Образовательный проект Леонида Некина

Учить АНГЛИЙСКИЙ, НЕМЕЦКИЙ по «Эхо»-технологии на тренажере «Бизон»:

попробуйте один раз — и по-другому Вы уже не захотите.

Поддержка бесплатно на все сто — нажать сюда!

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

2.4. Переменные

Рассмотрим такую задачу: «Денис старше Матвея на 2 года. Сколько лет будет Денису, когда Матвею будет 10 лет?» Решить ее можно следующим образом:

10 + 2 = 12.

А интересно, сколько лет будет Денису, когда Матвею будет 11 лет? Решение в этом случае выглядит так:

11 + 2 = 13.

А если Матвею будет 12 лет? — Тогда так:

12 + 2 = 14.

Спрашивается, нельзя ли как-нибудь на все подобные вопросы ответить раз и навсегда в виде какого-нибудь правила? Оказывается можно:

(возраст Дениса) = (возраст Матвея) + 2.

Правила, записанные в виде равенств, называются формулами. Математикам очень часто приходится исписывать целые страницы разными равенствами и формулами, поэтому они стремятся делать их, по возможности, краткими. Математик предпочел бы написать следующим образом:

Д = М + 2,

а потом отдельно пояснить, что Д означает возраст Дениса, а М — возраст Матвея. Но и это не принесло бы ему полного удовлетворения. Математики предпочитают пользоваться буквами самого распространенного в мире алфавита — латинского. Вот запись, которая удовлетворила бы математика полностью:

d = m + 2.

Разумеется, как и ранее, к этой формуле необходимо еще приложить пояснения, что d — это возраст Дениса, а m — это возраст Матвея.

Итак, скажите мне, сколько лет Матвею, — и, глядя на эту формулу, я вам быстро отвечу, сколько лет Денису. Принято говорить: если m принимает значение 10, то d принимает значение 12. Или: если m = 10, то d = 12. Буквы, которые входят в математические выражения и которые могут принимать разные численные значения, называются переменными.

Мы уже довольно давно занимаемся математикой и успели за это время сделать кое-какие важные математические открытия. С помощью формул мы можем теперь эти открытия грамотно записать. Например, мы однажды заметили, что если поменять местами слагаемые, то значение суммы не изменится. В виде формулы это записывается следующим образом:

a + b = b + a,

где a и b — любые числа. Школьные учителя называют это «перестановочным свойством сложения». Лично мне такое словосочетание режет слух. Это примерно то же самое, что сказать: «оранжевое свойство апельсина». Перестановочным является, конечно, не свойство, а само сложение. А профессиональные математики используют тут и вовсе другое слово. Они говорят: сложение коммутативно.

Равенства, которые остаются верными при любых значениях входящих в них переменных, называются тождествами. Вот еще пример тождества:

a + (b + c) = (a + b) + c,

или, что то же самое,

a + (b + c) = a + b + c.

Это знакомое нам правило, по которому можно изменять порядок действий, или, как мы еще говорили, раскрывать скобки. У школьных учителей это называется «сочетательным свойством сложения». Грамотные же люди говорят: сложение ассоциативно.

Но, разумеется, не всякое равенство является тождеством. Зададимся вопросом: коммутативно ли вычитание? Можно ли написать так:

ab = ba?

Ну, написать-то так, пожалуй, можно: бумага, говорят, все вытерпит. Но вычитание, конечно же, некоммутативно, а значит, данное равенство не является тождеством. Убедиться в этом очень просто. Пусть, например, a = 2 и b = 1. Подставляем эти значения в равенство и получаем: «2 − 1 = 1 − 2». Ерунда какая-то! Но, с другой стороны, пусть a = 5 и b = 5. В этом случае равенство принимает вид: «5 − 5 = 5 − 5». Ну, что ж, спорить нечего, так оно и есть. Равенство, которые становятся верными лишь при некоторых значениях переменных, называются уравнениями.

