4.12. Графики функций

С графиком функции мы уже однажды встречались — только мы так его не называли. Вспомним задачу про проволоку:

Задача \({\bf 4.12.1}\) (совпадает с задачей \(4.7.1\)). Два метра проволоки весят \(10\) г. Сколько весят пять метров такой проволоки?

Одно из графических решений этой задачи выглядело так:

 

Здесь пара прямых \(x\) и \(y\) очень похожа на прямоугольную систему координат. Фактически, тут есть только одно и притом не очень существенное отличие. В прямоугольной системе координат оси образуются числовыми прямыми: на них отложены безразмерные числа, причем единичный отрезок вдоль одной оси в точности равен по длине единичному отрезку вдоль другой оси. На данном же рисунке оси представляют собой независимые шкалы физических величин: по оси \(x\) отложена шкала длин, а по оси \(y\) — шкала масс. Принципиальное же сходство с прямоугольной системой координат заключается в том, что здесь каждую точку на плоскости также можно характеризовать координатами — парой чисел, первое из которых откладывается вдоль одной оси, а второе — по другой.

Для решения задачи мы отмечаем на плоскости рисунка точку \(P_1\) с координатами (\(2\) м, \(10\) г), в соответствии с условием, и затем проводим прямую \(p\) через точки \(O\) и \(P_1\). Теперь, если мы хотим узнать, сколько весят пять метров проволоки, мы находим на этой прямой такую точку \(P_2\), абсцисса которой равна указанным пяти метрам. Тогда ордината этой точки дает нам ответ на поставленный вопрос. Из рисунка сразу же наглядно видно, что \(5\) м проволоки весят \(25\) г. Аналогичным образом с помощью этого рисунка мы могли бы найти массу любого другого куска проволоки, если бы нам была дана его длина.

В подобных случаях говорят, что прямая \(p\) представляет собой график зависимости массы проволоки от ее длины. Поскольку в качестве осей графика у нас выступают прямые \(x\) и \(y\), то было бы очень удобно обозначить длину проволоки через \(x\), а ее массу — через \(y\). Тогда мы могли бы также сказать, что у нас на рисунке изображен график зависимости переменной \(y\) от переменной \(x\).

Впрочем, мы привыкли обозначать массу буквой \(m\), а длину — буквой \(L\). Чтобы не отступать от этой традиции, имеет смысл переобозначить соответствующим образом оси нашего графика. В результате он принимает такой вид:

 

Мы знаем, что рассматриваемая задача имеет также негеометрическое, «формульное» решение

\(m = \cfrac{\,10\,\textit{г}\,}{2\,\textit{м}} L,\)

которое также позволяет найти массу проволоки произвольной длины. В правой части этого равенства стоит математическое выражение, где помимо чисел присутствует еще переменная \(L\). Но мы когда-то уже договаривались, что выражения с переменными мы будем называть функциями. Теперь настало время уточнить, что такой способ задания функций называется явным. В данном случае мы имеем дело c явной функцией от независимой переменной \(L\). Независимой она называется потому, что может быть в принципе равна любому (неотрицательному) числу. В отличие от \(L\), буква \(m\) называется зависимой переменной, поскольку ее значение полностью предопределено значением \(L\). Вместо того, чтобы говорить «переменная \(m\) равна функции от \(L\)», также часто говорят: «переменная \(m\) является функцией от \(L\)», что вообще-то не совсем правильно, потому что переменная и функция — это всё же не одно и то же.

График зависимости \(m\) от \(L\), рассмотренный нами чуть выше, может быть также назван графиком функции \(m\) от \(L\). Горизонтальная шкала на графиках (ось абсцисс) обычно соответствует независимой переменной, а вертикальная шкала (ось ординат) — зависимой переменной, но это не обязательно: бывает и наоборот.

Как нам хорошо известно, в случае произвольной проволоки ее масса \(m\) и длина \(L\) связаны межу собой общим соотношением:

\(m = \rho L,\)

где \(\rho\) обозначает линейную плотность. Здесь масса \(m\) оказалась явной функцией сразу двух независимых переменных — не только \(L\), но и \(\rho\). Как теперь быть, если бы мы захотели нарисовать график такой функции? К сожалению, на плоском рисунке этого сделать весьма проблематично. Обычно на место одной из независимых переменных ставят какое-либо конкретное число. Например, в качестве \(\rho\) мы можем взять \(5\) г/м, как в рассмотренной задаче. Однако после того, как мы нарисуем график зависимости \(m\) от \(L\) при \(\rho = 5\) г/м, мы можем на том же самом чертеже построить график зависимости \(m\) от \(L\) при каком-либо другом значении \(\rho\), скажем, при \(\rho = 2,5\) г/м. А потом еще раз повторить наше построение для \(\rho = 10\) г/м. В результате мы получим семейство графиков:

 

