4.10. Прямоугольный параллелепипед и его объем

Начертим на листе бумаги следующую фигуру, состоящую из шести прямоугольников:

 

Вырежем ее ножницами по внешнему контуру и, сгибая по начерченным линиям, сложим из нее коробку:

 

По-научному такая коробка вместе с находящейся в ней частью пространства называется прямоугольным параллелепипедом. Разумеется, если бы мы были настоящими учеными-математиками, нам бы следовало еще доказать, что данную плоскую фигуру действительно возможно сложить в виде коробки. Однако мы это и без того знаем из повседневного опыта, а доказательство получилось бы довольно длинным. Поэтому не будем сейчас тратить на него время.

Прямоугольный параллелепипед характеризуется тремя размерами, обозначенными на рисунке через \(a\), \(b\) и \(c\). Они называются длиной, шириной и высотой, причем соответствие между этими названиями и буквами \(a\), \(b\) и \(c\) может быть самым произвольным. При перечислении этих размеров между ними принято ставить не запятые, а знаки умножения в виде косого крестика: \(a × b × c\) (читается: «а на бэ на це»). После сборки коробки прямоугольники начинают называться гранями, их стороны становятся ребрами, а вершины сохраняют прежнее название вершины. Плоская заготовка, из которой мы собрали коробку, называется разверткой.

Задача \({\bf 4.10.1.}\) Слиток золота, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда размером

\(a_0 × b_0 × c_0 = 30 \) мм \(×~20\) мм \(×~10\) мм,

весит \(m_0 = 115,8\) г. Какова масса \(m\) прямоугольника со сторонами

\(a × b = 200\) мм \(×~100\) мм,

вырезанного из золотой фольги толщиной \(c = 0,1\) мм?

Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед, также сделанный из золота и имеющий размеры

\(a_1 × b_1 × c_1 = a_0 × b_0 × c = 30\) мм \(×~20\) мм \(×~0,1\) мм.

Умея решать задачи на пропорции, мы легко находим его массу:

\(m_1 = \cfrac{c_1}{c_0} \,m_0 = \cfrac{c}{c_0} \,m_0\).

Но фактически это — не что иное, как кусок фольги площадью

\(S_1 = a_1 b_1\).

Нам же надо найти массу \(m\) такого куска фольги, площадь которого равна

\(S = a b\).

Опять-таки, пользуясь пропорциями, находим

\(m = \cfrac{S}{S_1} m_1 = \cfrac{a b}{a_1 b_1} m_1 = \cfrac{a b}{a_0 b_0} \cfrac{c}{c_0} m_0 = \cfrac{m_0}{a_0 b_0 c_0} abc\).

Подставляя сюда численные значения параметров, получаем окончательный ответ:

\(m = 0,386\) г.

Масса куска золота зависит от размеров этого куска и от свойств самого золота, но она никак не может зависеть от размеров какого-то другого куска золота. Значит, в формуле, которую мы получили для массы \(m\), сомножитель \(\frac{m_0}{a_0 b_0 c_0}\) не зависит от конкретных значений чисел \(a_0\), \(b_0\) и \(c_0\). Он характеризует исключительно материал (в данном случае — золото) и называется (объемной) плотностью. Объемная плотность имеет размерность г/см³ и — подобно другим плотностям, с которым мы имели дело раньше — часто обозначается греческой буквой \(\rho\):

\(\rho = \cfrac{m_0}{a_0 b_0 c_0}\).

Произведение \(abc\), также входящее в формулу для массы \(m\), называется объемом прямоугольного параллелепипеда и обозначается, как правило, латинской буквой \(V\). Мы теперь знаем, что масса прямоугольного параллелепипеда \(m\) пропорциональна его объему \(V\) с коэффициентом пропорциональности, равным плотности \(\rho\).

Конспект

\(1\). Прямоугольный параллелепипед — это объемная фигура, гранями которой являются шесть прямоугольников. Прямоугольный параллелепипед характеризуется длиной, шириной и высотой: \(a\), \(b\) и \(c\).

\(2\). Объем прямоугольного параллелепипеда равен \(V = abc\).

\(3\). Пусть некоторый предмет, имеющий объем \(V\) и массу \(m\), изготовлен из однородного материала. Тогда (объемная) плотность, определяемая как \(\rho = \frac{m}{V}\), зависит только от свойств данного материала.