Уравнениями очень удобно пользоваться при решении всевозможных математических задач. Вернемся к задаче про Дениса и Матвея: «Денис старше Матвея на 2 года. Каков будет возраст Дениса, d, когда Матвею будет m лет?» Мы твердо знаем, что Денис всегда останется старше Матвея на одно и то же число лет (такие неизменные величины называются инвариантами). Поэтому мы можем составить следующее уравнение:

dm = 2.

Здесь две переменные, а именно d и m. Следует отметить, что роль этих переменных неодинакова. Предполагается, что численное значение переменной m нам известно. Если даже мы не знаем этого значения сейчас, то, вероятно, нам назовут его когда-нибудь потом. И уж, во всяком случае, его нахождение не входит в нашу задачу. Такие переменные называются параметрами. В противоположность этому, о численном значении переменной d нам никто никогда не собирается сообщать. Наша задача как раз и заключается в том, чтобы его найти. Такие переменные называются неизвестными.

Решить уравнение — это значит выписать формулу, по которой можно вычислить значение неизвестной, если нам скажут численное значение параметра. В данном случае решение — это

d = m + 2.

Давайте посмотрим, как мы пришли от исходного уравнения

dm = 2.

к его решению. Ну, мы пристально посмотрели на уравнение, что-то прикинули в уме и выписали результат. Так делать, конечно, можно. Однако в математике разработаны особые методы, которые позволяют решать уравнения без особенного умственного напряжения. Тут очень удобно воспользоваться одним простеньким приемом.

Но сперва — небольшое отступление. Допустим, у Дениса в брюках есть два кармана, один слева, другой справа. В этих карманах лежат конфеты. Точное количество конфет нам неизвестно, но мы знаем, что в левом и правом карманах конфет поровну. Введем обозначения. Пусть L — это число конфет в левом кармане, а P — это число конфет в правом кармане. На основе имеющихся у нас сведений, мы можем составить уравнение:

L = P.

Далее события развиваются так. Денис положил в левый карман еще одну конфету и в правый карман еще одну конфету. Ясно, что в обоих карманах конфет снова оказалось поровну:

L + 1 = P + 1.

А что было бы, если бы Денис положил в каждый карман не по одной конфете, а по двум или трем или десяти? Ну, наши рассуждения тогда не сильно бы изменились. Просто в новом уравнении вместо «1» мы написали бы «2» или «3» или «10». Рассмотрим ситуацию, как говорят математики, в общем виде. Пусть Денис положил в каждый карман по k конфет. В обоих карманах конфет как было, так и осталось поровну. Значит,

L + k = P + k.

Заметим, что параметр k может даже быть отрицательным (то есть Денис не кладет конфеты, а, наоборот, берет их).

Тут напрашивается очень важный вывод. Оказывается, что если у нас есть какое-то уравнение, то к обеим его частям можно одновременно прибавить одно и то же число, и тогда уравнение, по своей сути, не изменится. Если при каких-то значениях переменных первое уравнение обращается в верное равенство, то при тех же самых значениях переменных обратится в верное равенство и второе уравнение. И наоборот, если обратилось в верное равенство второе уравнение, то и с первым уравнением случилось то же самое. Иными словами, оба уравнения имеют одинаковые решения. Профессиональные математики в этом случае говорят, что уравнения эквивалентны.

Вернемся теперь к задаче про возраст Дениса и Матвея. Мы получили уравнение

dm = 2.

Прибавим теперь к обеим его частям параметр m:

dm + m = 2 + m.

После очевидных упрощений новое уравнение принимает вид:

d = m + 2.

Вот и всё! Решение получено.

Рассмотрим теперь другую, но очень похожую задачу, в которой вопрос поставлен несколько по-другому: «Денис старше Матвея на 2 года. Каков будет возраст Матвея, m, когда Денису будет d лет?» Уравнение, которое можно составить по условию, оказывается по виду точно таким же, как и прежде:

dm = 2.

