2.3. Отрицательные числа

Допустим, у Дениса очень много конфет — целая большая коробка. Сперва Денис съел $3$ конфеты. Потом папа дал Денису $5$ конфет. Потом Денис подарил Матвею $9$ конфет. Наконец, мама дала Денису $6$ конфет. Вопрос: Стало ли у Дениса в конечном итоге больше или меньше конфет, чем было вначале? Если больше, то насколько больше? Если меньше, то насколько меньше?

Для того чтобы не запутаться с этой задачей, удобно применить один трюк. Давайте выпишем подряд все числа из условия. При этом мы будем ставить знак «$+$» перед числами, которые обозначают, насколько конфет у Дениса прибавилось, и знак «$-$» перед числами, которые обозначают, насколько конфет у Дениса убавилось. Тогда всё условие выпишется очень коротко:

$-3 + 5 - 9 + 6$.

Эту запись можно прочитать, например, так: «Сперва Денис получил минус три конфеты. Потом плюс пять конфет. Потом минус девять конфет. И наконец плюс шесть конфет». Слово «минус» меняет смысл фразы на прямо противоположный. Когда я говорю: «Денис получил минус три конфеты», — это на самом деле означает, что у Дениса на три конфеты убыло. Слово «плюс», напротив, подтверждает смысл фразы. «Денис получил плюс пять конфет» означает то же самое, что и просто «Денис получил пять конфет».

Итак, сперва Денис получил минус три конфеты. Значит, у Дениса стало на минус три конфеты больше, чем было вначале. Для краткости можно сказать: у Дениса стало минус три конфеты.

Потом Денис получил плюс пять конфет. Легко сообразить, что у Дениса стало плюс две конфеты. Значит,

$- 3 + 5 = + 2$.

Потом Денис получил минус девять конфет. И вот сколько конфет у него стало:

$- 3 + 5 - 9 = + 2 - 9 = - 7$.

Наконец Денису досталось еще $+6$ конфет. И всего конфет стало:

$- 3 + 5 - 9 + 6 = + 2 - 9 + 6 = - 7 + 6 = - 1$.

На привычном языке это означает, что в конце концов у Дениса оказалось на одну конфету меньше, чем было вначале. Задача решена.

Трюк со знаками «$+$» или «$-$» применяется очень широко. Числа, перд которыми стоит знак «$+$», называются положительными. Числа со знаком «$-$» называются отрицательными. Число $0$ (ноль) не является ни положительным, ни отрицательным, потому что $+0$ ничем не отличается от $-0$. Таким образом, мы имеем дело с числами из ряда

${\dots, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, \dots}$

Такие числа называются целыми числами. А те числа, с которыми мы имели дело до сих пор, не ставя перед ними никакого знака, называются натуральными числами (только ноль не относится к натуральным числам).

Как мы знаем, числа — в том числе и целые числа — сами по себе не существуют. Для того чтобы они обрели смысл, их надо обязательно связать с какими-то вещами из реального мира. Целые числа можно представить себе как ступеньки лестницы. Число ноль — это лестничная площадка, находящаяся вровень с улицей. Когда мы пересчитываем ступеньки, поднимаясь вверх, мы дописываем перед каждым числом знак «$+$», то есть пользуемся положительными числами. Когда же мы спускаемся вниз, в подвал, то добавляем к каждому номеру ступеньки знак «$-$», то есть применяем для пересчета отрицательные числа. Однако если нам не нужно заходить в подвал, то вполне достаточно одних только натуральных чисел и нуля. Натуральные числа — это, по сути дела, то же самое, что положительные целые числа.

Вместе с тем, во многих случаях удобнее представлять себе целые числа не как номера ступенек, а как команды, задающие перемещение по лестнице. Например, число $+3$ говорит, что следует подняться на три ступеньки вверх, а число $-5$ означает, что надо спуститься на пять ступенек вниз. Номер ступеньки совпадает с такой командой, которая перемещает нас на эту ступеньку, если начинать движение с нуля.

