2.6. От перемены мест слагаемых сумма не изменяется

Еще недавно, учась сложению чисел, мы складывали кучки из монет. Тогда перед нами стояла задачи сложить две кучки. Но допустим, мы хотим теперь сложить не две, а несколько кучек. Это можно было бы сделать так: сгребаем их все сразу в одну большую кучу и пересчитываем в ней все монеты. Такой способ сложения всем бы был хорош, да только ни на счетах, ни на бумаге нельзя сделать ничего подобного. На счетах и бумаге мы умеем складывать между собой только два числа. Поэтому мы не будем сгребать вместе сразу все кучки, а поступим так, чтобы все наши действия можно было легко перенести на бумагу.

Итак, перед нами несколько кучек из монет. Мы знаем, сколько монет в каждой кучке, и теперь мы хотим узнать, сколько же у нас всего монет во всех кучках. Мы берем любые две кучки и сдвигаем их вместе, образуя одну новую кучку побольше. Умея складывать два числа на бумаге, мы сможем легко вычислить, сколько у нас монет в новой кучке без фактического их пересчета. Теперь у нас стало на одну кучку меньше. Далее, берем еще две кучки, сливаем их воедино, вычисляем новое число монет в только что образованной кучке и, таким образом, снова уменьшаем количество кучек на одну. Мы повторяем и повторяем эту процедуру, уменьшая всякий раз число кучек на единицу, до тех пор пока у нас не останется одна-единственная большая куча. Число монет в этой куче нам известно, причем вычислили мы его на бумаге, а не прямым пересчетом.

Очевидно, мы получим один и тот же ответ, совершенно независимо от того, в каком порядке мы сдвигали кучки. А значит, когда перед нами находится сумма чисел, например,

$8 + 9 + 2$,

мы можем вычислять ее тоже в любом порядке. Поэтому мы всегда будем выбирать такой порядок, какой для нас наиболее удобен. В данном случае удобно вначале сложить восьмерку и двойку, а потом добавить девятку:

$8 + 2 + 9 = 10 + 9 = 19$.

Но математический язык — это язык строгих правил. Спрашивается: на основании какого правила мы можем произвольно менять порядок вычислений при нахождении суммы нескольких слагаемым? Мы знаем, например, свойство коммутативности (которое, на школьном языке, называется также переместительным свойством сложения):

$a + b = b + a$.

Можем ли мы, опираясь на это свойство, написать

$8 + 9 + 2 = 8 + 2 + 9$,

то есть просто переставить местами девятку и двойку, подобно тому, как мы меняем местами переменные $a$ и $b$? Оказывается, нет, не можем. Вспомним, что, собственно, означает запись

$8 + 9 + 2$.

Это, как мы раньше договорились, всего лишь упрощенный вариант более подробной записи

$(8 + 9) + 2$.

Коммутативность сложения означает, что мы можем переставлять местами два непосредственно складываемых друг с другом числа. То есть, мы можем написать так:

$(8 + 9) + 2 = (9 + 8) + 2$,

или так:

$(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9)$,

или даже так:

$(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9) = 2 + (9 + 8)$,

однако при этом никак нельзя сделать так, чтобы восьмерка вначале складывалась с двойкой, а потом прибавлялась девятка. Коммутативность означает, что мы можем с одинаковым результатом либо кучку $a$ придвинуть к кучке $b$, либо наоборот, кучку $b$ придвинуть к кучке $a$, но коммутативность не позволяет произвольно выбирать пары кучек для слияния.

Как же быть? Мы должны вспомнить еще об одном свойстве сложения, а именно об ассоциативности (на школьном языке оно называется сочетательным свойством сложения):

$(a + b) + c = a + (b + c)$.

Это свойство действительно позволяет менять порядок объединения кучек. Впрочем, далеко не произвольно. Мы теперь можем написать так:

$(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2)$.

Если раньше мы должны были сперва обязательно складывать восьмерку и девятку, то теперь можем начать с того, чтобы сложить девятку и двойку. Но это же вовсе не то, к чему мы стремимся!

На самом деле, тут нужно воспользоваться обоими свойствами сразу. С помощью ассоциативности мы пришли к выражению

$(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2)$.

Теперь воспользуемся коммутативностью и поменяем местами девятку и двойку:

$8 + (9 + 2) = 8 + (2 + 9)$.

Далее, снова воспользуемся ассоциативностью:

$8 + (2 + 9) = (8 + 2) + 9$.

И наконец, перепишем конечное выражение в упрощенном виде:

$(8 + 2) + 9 = 8 + 2 + 9$.

