4.13. Уравнения прямых на координатной плоскости

Давайте рассмотрим такие функций, графики которых имеют вид прямых. Простоты ради, мы будем иметь дело с безразмерными величинами, а значит, в качестве осей у нас будут выступать простые числовые прямые, и все наши чертежи мы будем делать на обычной координатной плоскости.

Прямая, проходящая через начало координат

Построение графика по заданной функции

Пусть переменная \(y\) пропорциональна переменной \(x\) с коэффициентом пропорциональности \(k\):

\(y = k\,x.\)

Давайте договоримся, что \(x\) здесь — это независимая переменная, а \(y\) — зависимая. Коэффициент \(k\) играет роль константы (параметра). В таких случаях говорят, что \(y\) является (однородной) линейной функцией от \(x\). Графиком этой функции, как мы хорошо знаем, является прямая, проходящая через начало координат \((0, 0)\). Для построения этой прямой нам достаточно определить еще какую-либо одну ее точку \((x_1, y_1)\). Для этого положим, например, \(x_1 = 1\). Тогда \(y_1 = k \cdot 1 = k\). Проводим через эту точку и начало координат прямую линию. Это и есть график функции \(y\) от \(x\). Так, по крайней мере, обстоит дело в теории, а на практике точку \((x_1, y_1)\) лучше брать настолько далеко от начала координат, насколько позволяет чертеж. В этом стучае прямую удается провести наиболее точно. Ниже приведен пример такого построения для функции  \(y=\frac{1}{2} x\).

 

Восстановление функции по графику

Решим теперь обратную задачу. Пусть на координатной плоскости с осями \(x\) и \(y\) нам дана прямая, проходящая через начало координат. Спрашивается: графиком какой функции она является? При этом подразумевается, что функция должна быть задана в виде формулы, связывающей переменные \(x\) и \(y\). Такая формула носит название уравнения графика функции. В данном случае речь идет об уравнении прямой, проходящей через точку \((0,0)\).

Заранее ясно, что это уравнение имеет вид

\(y = k\,x.\)

От нас фактически только требуется найти значение константы \(k\). Для этого отметим на прямой произвольную точку, отличную от \((0,0)\), и определим ее координаты \((x_1, y_1).\) Эти координаты, очевидно, связаны соотношением

\(y_1 = k\,x_1.\)

Отсюда находим:

\(k = \cfrac{y_1}{x_1}.\)

При этом следует особо подчеркнуть, что константа \(k\) не зависит от выбора точки \((x_1, y_1).\) Какую бы точку на прямой мы не выбрали в качестве \((x_1, y_1),\) мы придем к одному и тому же значению \(k\). Таким образом,

\(y = \cfrac{y_1}{x_1} x.\)

Пример нахождения уравнения прямой приведен на следующем рисунке.

 

Отметим два особых случая. Во-первых, прямая может совпасть с осью \(x\). Тогда значение \(y\) остается постоянным и равным нулю на всем ее протяжении. Тем не менее наше общее решение остается в силе. При этом оказывается, что \(k = 0\) и переменную \(y\) можно всё еще формально считать функцией от \(x\):

\(y = 0 \cdot x.\)

Во-вторых, прямая может совпасть с осью \(y\). В этом случае в каждой ее точке \(x = 0\). Формула для константы \(k\) оказывается неприменимой, потому что число \(x_0\), стоящее в знаменателе, обращается в нуль. Приходится признать, что мы не можем подобрать такую функцию \(y\) от \(x\), которая имела бы подобный график. Разве что, мы можем теперь принять \(y\) за независимую переменную и формально рассматривать \(x\) как функцию от \(y{:}\)

\(x = 0 \cdot y.\)

Несложно убедиться, что всякая точка, лежащая на оси \(y\), удовлетворяет этому равенству. Заметим, что если бы мы захотели написать уравнение прямой, проходящей через начало координат, в самом общем виде, то мы могли бы это сделать так:

\(x_1 y = y_1 x.\)

Это соотношение между \(x\) и \(y\) остается справедливым в обоих рассмотренных частных случаях, однако выбор параметров не является однозначным, так как в качестве пары чисел \((x_1, y_1)\) можно взять координаты любой точки, принадлежащей прямой.

Произвольная прямая

Восстановление функции по графику

Начнем с обратной задачи. Пусть теперь на координатной плоскости дана произвольная прямая, не проходящая через начало координат. Вопрос нас будет интересовать всё тот же: графиком какой функции она является или, короче говоря, каково уравнение этой прямой?

 

Отметим на прямой две любые несовпадающие точки и обозначим их координаты через \((x_0, y_0)\) и \((x_1,y_1)\). Поместим в точку \((x_0, y_0)\) начало новой системы координат с осями \(x'\) и \(y'\), сонаправленными с соответствующими осями \(x\) и \(y\) старой системы.

 

Тогда координаты другой отмеченной точки в новой системе окажутся равны

\(\begin{pmatrix} x_1' \\ y_1' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - x_0 \\ y_1 - y_0\end{pmatrix}.\)

Вообще, как мы знаем, новые («штрихованные») координаты любой точки связаны со старыми («нештрихованными») координатами соотношением

\(\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - x_0 \\ y - y_0\end{pmatrix}.\)

Наша прямая проходит через начало координат новой системы, поэтому мы можем сразу же выписать ее уравнение в «штрихованных» переменных:

\(y' = k\,x',\)   где  \(k = \cfrac{y_1'}{x_1'}.\)

Переходя к «нештрихованным» переменным, получаем

\(y-y_0 = k \cdot (x - x_0),\)   где  \(k = \cfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0},\)

или же  

\(y-y_0 = \cfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0} (x-x_0).\)

Что и решает поставленную задачу.

