Образовательный проект Леонида Некина

Учить АНГЛИЙСКИЙ, НЕМЕЦКИЙ с микрофоном в руках:

попробуйте один раз — и по-другому Вы уже не захотите.

Поддержка бесплатно на все сто — нажать сюда!

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

1.6. Деление нацело и деление с остатком

Снова запасаемся счетами и «идем покупать» конфеты.

Задача 1.6.1. Известно, что одна конфета стоит 5 копеек, а на покупку потрачено 15 копеек. Спрашивается: сколько конфет куплено? Эту задачу можно решить двумя способами.

Первый способ. Считаем, что продавщица сначала получила от нас 5 копеек и выдала одну конфету, потом получила еще 5 копеек и выдала еще одну конфету — и так далее, пока у нее не набралось 15 копеек. Откладываем на счетах 5 копеек и говорим: «Одна конфета». Затем откладываем еще 5 копеек. На этот раз мы не только говорим: «Две конфеты», — но еще и смотрим на счеты: не набралось ли там уже 15 копеек? — Нет, не набралось. Тогда снова откладываем 5 копеек, говорим: «Три конфеты», — и смотрим на счеты. На этот раз на счетах действительно 15 копеек. Расчет с продавщицей закончен. У нас на руках три конфеты. Задача решена.

Отмечу, что точно такое же решение подошло бы, если б нас просто попросили вставить пропущенное число в запись

___ ∙ 5 = 15.

Второй способ. Откладываем на счетах 15 копеек. Столько денег мы собираемся заплатить продавщице. Но отдаем мы их не сразу, а порциями по 5 копеек. После каждой такой порции у нас прибавляется по одной конфете. Сбрасываем на счетах 5 копеек и говорим «раз». Потом сбрасываем еще 5 копеек и говорим «два». И так далее — до тех пор, пока не кончатся все деньги. В данном случае это произойдет на счет «три». Значит, мы купили три конфеты.

Подобная задача встречается настолько часто, что для ее решения введено специальное обозначение:

15 / 5 = 3.

Читается: «Пятнадцать поделить на пять равно три».

Какой же способ удобнее? Мне лично больше нравится второй: я вначале откладываю на счетах стоимость всей покупки, а потом уже не обязан держать это число в памяти. Но еще лучше, конечно, помнить ответ примера на умножение:

3 ∙ 5 = 15.

Тогда, собственно, и считать ничего не нужно. Можно сразу выписывать ответ.

После того как ребенок самостоятельно попрактиковался в делении не слишком больших чисел (прибегая, в случае необходимости, к счетам), настает время обсудить некоторые тонкости.

(1) Проще всего делить на 10. Пусть, например, требуется решить пример:

230 / 10 = ___

Очень легко подобрать такое число, которое при умножении на 10 дает 230. Это, конечно, 23. Поэтому

230 / 10 = 23.

(2) Давайте вычислим на счетах

150 / 50.

При этом мы можем представить себе, что мы опять покупаем конфеты. Только на этот раз каждая кофета стоит 50 копеек, а на всю покупку потрачено 150 копеек (1 руб. 50 коп.). Спрашивается: сколько конфет мы купили? На счетах эта задача решается точь-в-точь так же, как и в том случае, когда одна конфета стоит 5 копеек, а на всю покупку тратится 15 копеек. Единственное отличие заключается в том, что все операции с бусинками мы проделываем на один ряд выше. Ответ у нас, естественно, получается тот же самый, что и раньше. Поэтому мы можем записать:

150 / 50 = 15 / 5 = 3.

Точно так же:

1500 / 500 = 15 / 5 = 3.

Вообще, нетрудно сообразить, что, когда мы делим друг на друга «круглые» числа (то есть такие числа, которые оканчиваются нулями), мы можем зачеркнуть у обоих чисел на конце по одинаковому числу нулей, и ответ при этом не изменится.

(3) К сожалению, умение быстро делить на 10 не помогает в делении на 11. И всё же, некоторые полезные трюки стоит иметь в виду. Пусть, например, требуется найти

253 / 23.

Решаем этот пример вторым способом: откладываем сперва на счетах число 253, а потом вместо того чтобы десять раз отнимать число 23, отнимаем сразу 230 и говорим: «Десять». После этого на счет «одиннадцать» все бусинки заканчиваются, и мы получаем (в два «хода»):

253 / 23 = 11.

