4.2. Вращение и угол. Угловое расстояние и угловое смещение

Вращение

Пусть нам дана плоскость, а на ней — прямая, а на прямой — точка $O$. Отбросим ту часть прямой, которая расположена по какую-либо одну сторону от этой точки. Оставшаяся часть называется лучом с началом в точке $O$. Если нам к тому же дано, что луч проходит через точку $A$, то он обозначается как «луч $OA$» или, более кратко, $[OA)$.

Представим себе, что луч $OA$ вращается вокруг своего начала, точки $O$, наподобие стрелки часов, оставаясь всё время в заданной плоскости. Вращение — это особый тип движения, при котором смещение определяется не расстоянием, а углом. Такое угловое смещение естественнее всего измерять числом оборотов. Например, минутная стрелка часов делает за сутки $24$ оборота. Впрочем, правильнее было бы сказать не «$24$ оборота», а «$-24$ оборота», потому что в математике за положительное принято направление вращения против часовой стрелки.

Нельзя не заметить, что, сделав $-24$ оборота, стрелка оказывается в точности в том же самом положении, в котором она находилась в самом начале. Спрашивается: можно ли на этом основании утверждать, что

$-24$ оборота = $0$ оборотов?

Ответ зависит от того, какие задачи перед нами стоят. Если мы решаем задачу на движение и нас интересует, например, скорость вращения стрелки, то в этом случае ставить здесь знак равенства, конечно, неправильно. Но если мы рассматриваем только неподвижные картинки и история вопроса никакой роли не играет, тогда почему бы и нет? Впрочем, обычно так уж явно не пишут:

$0$ оборотов ${= 1}$ оборот ${= -1}$ оборот ${= 2}$ оборота ${=-2}$ оборота ${=~...}$

или

$^1\!/\!_4$ оборота ${= -^3\!/\!_4}$ оборота ${= 1^1\!/\!_4}$ оборота ${=-1^3\!/\!_4}$ оборота ${=~...}$,

но это как бы подразумевается. Обычно стараются как можно меньше иметь дело с подобными «чудны́ми» равенствами, и поэтому угловое смещение задают таким образом, чтобы его величина $\alpha$ находилась в следующих пределах:

$-^1\!/\!_2$ оборота $< \alpha \leqslant~^1\!/\!_2$ оборота.

Однако совсем уж избежать «чудны́х» равенств нам не удастся, как это ясно видно, например, из следующего примера на сложение:

$-^1\!/\!_2$ оборотa ${+~^1\!/\!_4}$ оборота ${=~^3\!/\!_4}$ оборота ${= -^1\!/\!_4}$ оборота.

Само собой разумеется, что обороты можно складывать и вычитать между собой, при условии что они совершаются одним и тем же лучом при вращении вокруг одной и той же точки.

Угол

Пусть даны два неподвижных луча $OA$ и $OB$ с общим началом в точке $O$. Такая геометрическая конструкция называется углом (в самом первоначальном смысле этого слова). Для нее применяется обозначение ${\angle AOB}$. Лучи $OA$ и $OB$ называются сторонами угла, а точка $O$ — его вершиной.

Ясно, что одну сторону угла можно перевести в другую посредством вращения вокруг вершины. Поэтому мы можем говорить об угловом расстоянии между сторонами. Оно равно угловому смещению, необходимому для перевода одной стороны в другую, взятому по абсолютной величине. (При этом не важно, переводим ли мы луч $OA$ в луч $OB$ или, наоборот, луч $OB$ в луч $OA$, поскольку в обоих случаях абсолютная величина углового смещения одинакова). Вместо слов «угловое расстояние» говорят также «величина угла» или, для краткости, просто «угол». Для обозначения величин углов используют, как правило, строчные греческие буквы: $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и т.д.