Однако, на этот раз, переменная d является параметром, а переменная m — неизвестной. В таких случаях еще говорят, что уравнение требуется решить относительно переменной m. Такое решение находится лишь ненамного труднее предыдущего. Прибавим к обеим его частям вначале m, а потом (− 2):

dm + m − 2 = 2 + m − 2.

После упрощений получаем:

d − 2 = m.

Тут стоит обратить внимание вот на что. В исходном уравнении переменная m была в левой части, и перед ней стоял знак минус. В конечном уравнении эта же переменная находится в правой части, и подразумевается, что перед ней стоит знак плюс. Говорят, что слагаемые в уравнениях можно переносить из одной части в другую с противоположным знаком (то есть минус следует менять на плюс, а плюс — на минус). В данном случае, справедливость этого правила можно также проследить на числе 2. Вначале двойка стояла справа, и перед ней подразумевался знак плюс. А в конце она оказалась слева со знаком минус.

Теперь вспомним о задаче, которую мы решаем. В полученном уравнении осталось только поменять местами левую и правую часть — и ответ готов:

m = d − 2.

После того, как уравнение решено, полезно сделать так называемую проверку, то есть подставить найденное решение в исходное уравнение и посмотреть, что получится. Например, в данном случае, в исходном уравнении,

dm = 2,

надо m заменить на (d − 2):

d − (d − 2) = 2.

И что же получилось? Ну, конечно, тождество! Если бы мы не получили тождества, это бы означало, что уравнение решено неверно.

Подобные же рассуждения применимы и к неравенствам. Рассмотрим, для примера, такую задачу. Сколько лет должно пройти, чтобы Матвею можно было официально смотреть фильмы для взрослых? Поскольку человек считается взрослым с 18-ти лет, мы должны записать:

m + x ≥ 18,

где m обозначает нынешний возраст Матвея, а x — это число лет, которые ему надо подождать, чтобы его стали пускать в кинотеатр на сеансы для взрослых. Значок «≥» у математиков заменяет слова «больше или равно». Ясно, что если прибавить (или отнять) от обеих частей неравенства одно и то же число, то оно оcтанется по сути тем же самым. Или, говоря точнее, оно превратится в эквивалентное неравенство, которое имеет в точности то же самое решение, что и первоначальное. Отнимаем от обеих частей нашего неравенства число m и получаем:

x ≥ 18 − m.

Если Матвею сейчас, допустим, 12 лет, то

x ≥ 18 − m = 18  12 = 6,

или, окончательно:

x ≥ 6.

Таким образом, для того чтобы Матвей мог официально смотреть фильмы для взрослых, должно пройти 6 лет или больше.

Точно так же, нам может приготиться понятие «меньше или равно», которые обозначается значком «≤». Допустим, мы в составе группы из a человек дожидаемся лифта в многоэтажном доме. Грузоподъемность лифта ограничена 12-тью человеками, но, когда он подойдет, может оказаться, что в нем уже есть x человек. Спрашивается, каково должно быть значение x, чтобы вся наша группа зараз поместилась в лифте? Записываем:

a + x ≤ 12

и, применив наш обычный трюк, получаем:

x ≤ 12 − a.

Отметим заодно, что вся эта задача имеет смысл, только если численность нашей группы меньше или равна 12-ти человек:

a ≤ 12.

Посмотрим теперь, как ведут себя переменные в примерах на умножение и деление. Пусть требуется найти неизвестную переменную x в уравнении:

x/3 = 4.

По условию нашей задачи, x/3 и 4 — это одно и то же число, просто записанное двумя разными способами. Умножим-ка мы это число на 3. И результат тоже запишем по-разному:

3·(x/3) = 3·4.

После несложных вычислений получаем:

x = 12.

Решение уравнения найдено.

А теперь сможем ли мы решить такое уравнение (опять-таки относительно x)?

x = 20.

После деления обеих частей этого уравнения на 5 получаем:

x = 4.

