Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

2.3. Отрицательные числа

Допустим, у Дениса очень много конфет — целая большая коробка. Сперва Денис съел 3 конфеты. Потом папа дал Денису 5 конфет. Потом Денис подарил Матвею 9 конфет. Наконец, мама дала Денису 6 конфет. Вопрос: Стало ли у Дениса в конечном итоге больше или меньше конфет, чем было вначале? Если больше, то насколько больше? Если меньше, то насколько меньше?

Для того чтобы не запутаться с этой задачей, удобно применить один трюк. Давайте выпишем подряд все числа из условия. При этом мы будем ставить знак «+» перед числами, которые обозначают, насколько конфет у Дениса прибавилось, и знак «−» перед числами, которые обозначают, насколько конфет у Дениса убавилось. Тогда всё условие выпишется очень коротко:

− 3 + 5 − 9 + 6.

Эту запись можно прочитать, например, так: «Сперва Денис получил минус три конфеты. Потом плюс пять конфет. Потом минус девять конфет. И наконец плюс шесть конфет». Слово «минус» меняет смысл фразы на прямо противоположный. Когда я говорю: «Денис получил минус три конфеты», — это на самом деле означает, что у Дениса на три конфеты убыло. Слово «плюс», напротив, подтверждает смысл фразы. «Денис получил плюс пять конфет» означает то же самое, что и просто «Денис получил пять конфет».

Итак, сперва Денис получил минус три конфеты. Значит, у Дениса стало на минус три конфеты больше, чем было вначале. Для краткости можно сказать: у Дениса стало минус три конфеты.

Потом Денис получил плюс пять конфет. Легко сообразить, что у Дениса стало плюс две конфеты. Значит,

− 3 + 5 = + 2.

Потом Денис получил минус девять конфет. И вот сколько конфет у него стало:

− 3 + 5 − 9 = + 2 − 9 = − 7.

Наконец Денису досталось еще +6 конфет. И всего конфет стало:

− 3 + 5 − 9 + 6 = + 2 − 9 + 6 = − 7 + 6 = − 1.

На привычном языке это означает, что в конце концов у Дениса оказалось на одну конфету меньше, чем было вначале. Задача решена.

Трюк со знаками «+» или «−» применяется очень широко. Числа со знаком «+» называются положительными. Числа со знаком «−» называются отрицательными. Число 0 (ноль) не является ни положительным, ни отрицательным, потому что +0 ничем не отличается от −0. Таким образом, мы имеем дело с числами из ряда

..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...

Такие числа называются целыми числами. А те числа, у которых вообще нет никакого знака и с которыми мы имели дело до сих пор, называются натуральными числами (только ноль не относится к натуральным числам).

Целые числа можно представить себе как ступеньки лестницы. Число ноль — это лестничная площадка, находящаяся вровень с улицей. Отсюда можно ступенька за ступенькой подняться наверх, к более высоким этажам, а можно и спуститься вниз, в подвал. До тех пор, пока нам не нужно заходить в подвал, нам вполне достаточно одних только натуральных чисел и нуля. Натуральные числа — это, по сути дела, то же самое, что положительные целые числа.

 

 

7

 

6

+7

 

5

+6

 

 

4

+5

 

 

3

+4

 

 

2

+3

 

 

1

+2

 

 

0

+1

 

 

0

 

 

−1

 

 

−2

 

 

−3

 

 

−4

 

 

−5

 

 

−6

 

−7

 

 

Строго говоря, целое число — это не номер ступеньки, а команда на перемещение по лестнице. Например, число +3 говорит, что следует подняться на три ступеньки вверх, а число −5 означает, что надо спуститься на пять ступенек вниз. Просто за номер ступеньки принимают такую команду, которая перемещает нас на данную спупеньку, если мы начинаем движение с нулевого уровня.

Вычисления с целыми числами легко проделывать, просто мысленно прыгая вверх или вниз по ступенькам — если, конечно, не потребуется делать слишком большие прыжки. Но как быть, когда надо прыгнуть на сто или более ступенек? Ведь не будем же мы рисовать такую длиннющую лестницу!

А впрочем, почему бы и нет? Мы можем нарисовать длинную лестницу с такого большого расстояния, на котором отдельные ступеньки уже неразличимы. Тогда наша лестница превратиться просто в одну прямую линию. А чтобы ее удобнее было поместить на страницу, нарисуем ее без наклона и отдельно отметим положение ступеньки 0.

Поучимся вначале прыгать по такой прямой на примере выражений, значения которых мы уже давно умеем вычислять. Пусть требуется найти

42 + 53.

Строго говоря, раз уж мы имеем дело с целыми числами, то нам следовало бы написать

+42 + 53,

Но у положительного числа, стоящего в начале строки знак «+» обычно не ставят. Прыжки по лестнице выглядят приблизительно так:

Вместо двух больших прыжков нарисованных над прямой (+42 и +53), можно сделать один прыжок, нарисованный под прямой, причем длина этого прыжка, конечно, равна

42 + 53 = 95.