Величина угла определена неоднозначно, поскольку его стороны можно перевести друг в друга, делая разное число оборотов и в разные стороны. Пусть, например, угол равен $1^1\!/\!_8$ оборота. Отбрасывая целую часть, получаем фактически тот же угол, равный на этот раз $^1\!/\!_8$ оборота. На рисунке выше это соответствует переводу луча $OA$ в луч $OB$ против часовой стрелки. Но мы можем перевести луч $OA$ в луч $OB$ и по часовой стрелки. И тогда величина угла равна $1 - {^1\!/\!_8} = {^7\!/\!_8}$ оборотов. Обычно величину угла $\alpha$ выбирают так, чтобы она не превосходила пол-оборота:

$0$ оборотов ${\leqslant \alpha \leqslant~^1\!/\!_2}$ оборота,

но это ограничение не является строго обязательным.

Вместо греческих букв иногда используют более громоздкое обозначение, а именно величина угла $AOB$ обозначается как $\widehat{AOB}$. Так на рисунке, приведенном выше, $\alpha = \widehat{AOB}$. Однако обозначение $\widehat{AOB}$ часто представляет собой трудность для типографского набора, поэтому вместо $\widehat{AOB}$ допустимо писать $\angle{AOB}$, то есть допустимо использовать одно и то же обозначение как для самого угла (геометрической конструкции), так и его величины (углового расстояния между сторонами).

Помимо оборотов, в качестве единицы измерения углов часто используется градус, обозначаемый значком «$^\circ$»:

$1$ оборот = $360^\circ$,

$1^\circ =~^1\!/\!_{360}$ оборота.

Угол в пол-оборота ($180^\circ$) называется развернутым.

Угол величиной четверть оборота ($90^\circ$) называется прямым.

Углы меньше прямого называются острыми.

Углы больше прямого, но меньше развернутого называются тупыми.

В школе на уроках математики углы измеряются с помощью транспортира, который обеспечивает точность около одного градуса. Таким образом, все возможные результаты измерений представлены в следующем конечном ряду:

$0^\circ\!, 1^\circ\!, 2^\circ\!, ..., 180^\circ$.

В нашем воображении, однако, мы всегда можем представить себе углы, которые выражаются произвольными действительными числами.

Пересечение прямых

При пересечении двух прямых образуется четыре угла, как показано на рисунке:

В этой конструкции два соседних угла, у которых одна сторона общая, называются смежными. Их сумма, очевидно, равна пол-оборота ($180^\circ$). Так, в обозначениях, указанных на рисунке:

$\,\alpha\,$$\:+\:$$\,\beta\,$$\:= 180^\circ$,

$\,\beta\,$$\:+\:$$\,\gamma\,$$\:= 180^\circ$,

$\,\gamma\,$$\:+\:$$\,\delta\,$$\:= 180^\circ$,

$\,\delta\,$$\:+\:$$\,\alpha\,$$\:= 180^\circ$.

Два противоположных угла, не имеющих общих сторон, называются вертикальными. Вертикальные углы равны по величине между собой, потому что они переходят друг в друга при вращении на пол-оборота вокруг точки пересечения прямых:

$\,\alpha\,$$\:=\:$$\,\gamma\,$

$\,\beta\,$$\:=\:$$\,\delta\,$

Хотя определение угла было дано для лучей, очень часто приходится слышать такое выражение, как «угол между прямыми». В качестве углового расстояния между двумя прямыми можно с одинаковым успехом взять любой из четырех углов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$, образующихся при их пересечении. Знание одного из них позволяет моментально вычислить все остальные. Фактически, выбор приходится делать только между двумя смежными углами $\alpha$ и $\beta$, поскольку ${\gamma = \alpha}$ и $\delta = \beta$. Обычно выбирают тот из них, который меньше, но это необязательно.

Отметим, что если хотя бы один из четырех углов является прямым, то это означает, что и все остальные углы тоже прямые:

$\alpha = \beta = \gamma = \delta =~^1\!/\!_2$ оборота $= 90^\circ$.

Прямые, пересекающиеся под углом $90^\circ$, называются перпендикулярными.

Замечание. К сожалению, в геометрии прилагательное «прямой» употребляется в двух совершенно разных, не связанных друг с другом смыслах. Прямыми могут быть углы и прямыми могут быть линии. Будем внимательны, чтобы не запутаться.