А как насчет такого уравнения?

21/x = 3.

Это уравнение решается в два действия. Вначале умножаем обе его части на x:

21 = 3·x.

А потом делим на 3:

7 = x.

Теперь остается только для большей красоты поменять местами левую и правую части этого равенства:

 x = 7,

И решение окончательно готово.

Если после всего этого нам встретится неравенство с неизвестным, такое, например, как

x > 10,

то мы, конечно, не растеряемся и тоже сможем легко найти его решение, потому что оно находится с помощью всё тех же самых трюков, что и в случае уравнений. Впрочем, тут надо сделать одну важную оговорку. Хотя мы уже и познакомились с отрицательными числами, умножением и делением на них мы пока еще не занимались. Покуда мы делим и умножаем только на положительные числа, все рассмотренные тут трюки прекрасно работают в одинаковой степени как для равенств, так и для неравенств. Но когда мы перейдем к умножению и делению на отрицательные числа, тогда у неравенств обнаружатся кое-какие особенности, о которых мы будем еще говорить отдельно. Что же касается умножения и деления на ноль, то, как мы знаем, делить на ноль вообще нельзя, а умножать на ноль обе части равенств или неравенств не имеет смысла, потому что при умножении любого числа на ноль получается ноль. Если в обеих частях уравнения или неравенства у нас окажутся нули, то толку от этого ровным счетом никакого не будет.

Задачи

2.4.1. Определить, какие из следующих равенств являются тождествами, а какие — уравнениями. Особо отметить уравнения, не имеющие решений (то есть такие равенства, которые не становятся верными ни при каких значениях переменных).

xy = 5;
x − 5 = 5;
− (−x) = x;
− (−x) = − x;
− (xy) = − (yx);
− (xy) = yx;
x + 2 = x;
x − (y + z) = xyz.
x − 2 = x.

2.4.2. Для каждого выражения из левого столбца найти тождественное выражение из правого столбца. (Два выражения называются тождественными, если при постановке между ними знака равенства получается тождество.)

x

 

− (x − 1)

1 − x

y + x

xx

5 + x − 5

xy

yx

− (x + y)

3 − 3

 

2.4.3. Раскрыть скобки:

a + (b + c);
a − (b + c);
a + (bc);
a − (bc);
a + (− b + c);
a − (− b + c);
a + (− bc);
a − (− bc);

2.4.4. Для каждого уравнения из левого столбца подобрать эквивалентное ему уравнение из правого столбца.

xy = 0

 

1 = y

x − 3 = y

y = x

xy = − yx

xy + 1 = 4

1 − x = yx

x + x = 0

 

2.4.5. Решить уравнения и сделать проверку (x — неизвестная, a — параметр):

x + 531 = 273;
x − 531 = 273;
344 − x = 118;
ax = 37;
ax = a;
и т.п.

2.4.6. Старшему брату a лет, а младшему брату b лет. Каков будет возраст старшего брата, x, когда младшему будет y лет? Решить задачу в общем виде и получить численный ответ при следующих значениях параметров: a = 11, b = 5, y = 18. Каков будет возраст младшего брата, y, когда старшему будет x лет? Дать ответ в общем виде и получить его численное значение при a = 11, b = 5, x = 18.

2.4.7. Один брат старше другого на a лет. Через b лет старшему брату будет c лет. Найти нынешний возраст старшего брата, x, и младшего брата, y. Вычислить ответ при a = 3, b = 10, c = 25.

2.4.8. У Дениса было какое-то количество конфет, и у Матвея было какое-то количество конфет. После того как Денис дал Матвею a конфет, у них стало конфет поровну. На сколько конфет было у Дениса больше первоначально? Вычислить ответ при a = 3.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Простейшие уравнения, неравенства и подстановки (натуральные числа)

Простейшие уравнения, неравенства и подстановки (целые числа)

Простейшие задачи с параметрами (натуральные числа)

Простейшие задачи с параметрами (целые числа)