После многих усилий мы получили результат, который и без того с самого начала был очевиден. Зачем же это было нужно? А если нам понадобится посчитать более длинное выражение, например,

$1 + 8 + 5 + 2 + 9$,

нам тоже надо будет действовать по правилам? Разве мы не сможем сразу переписать его в удобном виде:

$(9 + 1) + (8 + 2) + 5$?

Вопросы резонные и в них следует хорошенько разобраться.

Начнем с того, что так уж устроена математика: ученые-математики вначале вводят хорошо продуманные правила, а потом неукоснительно им следуют. Другое дело, что нам с вами (пока еще не ученым), для того чтобы хорошо решать школьные задачи, достаточно знать эти правила в сильно упрощенной форме. Я бы и не рассказывал вам ничего про коммутативность и ассоциативность, да только в школьных учебниках эти свойства (правда, под другим названием) выписаны жирным шрифтом и обведены в рамочку. При этом, однако, толком не объясняется, зачем они нужны и как их применять. Поэтому они моментально улетучиваются из памяти, что, в свою очередь, приводит к неприятностям на устных опросах и контрольных работах.

Так вот: нужны эти свойства для того, чтобы мы на законных основаниях могли по своему усмотрению менять порядок вычислений при нахождении суммы большого числа слагаемых. Разумеется, мы не будем всякий раз подробно расписывать шаг за шагом порядок применения этих свойств. Мы просто будем иметь в виду следующее:

Из свойств коммутативности и ассоциативности можно, в принципе, вывести, что складывать числа можно в абсолютно любом порядке.

Ни проверять, ни доказывать это общее утверждение мы сейчас не станем, а примем его, что называется, на веру. Вообще-то, настоящие ученые-математики ничего на веру не принимают, но мы с вами пока что еще не совсем настоящие ученые.

Теперь нам осталось уточнить еще один важный момент. Мы знаем, что складывать можно не только натуральные числа, но и целые, которые бывают и отрицательными. Спрашивается: если в сумме присутствуют отрицательные числа, то можно ли и в этом случае произвольно менять порядок суммирования?

Рассуждения с кучками монет нам теперь не помогут, потому что очень трудно представить себе кучку с отрицательным количеством монет. Но мы пойдем на этот раз другим путем. У нас уже есть некоторый опыт обращения с целыми числами, и мы имели возможность убедиться, что свойства коммутативности и ассоциативности для них сохраняются. Разумеется, наш опыт очень ограничен: ведь мы же не перебирали всех возможных комбинаций с целыми числами. Так что сомнения на этот счет вполне оправданы, и тот, у кого они возникли, может поискать опровержение. Только я не советую тратить на это слишком уж много времени, поскольку найти такое опровержение пока еще никому не удавалось. Поэтому давайте отнесемся как к факту, что сложение коммутативно и ассоциативно для любых целых чисел; и тогда из нашего общего утверждения (принятого на веру) со всей определенностью будет следовать, что порядок суммирования никак не влияет на значение суммы, даже если среди слагаемых есть отрицательные числа. Напомню, кстати, что любую разность можно переписать в виде суммы, например:

$5 - 3 = 5 + (-3)$,
$5 - (4 - 1) = 5 + (-4) + 1$.

Конспект

При вычислении суммы целых чисел, состоящей из любого количества слагаемых, порядок действий можно произвольно менять. Это правило следует из коммутативности и ассоциативности сложения, но доказательство здесь не приводится.

Задачи

2.6.1. Вычислить наиболее удобным способом:

$24 + 15 + 6$

$9 + 43 + 11$

$12 + 16 + 8 + 4$

$35 + 33 + 15 + 7$

и т.п.

2.6.2. Вычислить наиболее удобным способом:

$63 + 29 - 3$

$38 + 14 - 8$

$25 - 17 - 15 + 37$

$190 - 3 - 90 + 13$

$-23 + 69 + 33 - 9$

и т.п.

2.6.3. Дана пара выражений. Вычислить значение того из них, для которого это сделать проще.

a) $87 - (5 + 7)$
b) $87 - (5 - 7)$

a) $58 + (6 - 2)$
b) $58 + (2 - 6)$

и т.п.

2.6.4. Упростить выражение с переменной:

$10 + x + 23$

$-13 - (x - 2) + 43$

$x - 4 + 15 - 6 - (x + 1)$

и т.п.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Числовые примеры в три действия, которые легко можно упростить изменением порядка действий

Раскрытие скобок в выражениях типа (a ± b) ± (c ± d)