(4) Теперь, пусть требуется поделить 207 на 23. Если мы решаем этот пример вторым способом, то приходится действовать «в лоб»: отнимать и отнимать всё время по 23, пока бусинки не закончатся. Однако первый способ оставляет некоторый простор для маневров. Тут всё как и при умножении. Допустим, мы, зазевавшись, отложили 23 десять раз — получили 230 и спохватились: случился перебор. Чтобы не начинать всё заново, прокручиваем назад последний «ход»: отнимаем 23 и получаем 207. Значит,

207 / 23 = 9.

(5) Нуль, поделенный на любое число, равен нулю. Это очевидно. А вот делить на сам нуль нельзя. Если конфета стоит 0 копеек, а мы на покупку потратили 15 копеек, то это какая-то ерунда. Так не бывает. Нет такого числа, которое могло бы на законном основании заполнить пустое место в записи:

___ ∙ 0 = 15.

Если каждая конфета достается нам даром, то и наши затраты должны быть нулевыми, сколько бы мы конфет ни получали:

1 ∙ 0 = 0,
2 ∙ 0 = 0,
10 ∙ 0 = 0,
100 ∙ 0 = 0.

Но ведь можно поинтересоваться, сколько конфет по цене 0 копеек за штуку мы получили, заплатив 0 копеек? Поинтересоваться-то можно, да только запись

0 / 0

никак не приблизит нас к ответу: нуль, поделенный на нуль, может оказаться равен любому числу. Поэтому мы с такой записью связываться не будем и тоже наложим на нее запрет.

(6) Некоторое время мы будем также считать бессмыслицей запись типа

17 / 5.

Если мы покупаем конфеты по 5 копеек за штуку, а продавщица требует от нас уплатить 17 копеек, то она явно неправа. В подобных случаях говорят, что семнадцать на пять нацело не делится. Причем тут словечко «нацело»? — При том, что деление, которому мы научились, именно так и называется — деление нацело. Однако есть и другие разновидности деления.

Рассмотрим еще одну задачу.

Задача 1.6.2. У нас в кармане 17 копеек, а мы хотим купить как можно больше конфет, каждая из которых стоит 5 копеек. Сколько конфет мы сможем купить и сколько денег у нас останется?

Откладываем на счетах 17 копеек. Это все наши деньги. Вычитаем теперь отсюда порции по 5 копеек и представляем себе, что за каждую порцию мы получаем одну конфету. После того как мы приобрели 3 конфеты, у нас на руках остается только 2 копейки, и больше конфет мы купить не можем. Ответ на задачу записывается так:

17 : 5 = 3 (ост. 2).

Читается: «Семнадцать поделить на пять равно трем, остаток два». Такой тип деления называется «делением с остатком». Мы можем также написать:

17 = 3 ∙ 5 + 2.

Здесь наглядно показано, куда ушли наши 17 копеек. Три раза по пять копеек (а всего пятнадцать) — столько мы отдали за конфеты, да плюс еще две копейки, которые у нас остались.

Задача 1.6.2а. У нас в кармане 170 копеек, а мы хотим купить как можно больше конфет, каждая из которых стоит 50 копеек. Сколько конфет мы сможем купить и сколько денег у нас останется?

Эта задача решается точно так же как и предыдущая, только бусинки на счетах надо всё время откладывать на один ряд выше. Получаем:

170 : 50 = 3 (ост. 20).

Или:

170 = 3 ∙ 50 + 20.

Давайте возьмем на себе заметку: когда мы делим «круглые» числа с остатком, мы не можем так запросто зачеркивать у них на конце по одинаковому количеству нулей, как это мы делали при делении нацело. Если это и можно делать, то только мысленно, и потом надо будет еще обязательно приписать это же самое количество нулей остатку.

Теперь — дело за практикой. При этом следует иметь в виду, что остаток может оказаться равным нулю, например:

15 : 5 = 3 (ост. 0).

И, наконец, еще одна задача.

Задача 1.6.3. Купили 3 конфеты, заплатив за покупку 15 копеек. Сколько стоит одна конфета?

К этой задаче можно подойти «чисто формально». От нас фактически требуется вставить правильное число в запись

3 ∙ ___ = 15.

Но ведь мы знаем, что числа в примерах на умножение можно менять местами. Поэтому, задача будет решена, если мы найдем подходящее число, которое можно подставить сюда:

___ ∙ 3 = 15.

Такую задачу мы уже умеем решать:

15 / 3 = 5.