Вычисления с целыми числами легко проделывать, просто мысленно прыгая вверх или вниз по ступенькам — если, конечно, не потребуется делать слишком большие прыжки. Но как быть, когда надо прыгнуть на сто или более ступенек? Ведь не будем же мы рисовать такую длиннющую лестницу!

А впрочем, почему бы и нет? Мы можем нарисовать длинную лестницу с такого большого расстояния, на котором отдельные ступеньки уже неразличимы. Тогда наша лестница превратиться просто в одну прямую линию. А чтобы ее удобнее было поместить на страницу, нарисуем ее без наклона и отдельно отметим положение ступеньки $0$.

Поучимся вначале прыгать по такой прямой на примере выражений, значения которых мы уже давно умеем вычислять. Пусть требуется найти

$40 + 50$.

Строго говоря, раз уж мы имеем дело с целыми числами, то нам следовало бы написать

$+40 + 50$,

но у положительного числа, стоящего в начале строки, знак «$+$» обычно не ставят. Прыжки по лестнице выглядят приблизительно так:

 

Вместо двух больших прыжков нарисованных над прямой ($+40$ и $+50$), можно сделать один прыжок, нарисованный под прямой, причем длина этого прыжка, конечно, равна

$40 + 50 = 90$.

Такого рода рисуночки на математическом языке принято называть диаграммами. Вот как выглядит диаграмма для привычного нам примера на вычитание

$90 - 50 = 40$:

Вначале мы сделали большой прыжок вправо, потом прыжок поменьше влево. В результате мы так и остались справа от нуля. Но возможна и другая, менее привычная ситуация, как, например, в случае выражения

$50 - 90$:

На этот раз прыжок влево оказался длиннее прыжка вправо: мы перелетели через ноль и оказались в «подвале» — там, где находятся ступеньки с отрицательными номерами. Вглядимся попристальнее в наш прыжок влево. Всего мы преодолели $90$ ступенек. После того как мы преодолели $50$ ступенек, мы поравнялись с отметкой $0$. Спрашивается сколько ступенек мы предолели после этого? Ну, конечно

$90 - 50 = 40$.

Таким образом, оказавшись на ступеньке $0$, мы спустились вниз еще на $40$ ступенек, а значит, в конце концов мы пришли на ступеньку с номером $-40$. Итак,

$50 - 90 = -(90 - 50) = -40$.

Подобным же образом, рисуя диаграммы, легко установить что

$-40 - 50 = -(40 + 50) = -90$;

 

а также

$-90 + 50 = -(90 - 50) = -40$;

 

и, наконец,

$-50 + 90 = 90 - 50 = 40$.

Таким образом, мы научились свободно путешествовать по всей лестнице целых чисел.

Рассмотрим теперь такую задачу. Денис и Матвей обмениваются фантиками. Вначале Денис дал Матвею $3$ фантика, а потом взял у него $5$ фантиков. Сколько фантиков в итоге получил Матвей?

Для начала удобно рассчитать «прибыль» Дениса:

$-3 + 5 = 2$.

Но раз Денис получил $2$ фантика, то Матвей получил $-2$ фантика. К прибыли Дениса мы приписали минус и получили прибыль Матвея. Наше решение можно записать в виде единственного выражения

$-(-3 + 5) = -2$.

Тут всё просто. Но давайте слегка видоизменим условие задачи. Пусть Денис дал сперва Матвею $5$ фантиков, а потом взял у него $3$ фантика. Спрашивается, опять-таки, сколько фантиков в итоге получил Матвей?

Снова вначале рассчитаем «прибыль» Дениса:

$-5 + 3 = -2$.