Такого рода рисуночки на математическом языке принято называть диаграммами. Вот как выглядит диаграмма для привычного нам примера на вычитание

95 − 53 = 42:

Вначале мы сделали большой прыжок вправо, потом прыжок поменьше влево. В результате мы так и остались справа от нуля. Но возможна и другая ситуация, как, например, в случае выражения

53 − 95:

На этот раз прыжок враво оказался короче прыжка влево: мы перелетели через ноль и оказались в «подвале» — там, где находятся ступеньки с отрицательными номерами. Вглядимся попристальнее в наш прыжок влево. Всего мы преодолели 95 ступенек. После того как мы преодолели 53 ступеньки, мы поравнялись с отметкой 0. Спрашивается сколько ступенек мы предолели после этого? Ну, конечно

95 − 53 = 42.

Таким образом, оказавшись на ступеньке 0, мы спустились вниз еще на 42 ступеньки, а значит, в конце концов мы пришли на ступеньку с номером −42. Итак,

53 − 95 = −(95 − 53) = −42.

Подобным же образом, рисуя диаграммы, легко установить что

−42 − 53 = −(42 + 53) = −95;

а также

−95 + 53 = −(95 − 53) = −42;

и, наконец,

−53 + 95 = 95 − 53 = 42.

Таким образом, мы научились свободно путешествовать по всей лестнице целых чисел.

Рассмотрим теперь такую задачу. Денис и Матвей обмениваются фантиками. Вначале Денис дал Матвею 3 фантика, а потом взял у него 5 фантиков. Сколько фантиков в итоге получил Матвей?

Для начала удобно рассчитать «прибыль» Дениса:

−3 + 5 = 2.

Но раз Денис получил 2 фантика, то Матвей получил −2 фантика. К прибыли Дениса мы приписали минус и получили прибыль Матвея. Наше решение можно записать в виде единственного выражения

−(−3 + 5) = −2.

Тут всё просто. Но давайте слегка видоизменим условие задачи. Пусть Денис дал сперва Матвею 5 фантиков, а потом взял у него 3 фантика. Спрашивается, опять-таки, сколько фантиков в итоге получил Матвей?

Снова вначале рассчитаем «прибыль» Дениса:

−5 + 3 = −2.

Значит, Матвей получил 2 фантика. Но как теперь наше решение записать в виде единственного выражения? Что бы такое приписать к отрицательному числу −2, чтобы получить положительное число 2? Оказывается, и на этот раз надо приписать знак минус. Математики очень любят единообразие. Они стремятся к тому, чтобы решение похожих задач записывались в виде похожих выражений. В данном случае решение выглядит так:

−(−5 + 3) = −(−2) = +2.

Так уж математики договорились: если к положительному числу приписать минус, то оно превращается в отрицательное, а если к отрицательному числу приписать минус, то оно превращается в положительное. Это очень логично. В конце концов, спуститься на минус две ступеньки вниз это то же самое, что подняться на плюс две ступеньки вверх. Итак,

−(+2) = −2;
−(−2) = +2.

Для полноты картины отметим еще, что

+(+2) = +2;
+(−2) = −2.

Это дает нам возможность по-новому взглянуть на давно привычные вещи. Пусть дано выражение

5 − 3.

Смысл этой записи можно представлять себе по-разному. Можно, по-старинке, считать, что из положительного числа +5 отнимается положительное число +3:

(+5) − (+3).

В этом случае +5 называется уменьшаемым, +3 — вычитаемым, а всё выражение — разностью. Именно так учат в школе. Однако слова «уменьшаемое» и «вычитаемое» нигде, кроме школы, не употребляются и их можно забыть после итоговой контрольной работы. Про эту же самую запись можно сказать, что к положительному числу +5 прибавляется отрицательное число −3:

(+5) + (−3).

Числа +5 и −3 называются слагаемыми, а всё выражение — суммой. В данной сумме только два слагаемых, но, вообще, сумма может состоять из скольких угодно слагаемых. Подобным же образом, выражение

5 + 3

можно с одинаковым правом рассматривать как сумму двух положительных чисел:

(+5) + (+3),

и как разность положительного и отрицательного чисел:

(+5) − (−3).

После того как мы познакомились с целыми числами, нам обязательно надо уточнить правила раскрытия скобок. Если перед скобками стоит знак «+», то такие скобки можно просто стереть, и все числа в них сохраняют свои знаки, например:

+(+2) = +2;
+(−2) = −2;
+(−3 + 5) = −3 + 5;
+(−3 − 5) = −3 + 5;
+(5 − 3) = 5 − 3
и так далее.

Если же перед скобками стоит знак «−», то стирая скобку, мы должны также поменять знаки у всех чисел, стоявших в ней:

−(+2) = −2;
−(−2) = +2;
−(−3 + 5) = +3 − 5 = 3 − 5;
−(−3 − 5) = +3 + 5 = 3 + 5;
−(5 − 3) = −(+5 − 3) = −5 + 3;
и так далее.

