2.1. Выражения, равенства, неравенства

На бумаге написан пример на сложение:

$3 + 2 = 5$.

Как это можно прочитать? До сих пор мы обычно говорили: «Три плюс два равно пять». Но можно сказать и по-другому. Например:

— Три и два — это пять.

— К трем прибавить два будет пять.

— Складываем три и два, в результате получаем пять.

— Три увеличить на два станет пять.

— Сумма чисел три и два равна пяти.

Кстати, «роли», которые играют числа в этой записи, имеют такие названия:

 Подобным же образом пример на вычитание

$5 - 2 = 3$

читается не только как «пять минус два равно три», но и как:

— Пять без двух — это три.

— От пяти отнять два будет три.

— Из пяти вычесть два получится три.

— Пять уменьшить на два составит три.

— Разность чисел пять и два равна трем.

— Если уменьшаемое равно $5$, а вычитаемое равно $2$, то разность равна $3$.

«Роли» чисел в примерах на вычитание называются так:

В бытовом языке символ «$=$» допустимо читать как «будет» или «получится». Однако, следует иметь в виду, что на самом деле символ «$=$» означает «это столько же, сколько». Ведь можно написать не только так:

$4 + 3 = 7$,

но и так:

$7 = 4 + 3$:

Семь — это столько же, сколько четыре плюс три.

Рассмотрим такую ситуацию. У Дениса есть $5$ конфет. Его младший брат Матвей просит:

— Поделись, пожалуйста, со мной.

Денис раскладывает конфеты на две кучки. Одну кучку оставляет себе, другую дает Матвею. Спрашивается: как $5$ конфет можно поделить на две кучки? Возможные ответы:

$5 = 1 + 4$ (Денис оставляет одну конфету себе, а четыре дает Матвею);
$5 = 2 + 3$;
$5 = 3 + 2$;
$5 = 4 + 1$.

Но это еще не все возможные варианты. Может оказаться так, что Денису эти конфеты вообще не нравятся, и он все их отдает Матвею:

$5 = 0 + 5$.

А, может быть, Денис вовсе не захочет делиться конфетами, и тогда следует написать так:

$5 = 5 + 0$.

Все эти ответы можно объединить в одну строчку:

$5 = 0 + 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5 + 0$.

Допустим, что какой-нибудь взрослый дядя — непрошеный экзаменатор — спросит у Дениса:

— Считать умеешь? А ну-ка сложи два и три, чему это равно?

Денис теперь смело может ответить:

— Это равно три плюс два.

И Денис будет совершенно прав. Действительно,

$2 + 3 = 3 + 2$.

Но как же тогда грамотно попросить вычислить «два плюс три», чтобы ответом было одно-единственное число?

Грамотный вопрос звучит так:

— Чему равно значение выражения ${2 + 3}$?

Математическим выражением называется всё, про что можно спросить: «Это сколько? Какому числу это равно?» Мы уже встречались с такими выражениями, как «${2 + 3}$», «$5 - 2$». Числа сами по себе тоже являются выражениями. Ведь не будет ошибкой утверждать, что

$2 = 2$.

Значит, «$2$» — это выражение.

Ответ на вопрос: «Это сколько? Какому числу это равно?» — называется значением выражения. Например, значением выражения «${2 + 3}$» является «$5$». Записывается это уже знакомым нам способом:

$2 + 3 = 5$.

Если два выражения имеют одно и то же значение, то между ними ставится знак «$=$» и полученная запись называется равенством, например:

$1 + 4 = 2 + 3$;
$7 = 2 + 5$.

Мы уже знаем, что равенства могут образовывать цепочки:

$5 = 0 + 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5 + 0$.

Если два выражения имеют разные значения, то ставить знак равенства «$=$» между ними было бы неверно, но можно поставить другой знак, а именно «$\ne$». Например,

$1 \ne 2$ (читается: один не равен двум);
$3 + 2 \ne 4$ (три плюс два не равно четырем);
$10 \ne 7 - 3$ (десять не равно семи минус три).

Такие записи называются неравенствами. Однако такого рода неравенства часто оставляют некоторую неудовлетворенность. Вряд ли Денис скажет:

— Мой возраст неравен возрасту Матвея.

Скорее всего, он выразится так:

— Я старше Матвея. Мне больше лет, чем ему. Матвей младше меня. Ему меньше лет, чем мне.

Мы знаем, что Денису $7$ лет, а Матвею $5$. Мы можем записать так:

$7 > 5$ (читается: семь больше пяти; или: семь больше, чем пять)

или же:

$5 < 7$ (пять меньше семи; пять меньше, чем семь).

