оборотов фактически ничего не меняет), но обычно ее выбирают так, чтобы она не превосходила пол-оборота.

5. Градус ($^\circ$): еще одна единица измерения углов, равная $^1\!/\!_{360}$ оборота.

6. Развернутый угол ${=~^1\!/\!_2}$ оборота ${= 180^\circ}$.

Прямой угол ${=~^1\!/\!_4}$ оборота ${= 90^\circ}$.

$0 <$ острый угол $<$ прямой угол.

Прямой угол < тупой угол < развернутый угол.

7. При пересечении двух прямых образуется четыре угла с общей вершиной. Соседние углы, у которых одна сторона общая, называются смежными. Их сумма равна ${180^\circ}$. Противоположные углы, не имеющие общих сторон, называются вертикальными. Противоположные углы равны между собой.

8. Угол между двумя прямыми: величина любого из четырех углов (обычно наименьшего), образующихся при пересечении этих прямых. Если один из углов прямой, то и все остальные тоже прямые. Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.