При желании, можно еще выразить функцию \(y\) от \(x\) в явном виде:

\(y = k\,x - k\,x_0 + y_0\)

или

\(y = k\,x + b,\)    где   \(b = - k\,x_0 + y_0.\)

Значения констант \(k\) и \(b\) не зависят от выбора точек \((x_0, y_0)\) и \((x_1,y_1)\). Какие бы точки на заданной прямой мы не взяли, мы всегда придем к одним и тем же значениям \(k\) и \(b\). Заметим, что из-за дополнительного слагаемого \(b\) переменные \(x\) и \(y\) не пропорциональны друг другу. Поэтому константа \(k\) называется теперь не коэффициентом пропорциональности, как это было раньше, а угловым коэффициентом. Название это происходит от того, что значение \(k\) тесно связано с углом наклона прямой по отношению к оси \(x\). Чем круче идет прямая, тем больше ее угловой коэффициент.

Константу \(b\) иногда называют свободным членом. Как легко видеть, переменная \(y\) равна \(b\) при \(x = 0\). Иными словами, \(b\) — это точка на оси \(y\), в которой эта ось пересекается с нашей прямой. Если \(b = 0\), то прямая проходит через начало координат, и мы возвращаемся к частному случаю, рассмотренному ранее.

Из наших рассуждений следует, что любая прямая на координатной плоскости может быть описана уравнением вида

\(y = k\,x + b\)

при подходящем выборе констант \(k\) и \(b\). Единственным исключением является особый случай, когда в выражении для углового коэффициента  \(k = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\)  знаменатель обращается в ноль. Это происходит, если \(x_1 = x_0\). Это значит, что прямая перпендикулярна оси \(x\) (и соответственно параллельна оси \(y\)). При таких обстоятельствах \(x\) неизбежно утрачивает роль независимой переменной, но может формально рассматриваться как функция от \(y\):

\(x = 0 \cdot (y - y_0) + x_0.\)

В совершенно общем виде уравнение прямой можно написать следующим образом:

\((x_1-x_0) (y-y_0) = (y_1-y_0) (x-x_0).\)

При этом, однако, выбор двух пар параметров \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) (которые, по смыслу, являются координатами двух произвольных точек, лежащих на прямой) неоднозначен.

Построение графика по заданной функции

Теперь давайте выясним, как построить график неоднородной линейной функции \(y\) от \(x\), которая определяется как

\(y = k\,x + b,\)

где \(k\) и \(b\) — любые действительные числа. Как мы только что выяснили, к такому виду сводится уравнение произвольной прямой (при условии, что она не параллельна оси \(y\)). Строго говоря, это не исключает, что при некоторых значения параметров \(k\) и \(b\) график этой функции может отличаться от прямой линии. Давайте убедимся, что этого никогда не происходит. Перепишем данное нам уравнение следующим образом:

\((y - b) = k\cdot (x-0),\)

Если перейти в новую, штрихованную, систему координат с началом в точке \((0, b)\) и с осями \(x'\) и \(y'\), сонаправленными с соответствующими осями старой системы, то в новых координатах уравнение примет вид:

\(y' = k\,x'.\)

Мы получим тогда не что иное, как уравнение пропорциональной зависимости, которое гарантировано задает прямую линию. Значит, и график неоднородной линейной функции

\(y = k\,x + b\)

представляет собой прямую линию при любых значениях параметров \(k\) и \(b\). Но для того, чтобы построить прямую, достаточно знать две ее произвольные точки \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\). В качестве \(x_0\) и \(x_1\) можно взять, например, соответственно ноль и единицу. Тогда

\(y_0 = b\)          (при  \(x_0 = 0\)),
\(y_1 = k+b\,\)  (при  \(x_1 = 1\)).

Проводим прямую через точки \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) — и задача решена. На практике, впрочем, лучше брать такие точки, которые расположены друг от друга по возможности дальше, насколько позволяет чертеж. Пример графика неоднородной линейной функции со значением параметров \(k = \frac{1}{3}\) и \(b = 1\) представлен на следующем рисунке.

 

Конспект

\(1\). Линейная функция \(y = k\,x + b\) называется однородной при \(b = 0\) и неоднородной при \(b \ne 0.\) Ее график на координатной плоскости представляет собой прямую линию, которая строится по двум произвольным точкам.

\(2\). Уравнение прямой, проходящей через начало координат: \(y = \frac{y_1}{x_1} x,\) где \((x_1, y_1)\) — координаты произвольной точки, принадлежащей этой прямой \((x_1 \ne 0).\) Исключение: прямая совпадает с осью \(y\). Тогда уравнение прямой: \(x = 0.\)

\(3\). Уравнение произвольной прямой: \(y-y_0 = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} (x-x_0),\) где \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) — координаты двух различных произвольных точек, принадлежащих этой прямой. Исключение: прямая проходит через точку \((x_0, y_0)\) параллельно оси \(y\). Тогда уравнение прямой: \(x = x_0\).