Через три года оба будут взрослее, но Денис так и останется старше Матвея:

$7 + 3 > 5 + 3$ (семь плюс три больше, чем пять плюс три);
$5 + 3 < 7 + 3$ (пять плюс три меньше, чем семь плюс три).

Записи, в которых присутствует символ «$>$» («больше») или «$<$» («меньше») тоже называются неравенствами. Неравенства могут образовывать цепочки:

$0 < 1 < 2 < 3$;
$3 > 2 > 1 > 0$.

Допустимы также смешанные цепочки, в которых присутствуют как равенства, так и неравенства. Пусть, например, спрашивается: что больше:

$7 + 3$ или $5 + 3$?

Ответ на этот вопрос удобно представить в следующем виде:

$7 + 3 = 10 > 8 = 5 + 3$.

Вероятно, иногда Денису захочется сказать так:

— Я старше Матвея на два года. Мне на два года больше, чем ему. Матвей младше меня на два года. Ему на два года меньше, чем мне.

Чтобы это записать с помощью чисел, снова понадобятся равенства. Такую запись можно сделать разными способами:

$7 = 5 + 2$;
$5 = 7 - 2$;
$2 = 7 - 5$.

Теперь поговорим о словах, которые принято употреблять, когда мы говорим об умножении и делении нацело. Пусть дан пример на умножение

$3 \cdot 5 = 15$.

 Эту запись можно прочитать следующими разными способами:

$3$ умножить на $5$ равно $15$;
произведение чисел $3$ и $5$ равно $15$;
число $3$ увеличили в $5$ раз и получили $15$;
число $5$ увеличили в $3$ раза и получили $15$;
число $15$ в $5$ раз больше числа $3$;
число $15$ в $3$ раза больше числа $5$.

«Роли» в примерах на умножение распределяются таким образом:

В школе произведения всех чисел, которые меньше или равны десяти, записывают в виде большой скучной таблицы, называемой таблицей умножения. Эту таблицу заставляют учить наизусть. Для облегчения зубрежки, в русском языке для произведений из таблицы умножения имеются специальные названия, например,

$2 \cdot 2$ — дважды два;
$3 \cdot 6$ — трижды шесть;
$4 \cdot 5$ — четырежды пять;
$5 \cdot 8$ — пятью восемь
и тому подобное.

Рассмотрим теперь деление нацело:

$15 / 3 = 5$.

Прочесть эту запись можно так:

$15$ поделить на $3$ равно $5$;
$15$ разделить на $3$ равно $5$;
частное от деления числа $15$ на число $3$ равно $5$;
отношение чисел $15$ и $3$ равно $5$;
число $5$ в $3$ раза меньше числа $15$.

«Роли» в примерах на деление распределяются так:

О сложении, вычитании, умножении и делении часто говорят как о четырех арифметических действиях или же четырех арифметических операциях. (Арифметикой называется раздел математики, занимающийся числами и действиями с ними.) При этом под делением понимается не только деление нацело, но и более общий способ деления, с которым мы познакомимся позже.

Конспект

1. Математическим выражением называется всё, про что можно спросить: «Это сколько? Какому числу это равно?» Ответ на этот вопрос называется значением выражения. Число, само по себе, также является выражением.

2. Между выражениями с одинаковым значением ставится знак равенства «$=$». Полученная запись называется равенством. Между выражениями с разными значениями ставится знак «$\ne$», а также знаки «$<$» («$меньше$») или «$>$» («$больше$»). Такие записи называются неравенствами.

3. Понятия «больше на», «меньше на», «больше в», «меньше в». Пусть дано число $6$.

Число, которое на $2$ больше, — это ${6 + 2 = 8}$.

Число, которое на $2$ меньше, — это ${6 - 2 = 4}$.

Число, которое в $3$ раза больше, — это ${3 \cdot 6 = 6 \cdot 3 = 18}$.

Число, которое в $3$ раза меньше, — это ${6 / 3 = 2}$.

4. Четыре арифметические действия (операции) и «роли их участников»:

Сложение: первое слагаемое $+$ второе слагаемое = сумма

Вычитание: уменьшаемое $-$ вычитаемое = разность

Умножение: первый (со)множитель $\cdot$ второй (со)множитель = произведение

Деление: делимое / делитель $=$ частное

Задачи

2.1.1. Какие два числа надо сложить, чтобы результат был равен четырем? Выписать все возможные ответы.