Это уже знакомое нам деление нацело. Откладываем на счетах 15 бусинок, и принимаемся сбрасывать всякий раз по 3 бусинки, пока бусинок больше не останется. Поскольку бусинки пришлось сбрасывать 5 раз, то и ответ у задачи 5, а точнее (вспомним условие) 5 копеек.

Однако, того, кто привык докапываться до сути вещей, такое формальное решение удовлетворить, конечно, не должно. Ведь нельзя же, в самом деле, отнять 3 конфеты от 15 копеек! От копеек можно отнимать только копейки!

Задача, по сути, заключается в том, чтобы 15 однокопеечных монеток поделить на три одинаковые кучки. Откладываем на счетах 15 бусинок, а потом берем себе, в самом деле, настоящие монетки и начинаем их делить — так, словно делим их поровну между тремя детьми. Вот тебе одна монетка, вот тебе одна монетка, вот тебе одна монетка — прошли первый круг, у каждого ребенка стало по одной монетке. У нас же на три монетки убавилось. Из 15 бусинок, отложенных на счетах, сбрасываем три. После каждого следующего круга у каждого ребенка прибавляется по одной монетке, а у нас становится на три монетки меньше. Значит, всякий раз, завершая круг, мы должны сбросить на счетах по 3 бусинки. Когда мы проходим 5 кругов, монетки у нас заканчиваются и все бусинки на счетах сброшены. В результате, каждому ребенку досталось по 5 монеток. Значит, если 15 копеек поделить на 3 одинаковые кучки, то в каждой кучке окажется по 5 копеек (и если за 3 конфеты заплатили 15 копеек, то каждая конфета стоит 5 копеек). Тут важно понимать, что, решая эту задачу, мы от копеек отнимаем именно копейки, а вовсе не конфеты.

Задача 1.6.3. Купили 30 конфет, заплатив за покупку 150 копеек. Сколько стоит одна конфета?

Повторяем все рассуждения, которые позволили решить нам предыдущую задачу (как «формальные», так и более наглядные). Получаем:

150 / 30 = 15 / 3 = 5.

Здесь мы опять имеем дело с делением нацело. Поэтому тут снова работает правило, по которому мы можем зачеркивать у чисел, стоящих по разные стороны от знака деления, по одинаковому количеству нулей.

Таким образом, мы теперь знаем, что такое деление нацело и деление с остатком. Это самые простые разновидности деления. Однако в математике они играют далеко не самую главную роль. Но прежде чем познакомиться с самым распространенным, самым важным типом деления, мы должны еще усвоить кое-какие математические идеи. Эти идеи, с непривычки, могут показаться довольно сложными. Мы, конечно, постараемся рассказать о них как можно проще и понятнее. Поэтому первое время мы будем иллюстрировать их главным образом примерами на сложение и вычитание. Это не значит, что про умножение и деление можно полностью забыть и бросить в них практиковаться. После некоторого перерыва мы снова начнем постоянно иметь дело с умножением и делением. Мы встретимся с ними тогда как со старыми, добрыми знакомыми и, уж во всяком случае, не будем тратить драгоценное время на тупое заучивание таблицы умножения.

Задачи (в дополнение к примерам на деление)

1.6.4. Заполнить пропуски подходящими числами:

7 ∙ ___ = 21,
___ ∙ 8 = 32,
____ / 6 = 5,
18 / ___ = 2,
____ : 5 = 4 (ост. 3),
20 : ___ = 3 (ост. 2),
и т. п.

Примеры из «динамических» прописей

Таблица умножения с «уравнениями»

Умножение и деление нацело в пределах таблицы умножения

То же с «уравнениями»

Все четыре арифметические действия в пределах 100

То же с «уравнениями»

Деление с остатком в пределах 100

То же с «уравнениями»

Умножение и деление с остатком в пределах 100

То же с «уравнениями»

Все четыре арифметические действия в пределах 100 (разность может быть отрицательной, деление с остатком)

То же с «уравнениями»

Деление нацело в пределах таблицы 24×24

Умножение и деление нацело в пределах таблицы 24×24

То же с «уравнениями»

Сложение и вычитание до 1000 (с возможным «приписыванием нулей»), умножение и деление в пределах 24×24

То же с «уравнениями»

Сложение и вычитание до 1000 (с возможным «приписыванием нулей», разность может быть отрицательной), умножение и деление в пределах 24×24

То же с «уравнениями»

 

 

 

Вопросы и комментарии

4 января, 2016 - 23:00

Кирилл

Одна копейка с 10-ю нулями это сколько?

13 января, 2017 - 03:52

Дима

1 копейка

 Ответить