Значит, Матвей получил $2$ фантика. Но как теперь наше решение записать в виде единственного выражения? Что бы такое приписать к отрицательному числу $-2$, чтобы получить положительное число $2$? Оказывается, и на этот раз надо приписать знак минус. Математики очень любят единообразие. Они стремятся к тому, чтобы решение похожих задач записывались в виде похожих выражений. В данном случае решение выглядит так:

$-(-5 + 3) = -(-2) = +2$.

Так уж математики договорились: если к положительному числу приписать минус, то оно превращается в отрицательное, а если к отрицательному числу приписать минус, то оно превращается в положительное. Это очень логично. В конце концов, спуститься на минус две ступеньки вниз это то же самое, что подняться на плюс две ступеньки вверх. Итак,

$-(+2) = -2$;
$-(-2) = +2$.

Говорят, что число $-2$ противоположно числу $+2$, а число $+2$ противоположно числу $-2$. Таким образом, противоположные числа отличаются знаком, стоящим перед ними. Для полноты картины отметим еще, что

$+(+2) = +2$;
$+(-2) = -2$.

Это дает нам возможность по-новому взглянуть на давно привычные вещи. Пусть дано выражение

$5 - 3$.

Смысл этой записи можно представлять себе по-разному. Можно, как это мы делали раньше, представить себе, что у нас есть кучка из пяти конфет, из которых мы потом съедаем три. На научном языке это называется: мы применяем операцию вычитания к натуральным числам $5$ и $3$. Но теперь мы знаем, что точно такая же запись получается, если просто выписать рядом друг с другом целые числа $+5$ и $-3$, и это означает, что, прыгнув сперва от нуля на ступеньку номер $5$, мы спускаемся потом на $3$ ступеньки вниз. Спрашивается, какую арифметическую операцию мы при этом выполняем? Однозначного ответа на этот вопрос нет.

 

Вполне позволительно считать, что из положительного числа $+5$ отнимается положительное число $+3$:

$(+5) - (+3)$.

В этом случае $+5$ называется уменьшаемым, $+3$ — вычитаемым, а всё выражение — разностью. Именно так учат в школе. Однако слова «уменьшаемое» и «вычитаемое» нигде, кроме школы, не употребляются, и их можно забыть после итоговой контрольной работы. Вместе с тем, про эту же самую запись можно сказать, что к положительному числу $+5$ прибавляется отрицательное число $-3$:

$(+5) + (−3)$.

Числа $+5$ и $-3$ называются слагаемыми, а всё выражение — суммой. В данной сумме только два слагаемых, но, вообще, сумма может состоять из скольких угодно слагаемых. Подобным же образом, выражение

$5 + 3$

можно с одинаковым правом рассматривать как сумму двух положительных чисел:

$(+5) + (+3)$,

и как разность положительного и отрицательного чисел:

$(+5) − (−3)$.

После того как мы познакомились с целыми числами, нам обязательно надо уточнить правила раскрытия скобок. Если перед скобками стоит знак «$+$», то такие скобки можно просто стереть, и все числа в них сохраняют свои знаки, например:

$+(+2) = +2$;
$+(-2) = -2$;
$+(-3 + 5) = -3 + 5$;
$+(-3 - 5) = -3 - 5$;
$+(5 - 3) = 5 - 3$ 
и так далее.

Если же перед скобками стоит знак «$-$», то стирая скобку, мы должны также поменять знаки у всех слагаемых, стоявших в ней:

$-(+2) = -2$;
$-(-2) = +2$;
$-(-3 + 5) = +3 - 5 = 3 - 5$;
$-(-3 - 5) = +3 + 5 = 3 + 5$;
$-(5 - 3) = -(+5 - 3) = -5 + 3$ 
и так далее.

При этом полезно держать в голове задачу про обмен фантиками между Денисом и Матвеем. Например, последнюю строчку можно получить так. Считаем, что Денис вначале взял $5$ фантиков у Матвея, а потом еще $-3$. Всего Денис получил $5 - 3$ фантиков, а Матвей — то же самое число, но с противоположным знаком, то есть $-(5 - 3)$ фантиков. Но ведь эту же задачу можно решить и другим способом, имея в виду, что всякий раз, когда Денис получает, Матвей отдает. Значит, вначале Матвей получил $-5$ фантиков, а потом еще $+3$, что в итоге дает $-5 + 3$.

