
			МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник)
			Математические прописи и примеры
			• Генератор примеров-прописей
			Упражнения и задачи
			• Генераторы простых примеров и задач
			• Универсальный генератор задач «Math-o-Gen»

2.2. Составные выражения, скобки

Допустим, у Дениса было 5 конфет, мама дала ему еще 3 конфеты, а папа — еще одну конфету. Сколько конфет стало у Дениса? Такая задача решается в два действия.

Первое: 5 + 3 = 8 . Столько конфет стало у Дениса после того, как он получил конфеты от мамы.

Второе: 8 + 1 = 9. Столько конфет стало у Дениса в конечном итоге.

Это же самое решение можно представить в виде одной-единственной строчки. Поскольку « 8 » было получено как « 5 + 3 », то во втором равенстве « 8 » можно заменить на « 5 + 3 »:

До замены:	8	+ 1 = 9.
После замены:	( 5 + 3 )	+ 1 = 9.

Новую вставку принято заключать в скобки. Таким образом, если в каком-нибудь длинном выражении встречаются скобки, это говорит о том, что в первую очередь следует выполнять действия внутри скобок. В нашем примере порядок выполнения действий таков:

[1]	[2]
( 5 + 3 )	+	1 = 8 + 1 = 9.

На этот раз оказалось, что действия выполняются в самом привычном порядке — слева направо. В этом особом случае скобки можно вообще не писать. Смысл выражения остается тем же самым:

[1]	[2]
5 + 3	+	1 = 8 + 1 = 9.

Однако ту же самую задачу можно решить и по-другому.

Первое действие: 3 + 1 = 4 . Столько конфет получил Денис от мамы и папы.

Второе действие: 5 + 4 = 9. Столько конфет оказалось у Дениса.

В одну строку это записывается так:

	[2]	[1]
5	+	( 3 + 1 )	= 5 + 4 = 9.

Итак, у нас есть два разных решения одной и той же задачи, и им соответствуют два разных выражения, но значения этих выражений одинаковы, поэтому

5 + (3 + 1) = 5 + 3 + 1.

Это равенство показывает, каким образом можно избавиться от скобок, или, выражаясь более грамотно, как можно раскрыть скобки. В данном примере скобки можно просто стереть, а все остальное оставить без изменений. Но так просто дело обстоит далеко не всегда.

Задача 2.2.1. У Дениса было 5 конфет. 3 конфеты он дал маме, и еще одну конфету — папе. Сколько конфет осталось у Дениса? Эту задачу требуется решить двумя способами, причем каждое решение записать в виде одного-единственного выражения.

Решение. Первый способ.

5 − 3 = 2 . Столько конфет осталось у Дениса, после того как он поделился конфетами с мамой.

2 − 1 = 1. Столько конфет осталось у Дениса в конце.

Записываем решение в виде одного выражения:

5 − 3 − 1 = 2 − 1 = 1.

Второй способ.

3 + 1 = 4 . Столько конфет Денис отдал маме и папе.

5 − 4 = 1. Столько конфет осталось у Дениса.

Объединяем решение в одно выражение:

5 − ( 3 + 1 ) = 5 − 4 = 1.

Сравнивая два решения, мы убеждаемся, что

5 − (3 + 1) = 5 − 3 − 1.

На этот раз, для того чтобы раскрыть скобки, недостаточно их просто стереть. Требуется еще и поменять знак «+» на знак «−».

Задача 2.2.2. У Дениса было 7 конфет. Он решил поделиться конфетами с Матвеем. Он протянул Матвею 3 конфеты, однако в последний момент передумал и одну конфету забрал обратно. Сколько конфет стало у Дениса?

Решение. Первый способ.

7 − 3 = 4 . Столько конфет оставалось у Дениса, когда он протянул конфеты Матвею.

4 + 1 = 5. Столько конфет стало у Дениса в конечном итоге.

Единое выражение:

7 − 3 + 1 = 4 + 1 = 5.

Второй способ.

3 − 1 = 2 . Столько конфет досталось Матвею.

7 − 2 = 5. Столько конфет стало у Дениса.

Единое выражение:

7 − ( 3 − 1 ) = 7 − 2 = 3.

Сравнивая два решения, получаем:

7 − (3 − 1) = 7 − 3 + 1.

И на этот раз одного только стирания скобок недостаточно. Нужно еще поменять тот знак «−», который стоял в скобках, на знак «+».

Задача 2.2.3. У Дениса было 5 конфет. Мама подарила ему еще 3 конфеты, из которых одну Денис дал папе. Сколько конфет стало у Дениса?

Рассуждая, как обычно, получаем:

5 + (3 − 1) = 5 + 3 − 1.

Здесь, как и в самый первый раз, нужно просто стереть скобки. Почему же иногда этого оказывается достаточно, а иногда нет? Выпишем все наши наблюдения еще раз:

5 + (3 + 1) = 5 + 3 + 1;
5 + (3 − 1) = 5 + 3 − 1;
5 − (3 + 1) = 5 − 3 − 1;
5 − (3 − 1) = 5 − 3 + 1.

Ага! Теперь всё ясно. Если перед скобкой стоит «+», то скобки можно просто стереть, и больше ничего делать не требуется. Но если перед скобкой стоит «−», то нужно еще поменять тот знак, который стоял внутри скобки.

Дополнение: выражения, содержащие умножение или деление

Разумеется, в составных выражениях могут встречаться не только сложение и вычитание, но также и умножение и деление. Если, решая какую-нибудь задачу, мы составили выражение из двух действий и в этом выражении в первую очередь надо выполнить умножение или деление, а во вторую очередь — сложение или вычитание, то скобки можно не ставить:

10 + (2 ∙ 3) = 10 + 2 ∙ 3;

10 + (6 / 2) = 10 + 6 / 2;

10 − (2 ∙ 3) = 10 − 2 ∙ 3;

10 − (6 / 2) = 10 − 6 / 2.

Точно так же: (2 ∙ 3) + 10 = 2 ∙ 3 + 10

и т.п.

Это означает, что в выражениях без скобок вначале нужно выполнять умножение и деление, а затем — сложение и вычитание:

10 + 2 ∙ 3 = 10 + 6 ≠ (10 + 2) ∙ 3 = 12 ∙ 3.

В выражениях, которые содержат только умножение и деление, скобки можно не ставить в таких случаях:

(3 ∙ 4) ∙ 6 = 3 ∙ 4 ∙ 6;

(3 ∙ 4) / 6 = 3 ∙ 4 / 6.

Примеры из «бесконечного» сборника типовых упражнений