Конспект

1. Луч ($[OA)$) с началом в точке $O$: «половинка прямой», то есть усеченная прямая $(OA)$, в которой сохранена только точка $O$ и точки, расположенные от $O$ с той же стороны, что и точка $A$.

2. Вращение луча [OA) вокруг своего начала $O$ характеризуется угловым смещением, которое измеряется в оборотах. Направление вращения против часовой стрелки принято за положительное. Угловые смещения, отличающиеся на целое число оборотов, фактически совпадают.

3. Угол (${\angle AOB}$): два луча [OA) и [OB) с общим началом O. Лучи [OA) и [OB) называются сторонами угла.

4. Величина угла (или же угловое расстояние между сторонами): угловое смещение, необходимое для перевода одной стороны в другую, взятое по абсолютной величине. Вместо слов «величина угла» или «угловое расстояние» часто говорят просто «угол». Величина угла определена неоднозначно, но обычно ее выбирают так, чтобы она не превосходила пол-оборота.

5. Градус ($^\circ$): еще одна единица измерения углов, равная $^1\!/\!_{360}$ оборота.

6. Развернутый угол ${=~^1\!/\!_2}$ оборота ${= 180^\circ}$.

Прямой угол ${=~^1\!/\!_4}$ оборота ${= 90^\circ}$.

$0 <$ острый угол $<$ прямой угол.

Прямой угол < тупой угол < развернутый угол.

7. При пересечении двух прямых образуется четыре угла с общей вершиной. Соседние углы, у которых одна сторона общая, называются смежными. Их сумма равна ${180^\circ}$. Противоположные углы, не имеющие общих сторон, называются вертикальными. Противоположные углы равны между собой.

8. Угол между двумя прямыми: величина любого из четырех углов (обычно наименьшего), образующихся при пересечении этих прямых. Если один из углов прямой, то и все остальные тоже прямые. Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

Задачи

4.2.1. Часовая стрелка за время $t$ передвинулась на угол $30^\circ$. На какой угол она передвинулась за время $t/2$? За время $t/3$?

Ответ. За время $t/2$ часовая стрелка передвинулась на угол $15^\circ$, за время $t/3$ — на угол $10^\circ$.

______

4.2.2. Наблюдатель, взглянув на часы в первый раз, заметил положение часовой стрелки. В тот же день через время $t$ он взглянул на часы во второй раз и установил, что часовая стрелка сместилась на угол $30^\circ$. Каково было смещение стрелки через время $t/2$? Через время $t/3$?

При всей схожести этой задачи с предыдущей здесь имеется существенной отличие. Когда речь идет о круговом движении, мы не можем однозначно вычислить пройденный угловой путь по «мгновенным снимкам» начального и конечного положения. Мы не в состоянии сделать выбор между двумя путями, которые отличаются друг от друга на полное число оборотов. В данном случае часовая стрелка могла за время $t$ пройти $30^\circ$. Но с тем же успехом она могла проделать путь в один оборот плюс $30^\circ$, то есть ${360^\circ + 30^\circ = 390^\circ}$. Все другие варианты, впрочем, мы можем отбросить, поскольку нам дано, что промежуток времени $t$ укладывается в один день, а значит часовая стрела проделала заведомо меньше двух оборотов.

Ответ. Два решения: (1) За время $t/2$ часовая стрелка передвинулась на угол $15^\circ$, за время $t/3$ — на угол $10^\circ$; (2) За время $t/2$ часовая стрелка передвинулась на угол $195^\circ$, за время $t/3$ — на угол $130^\circ$.

______

4.2.3. За один месяц (примерно $30$ дней) луна делает на один оборот меньше вокруг земли, чем солнце (во всяком случае что касается их видимого вращения). На сколько примерно времени восход луны каждый день запаздывает по сравнению с предыдущим днем?

Если за $30$ дней луна отстает от солнца на один оборот, то за один день она отстает на $1/30$ оборота. $1/30$ суток — это примерно $48$ минут.

Ответ. 48 минут.