2.1.2. Какое число надо вычесть из какого, чтобы результат был равен двум? Написать один из возможных ответов.

2.1.3. Указать, что из следующих записей является выражением, что равенством, что неравенством, что бессмыслицей. Какие из равенств и неравенств являются верными, а какие нет?

$1$ 
$10$ 
$10 +$ 
$10 + 8$ 
$10 + 8 =$ 
$10 + 8 = 1$ 
$10 + 8 = 18$ 
$2$ 
$25$ 
$25 -$ 
$25 - 5$ 
$25 - 5 >$ 
$25 - 5 > 1$ 
$25 - 5 > 10$ 
$25 - 5 > 10 +$ 
$25 - 5 > 10 + 2$ 
$25 - 5 > 10 + 20$ 

2.1.4. Найти значение выражений

$37 + 54$,
$98 - 73$ 
и т.п.

2.1.5. Сравнить выражения (поставить между ними знак «$=$», «$>$» или «$<$»):

$45 + 18 ~\underline{\phantom{\ldots}}~ 71 - 16$,
$78 - 14 ~\underline{\phantom{\ldots}}~ 13 + 56$ 
и т.п.

Пример записи решения:

$63 = 45 + 18 > 71 − 16 = 55$.

2.1.6. У Дениса $25$ конфет, а у Матвея на $3$ конфеты меньше. Сколько конфет у Матвея?

2.1.7. У Дениса $25$ конфет, а у Матвея на $3$ конфеты больше. Сколько конфет у Матвея?

2.1.8. У Дениса $25$ конфет, а у Матвея $23$ конфеты. У кого конфет больше и насколько?

2.1.9. У Дениса $33$ конфеты, а у Матвея $35$ конфет. У кого конфет меньше и насколько?

2.1.10. У Дениса было $25$ конфет, а у Матвея было $23$ конфеты. Денис съел 4 конфеты. У кого конфет теперь больше и насколько?

2.1.11. (Маленькая провокация) У Дениса было $25$ конфет, а у Матвея было $23$ конфеты. Денис съел $2$ конфеты. У кого конфет теперь меньше и насколько?

2.1.12. У Дениса было $25$ конфет, а у Матвея $23$ конфеты. Денис съел $14$ конфет, а Матвей съел $10$ конфет. У кого конфет стало больше и насколько?

2.1.13. Папа дал Денису $10$ конфет, а Матвею $5$ конфет. Матвей сказал: «Так нечестно», — и попросил Дениса поделиться с ним еще конфетами. После этого Денис дал Матвею $2$ конфеты. Стало ли у них конфет поровну? Если нет, у кого больше и насколько?

2.1.14. Денису $7$ лет, а Матвею $5$ лет. Сколько лет будет Матвею, когда Денису будет $10$ лет? Сколько лет будет Денису, когда Матвею будет $10$ лет?

2.1.15. У Дениса $20$ конфет, а у Матвея в два раза меньше. Сколько конфет у Матвея?

2.1.16. У Дениса $5$ конфет, а у Матвея в $3$ раза больше. Сколько конфет у Матвея?

2.1.17. Начиная с этого этапа, задачи можно брать из пособий и задачников, официально рекомендованных для школьников и продающихся в книжных магазинах. Однако такие задачи часто сформулированы весьма заумно и требуют дополнительного редактирования. Например, имеется следующая задача (О. В. Узорова. 3000 задач и примеров по математике: 3-4 кл. Москва, 2001):

«Камни, которые врезаются в атмосферу Земли и полностью в ней сгорают, называются метеорами. Они загораются на высоте $100$ км, и, горя, летят еще $30$ км. Сколько километров до Земли остается пролететь пыли и пеплу от этого метеора?»

Если предложить ребенку задачу именно в таком виде, то есть риск погрязнуть в объяснениях относительно того, откуда берутся метеоры, чем они отличаются от метеоритов, что такое атмосфера, почему тела нагреваются при трении о воздух, и, вообще, как устроена Вселенная. Это всё вещи, конечно, интересные, но, раз уж мы решили заниматься математикой, то лучше ту же самую задачу перевести на более привычный язык. Вот один из возможных вариантов:

«От подъезда дома до магазина, где продается мороженое, $100$ шагов. Папа отправился в магазин, чтобы купить Денису мороженое. Он прошел уже $30$ шагов. Сколько шагов ему осталось пройти?»

Примеры из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Простейшие задачи в одно действие (формальные)

Простые задачи на понятие «больше/меньше на/в»