Подобно натуральным числам, целые числа можно сравнивать между собой. Зададимся, например, вопросом: какое число больше: $-3$ или $-1$? Посмотрим на лестницу с целыми числами, и сразу станет ясно, что $-1$ больше, чем $-3$, и, значит, $-3$ меньше, чем $-1$:

$-1 > -3$;
$-3 < -1$.

А теперь давайте уточним: насколько $-1$ больше, чем $-3$? Иными словами, на сколько ступенек надо подняться, чтобы перейти со ступеньки $-3$ на ступеньку $-1$? Ответ на этот вопрос можно записать в виде разности чисел $-1$ и $-3$:

$- 1 - (-3) = -1 + 3 = 3 - 1 = 2$.

Прыгая по ступенькам, легко проверить, что это так. А вот еще один любопытный вопрос: насколько число $3$ больше числа $5$? Или, что то же самое: на сколько ступенек надо подняться вверх, чтобы перейти со ступеньки $5$ на ступеньку $3$? Еще недавно этот вопрос поставил бы нас в тупик. Но теперь мы легко можем выписать ответ:

$3 - 5 = -2$.

Действительно, если мы находимся на ступеньке $5$ и поднимемся вверх еще на $-2$ ступеньки, то окажемся как раз на ступеньке $3$.

Конспект

1. Натуральные числа — это

${1, 2, 3, ...}$

Целые числа — это

${..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}$

Числа со знаком «$+$» называются положительными, числа со знаком «$-$» называются отрицательными. Знак «$+$» перед положительным числом может быть опущен. Целые положительные числа — это то же самое, что и натуральные числа.

2. Целые числа удобно представлять себе как номера ступенек лестницы. Лестничная площадка, расположенная вровень с землей, имеет номер $0$. Ступеньки, ведущие от нуля наверх, нумеруются положительными числами. Ступеньки, ведущие вниз, — отрицательными. По-другому целые числа можно представлять себе как команды, задающие прыжки по лестнице: $+3$ — это прыжок на три ступеньки вверх, $-5$ — это прыжок на пять ступенек вниз. Номер ступеньки совпадает с такой командой, которая перемещает нас на эту ступеньку, если начинать движение с нуля.

3. Целые числа, выписанные подряд, задают скачки, следующие друг за другом. Например, запись ${-5 + 9}$ означает, что мы прыгнули сначала от нуля на $5$ ступенек вниз, а потом поднялись на $9$ ступенек вверх. Равенство $-5 + 9 = 4$ означает, что в результате этих прыжков мы оказались на ступеньке номер $4$.

4. Если приписать перед числом знак «$-$», то оно превращается в противоположное:

${-(+2) = -2}$,   ${-(-2) = +2}$.

Если приписать перед числом знак «$+$», то оно не изменится:

${+(+2) = +2}$,   ${+(-2) = -2}$.

Фразы, содержащие отрицательные числа меняют свой смысл на противоположный. «Подняться за $-2$ ступеньки вверх» означает «спуститься за (плюс) $2$ ступеньки вниз». «Спуститься за $-2$ ступеньки вниз» означает «Подняться за (плюс) $2$ ступеньки вверх».

5. Когда мы имеем дело с целыми числами, одно и то же действие можно представить как в виде сложения, так и в виде вычитания.

Сложение: ${(+5) + (-3) = 5 - 3 = 2}$;
оно же вычитание: ${(+5) - (+3) = 5 - 3 = 2}$.

Сложение: ${(+5) + (+3) = 5 + 3 = 8}$;
оно же вычитание: ${(+5) - (-3) = 5 + 3 = 8}$.