При этом полезно держать в голове задачу про обмен фантиками между Денисом и Матвеем. Например, последнюю строчку можно получить так. Считаем, что Денис вначале взял 5 фантиков у Матвея, а потом еще −3. Всего Денис получил 5 − 3 фантиков, а Матвей — то же самое число, но с противоположным знаком, то есть −(5 − 3) фантиков. Но ведь эту же задачу можно решить и другим способом, имея в виду, что всякий раз, когда Денис получает, Матвей отдает. Значит, вначале Матвей получил −5 фантиков, а потом еще +3, что в итоге дает −5 + 3.

Подобно натуральным числам, целые числа можно сравнивать между собой. Зададимся, например, вопросом: какое число больше: −3 или −1? Посмотрим на лестницу с целыми числами, и сразу станет ясно, что −1 больше, чем −3, и, значит, −3 меньше, чем −1:

−1 > −3;
−3 < −1.

А теперь давайте уточним: насколько −1 больше, чем −3? Иными словами, на сколько ступенек надо подняться, чтобы перейти со ступеньки −3 на ступеньку −1? Ответ на этот вопрос можно записать в виде разности чисел −1 и −3:

− 1 − (−3) = −1 + 3 = 3 − 1 = 2.

Прыгая по ступенькам, легко проверить, что это так. А вот еще один любопытный вопрос: насколько число 3 больше числа 5? Или, что то же самое: на сколько ступенек надо подняться вверх, чтобы перейти со ступеньки 5 на ступеньку 3? Еще недавно этот вопрос поставил бы нас в тупик. Но теперь мы легко можем выписать ответ:

3 − 5 = − 2.

Действительно, если мы находимся на ступеньке 5 и поднимемся вверх еще на −2 ступеньки, то окажемся как раз на ступеньке 3.

Задачи

2.3.1. Какой смысл имеют следующие фразы?

— Денис дал папе минус три конфеты.

— Матвей старше Дениса на минус два года.

— Чтобы попасть в нашу квартиру, надо спуститься на минус два этажа вниз.

И т.п.

2.3.2. Имеют ли смысл такие фразы?

— У Дениса минус три конфеты.

— На лугу пасется минус две коровы.

Замечание. Эта задача не имеет однозначного решения. Не будет, конечно, ошибкой утверждать, что данные высказывания бессмысленны. И в то же время им можно придать вполне ясный смысл. Допустим, у Дениса есть большая коробка, доверху наполненная конфетами, но содержимое этой коробки — не в счет. Или допустим, что две коровы из стада не вышли пастись на луг, а по какой-то причине остались в коровнике. Стоит иметь в виду, что и самые привычные фразы могут оказаться неоднозначными:

— У Дениса три конфеты.

Это высказывание не исключает, что у Дениса припрятана где-то еще огромная коробка с конфетами, но о тех конфетах просто умалчивается. Точно так же, когда я говорю: «У меня пять рублей», — я не имею в виду, что это и есть всё мое состояние.

2.3.3. Кузнечик прыгает по лестнице, начиная с этажа, где находится квартира Дениса. Сначала он прыгнул на 2 ступеньки вниз, потом на 5 ступенек вверх, и наконец на 7 ступенек вниз. На сколько ступенек и в каком направлении переместился кузнечик?

2.3.4. Найти значения выражений:

− 6 + 10;
− 28 + 76;
и т.п.

Образец:

− 6 + 10 = 10 − 6 = 4.

2.3.5. Найти значения выражений:

8 − 20;
34 − 98;
и т.п.

Образец:

8 − 20 = − (20 − 8) = − 12.

2.3.6. Найти значения выражений:

− 4 − 13;
− 48 − 53;
и т.п.

Образец:

− 4 − 13 = − (4 + 13) = − 17.

2.3.7. Для следующих выражений найти значения, проводя вычисления в том порядке, который задается скобками. Затем раскрыть скобки и убедиться, что значения выражений остались прежними. Составить задачи про конфеты, которые решаются таким образом.

25 − (−10 + 4);
25 + (− 4 + 10);
и т.п.

Образец:

25 − (− 10 + 4) = 25 − (−(10 − 4)) = 25 − (−6) = 25 + 6 = 31.

25 − (− 10 + 4) = 25 + 10 − 4 = 35 − 4 = 31.

«У Дениса было 25 конфет. Он отдал папе минус десять конфет, а Матвею четыре конфеты. Сколько конфет у него стало?»

Примеры из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Сложение и вычитание трехзначных целых чисел

Сложение и вычитание шестизначных целых чисел

Простейшие задачи с целыми числами

 

 

 

Книга Леонида Некина «Воспитание без предрассудков!»

Для кого? — Для тех, кто привык ставить планку высоко, кто доволен своими детьми, кто ощущает себя хорошим родителем, кто хочет, чтобы стало еще лучше.

О чем? — О полноценном развитии наших детей, о социальных механизмах, которые этому препятствуют, о том, как уйти от действия этих механизмов.

Как? — Без назиданий, без повелительного наклонения, без замалчивания деликатных тем.

Подробности >>>