Образовательный проект Леонида Некина

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

4.2. Вращение и угол. Угловое расстояние и угловое смещение

Вращение

Пусть нам дана плоскость, а на ней — прямая, а на прямой — точка O. Отбросим ту часть прямой, которая расположена по какую-либо одну сторону от этой точки. Оставшаяся часть называется лучом с началом в точке O. Если нам к тому же дано, что луч проходит через точку A, то он обозначается как «луч OA» или, более кратко, [OA).

Представим себе, что луч OA вращается вокруг своего начала, точки O, наподобие стрелки часов, оставаясь всё время в заданной плоскости. Вращение — это особый тип движения, при котором смещение определяется не расстоянием, а углом. Такое угловое смещение естественнее всего измерять числом оборотов. Например, минутная стрелка часов делает за сутки 24 оборота. Впрочем, правильнее было бы сказать не «24 оборота», а «−24 оборота», потому что в математике за положительное принято направление вращения против часовой стрелки.

Нельзя не заметить, что, сделав −24 оборота, стелка оказывается в точности в том же самом положении, в котором она находилась в самом начале. Спрашивается: можно ли на этом основании утверждать, что

−24 оборота = 0 оборотов?

Ответ зависит от того, какие задачи перед нами стоят. Если мы решаем задачу на движение и нас интересует, например, скорость вращения стрелки, то в этом случае ставить здесь знак равенства, конечно, неправильно. Но если мы рассматриваем только неподвижные картинки и история вопроса никакой роли не играет, тогда почему бы и нет? Впрочем, обычно так уж явно не пишут:

0 оборотов = 1 оборот = −1 оборот = 2 оборота = −2 оборота = ...

или

1/4 оборота = −3/4 оборота = 11/4 оборота = −13/4 оборота = ...,

но это как бы подразумевается. Обычно стараются как можно меньше иметь дело с подобными «чудны́ми» равенствами, и поэтому угловое смещение задают таким образом, чтобы его величина α находилась в следующих пределах:

1/2 оборота < α ≤ 1/2 оборота.

Однако совсем уж избежать «чудны́х» равенств нам не удастся, как это ясно видно, например, из следующего примера на сложение:

1/2 оборота + 1/4 оборота = 3/4 оборота = −1/4 оборота.

Угол

Пусть даны два луча OA и OB с общим началом в точке O. Такая геометрическая конструкция, собственно, и называется углом в самом первоначальном смысле этого слова. Для нее применяется обозначение ∠AOB. Лучи OA и OB называются сторонами угла, а точка O — его вершиной.

Ясно, что одну сторону угла можно перевести в другую посредством вращения вокруг вершины. Поэтому мы можем говорить об угловом расстоянии между сторонами. Оно равно угловому смещению, необходимому для перевода одной стороны в другую, взятому по абсолютной величине. (При этом не важно, переводим ли мы луч OA в луч OB или, наоборот, луч OB в луч OA, поскольку в обоих случаях абсолютная величина углового смещения одинакова). Вместо слов «угловое расстояние» говорят также «величина угла» или, для краткости, просто «угол». Для обозначения величин углов используют, как правило, строчные греческие буквы: α, β, γ и т.д. Обычно предполагается, что произвольный угол α не превосходит пол-оборота:

0 оборотов ≤ α1/2 оборота,

но это ограничение не является строго обязательным.

Помимо оборотов, в качестве единицы измерения углов часто используется градус, обозначаемый значком «°»:

1 оборот = 360°,

1° = 1/360 оборота.

Угол в пол-оборота (180°) называется развернутым.

Угол величиной четверть оборота (90°) называется прямым.

Углы меньше прямого называются острыми.

Углы больше прямого, но меньше развернутого называются тупыми.

В школе на уроках математики углы измеряются с помощью транспортира, который обеспечивает точность около одного градуса. Таким образом, все возможные результаты измерений представлены в следующем конечном ряду:

0°, 1°, 2°, ..., 180°.

В нашем воображении, однако, мы всегда можем представить себе углы, которые выражаются произвольными действительными числами.

Пересечение прямых

При пересечении двух прямых образуется четыре угла, как показано на рисунке:

В этой конструкции два соседних угла, у которых одна сторона общая, называются смежными. Их сумма, очевидно, равна пол-оборота (180°). Так, в обозначениях, указанных на рисунке:

α + β = 180°,

β + γ = 180°,

γ + δ = 180°,

δ + α = 180°.

Два противоположных угла, не имеющих общих сторон, называются вертикальными. Вертикальные углы равны по величине между собой, потому что они переходят друг в друга при вращении на пол-оборота вокруг точки пересечения прямых:

α = γ,

β = δ.

Хотя определение угла было дано для лучей, очень часто приходится слышать такое выражение, как «угол между прямыми». В качестве углового расстояния между двумя прямыми можно с одинаковым успехом взять любой из четырех углов α, β, γ и δ, образующихся при их пересечении. Знание одного из них позволяет моментально вычислить все остальные. Фактически, выбор приходится делать только между двумя смежными углами α и β, поскольку γ = α и δ = β. Обычно выбирают тот из них, который меньше, но это необязательно.

Отметим, что если хотя бы один из четырех углов является прямым, то это означает, что и все остальные углы тоже прямые:

α = β = γ = δ = 1/4 оборота = 90°.

Прямые, пересекающиеся под углом 90°, называются перпендикулярными.

Примечание. К сожалению, в геометрии прилагательное «прямой» употребляется в двух совершенно разных, не связанных друг с другом смыслах. Прямыми могут быть углы и прямыми могут быть линии. Будем внимательны, чтобы не запутаться.