Между сложением и вычитанием часто не делают различий, называя и то, и другое сложением, имея в виду, что каждое из слагаемых может быть как положительным, так и отрицательным.

6. Правило раскрытия скобок: если перед скобкой стоит знак «$+$», то скобку можно стереть, оставив ее содержимое без изменений:

${+(-3 + 5) = -3 + 5}$;

если перед скобкой стоит знак «$-$», то, стирая ее, мы должны поменять знаки перед всеми слагаемыми, входящими в скобку:

${-(-3 + 5) = +3 - 5}$.

7. Целые числа можно сравнивать между собой, например: ${-1 > -3}$ и ${-3 < -1}$. Чтобы узнать, насколько $-1$ больше, чем $-3$, надо из числа $-1$ вычесть число $-3$:

${(-1) - (-3) = 2}$.

Это значит, что, для того чтобы со ступеньки $-3$ перемеситься на ступеньку $-1$, надо подняться на $2$ ступеньки вверх.

Задачи

2.3.1. Какой смысл имеют следующие фразы?

— Денис дал папе минус три конфеты.

— Матвей старше Дениса на минус два года.

— Чтобы попасть в нашу квартиру, надо спуститься на минус два этажа вниз.

И т.п.

2.3.2. Имеют ли смысл такие фразы?

— У Дениса минус три конфеты.

— На лугу пасется минус две коровы.

Замечание. Эта задача не имеет однозначного решения. Не будет, конечно, ошибкой утверждать, что данные высказывания бессмысленны. И в то же время им можно придать вполне ясный смысл. Допустим, у Дениса есть большая коробка, доверху наполненная конфетами, но содержимое этой коробки — не в счет. Или допустим, что две коровы из стада не вышли пастись на луг, а по какой-то причине остались в коровнике. Стоит иметь в виду, что и самые привычные фразы могут оказаться неоднозначными:

— У Дениса три конфеты.

Это высказывание не исключает, что у Дениса припрятана где-то еще огромная коробка с конфетами, но о тех конфетах просто умалчивается. Точно так же, когда я говорю: «У меня пять рублей», — я не имею в виду, что это и есть всё мое состояние.

2.3.3. Кузнечик прыгает по лестнице, начиная с этажа, где находится квартира Дениса. Сначала он прыгнул на $2$ ступеньки вниз, потом на $5$ ступенек вверх, и наконец на $7$ ступенек вниз. На сколько ступенек и в каком направлении переместился кузнечик?

2.3.4. Найти значения выражений:

$- 6 + 10$;
$- 28 + 76$;
и т.п.

Образец:

$- 6 + 10 = 10 - 6 = 4$.

2.3.5. Найти значения выражений:

$8 - 20$;
$34 - 98$;
и т.п.

Образец:

$8 - 20 = - (20 - 8) = - 12$.

2.3.6. Найти значения выражений:

$- 4 - 13$;
$- 48 - 53$;
и т.п.

Образец:

$- 4 - 13 = - (4 + 13) = - 17$.

2.3.7. Для следующих выражений найти значения, проводя вычисления в том порядке, который задается скобками. Затем раскрыть скобки и убедиться, что значения выражений остались прежними. Составить задачи про конфеты, которые решаются таким образом.

$25 - (-10 + 4)$;
$25 + (- 4 + 10)$;
и т.п.

Образец:

${25 - (- 10 + 4) = 25 - (-(10 - 4)) = 25 - (-6) = 25 + 6 = 31}$.

${25 - (- 10 + 4) = 25 + 10 - 4 = 35 - 4 = 31}$.

«У Дениса было $25$ конфет. Он отдал папе минус десять конфет, а Матвею четыре конфеты. Сколько конфет у него стало?»

Примеры из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Сложение и вычитание трехзначных целых чисел

Сложение и вычитание шестизначных целых чисел

Простейшие задачи с целыми числами