Здесь возле каждого графика стоит значение \(\rho\), при котором он был получен. При этом роль независимых переменных \(L\) и \(\rho\) оказывается неодинаковой. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, переменную \(L\) в подобных случаях называют аргументом функции, а \(\rho\) — константой или параметром. Вообще, константа (параметр) — это буква, обозначающая некоторое число, которое остается неизменным в ходе наших рассуждений (или, по крайней мере, в ходе их какого-либо отдельного этапа). Вопрос о том, какая из имеющихся переменных является аргументом, а какая константой, решается не на основании каких-то общих математических законов, а исходя из конкретной задачи, которую мы рассматриваем в данный момент. Так, если у нас есть большой моток проволоки и мы отрезаем от него куски разной длины, то переменную длину \(L\) естественно считать аргументом, а линейную плотность \(\rho\), одинаковую для всех кусков, — константой (параметром).

Замечание. Вообще говоря, у функции может быть несколько аргументов и несколько параметров. Мы пока будем иметь дело только с функциями одного аргумента, не ограничивая, впрочем, число параметров.

Рассмотрим теперь другую задачу.

Задача \({\bf 4.12.2.}\) Кусок проволоки с линейной плотностью \(\rho_0 = 5\) г/м весит \(m_0 = 10\) г. Какова масса m куска проволоки такой же длины с линейной плотностью \(\rho = 7\) г/м?

Это — стандартная задача на пропорции. Но мы сейчас не будем выписывать пропорцию, а для разнообразия решим задачу другим способом. Обозначим одинаковую длину обоих кусков проволоки через \(L\). Тогда масса первого куска равна

\(m_0 = \rho_0 L.\)

Отсюда получаем:

\(L = \cfrac{m_0}{\rho_0} = \cfrac{10\,{\it г}}{5\,{\it г}/{\it м}} = 2\,{\it м}.\)

После этого находим искомую массу второго куска:

\(m = \rho L = \rho \cfrac{m_0}{\rho_0} = 7\,{\it г}/{\it м} \cdot 2\,{\it м} = 14\,{\it г}.\)

Задача решена.

Здесь в уравнении \(m = \rho L\) роль аргумента играет линейная плотность \(\rho\), а роль константы — длина проволоки \(L\). Графическое решение задачи имеет вид:

 

В обеих решенных нами задачах масса \(m\) являлась зависимой переменной. Но это опять-таки не предопределено математическими законами, а зависит от постановки вопроса. Рассмотрим третью задачу.

Задача \({\bf 4.12.3.}\) Кусок проволоки длиной \(L_0 = 2\) м и линейной плотностью \(\rho_0 = 6\) г/м переплавили и изготовили из него проволоку с линейной плотностью \(\rho = 3\) г/м. Какова длина \(L\) нового куска?

Эта задача — не на пропорции. Тем не менее решается она тоже очень просто. Вначале находим массу проволоки

\(m = \rho_0 L_0 = 6\,{\it г}/{\it м} \cdot 2\,{\it м} = 12\,{\it г},\)

а потом, исходя всё из той же общей формулы \(m = \rho L\), вычисляем ее новую длину

\(L = \cfrac{m}{\rho} = \cfrac{\rho_0 L_0}{\rho} = \cfrac{12\,{\it г}}{3\,{\it г}/{\it м}} = 4\,{\it м}.\)

Задача решена. Теперь, однако, роли между переменными распределены совсем не так, как раньше: длина \(L\) — это зависимая переменная, которая является функцией аргумента \(\rho\), а масса \(m\) представляет собой константу. Но всю информацию об этой функции мы фактически извлекли из исходного уравнения

\(m = \rho L,\)

которое, как говорят в подобных случаях, задает указанную функцию неявным образом. Можно также сказать, что в формуле \(m = \rho L\) переменная \(L\) является неявной функцией от \(\rho\). Математическая формула, сама по себе, не содержит указаний о том, какая именно из входящих в нее переменных является функцией от других. Это всегда определяется исходя из конкретных обстоятельств. Если переменная стоит отдельно в левой части формулы (подобно \(m\) в соотношении \(m = \rho L\)), это еще не гарантия того, что она является зависимой.

Теперь зададимся вопросом, нельзя ли решить третью задачу графически? Иными словами, нельзя ли построить график зависимости длины \(L\) проволоки от ее линейной плотности \(\rho\) при постоянной массе \(m\), равной \(\rho_0 L_0 = 12\) г:

\(L = \cfrac{12\,{\it г}}{\rho} .\)

Да, в принципе, это возможно. Искомое графическое решение выглядит так:

 

Несмотря на то, что график на этот раз является не прямой линией, а кривой, пользоваться им можно точно так же, как мы к этому уже привыкли. Допустим, нам хочется узнать длину \(L\) проволоки с линейной плотностью \(3\) г/м. Находим на кривой такую точку, абсцисса которой равна данному значению плотности, и тогда ее ордината окажется равна искомой длине \(L\). Аналогичным образом, глядя на рисунок, можно определить длину любого другого куска проволоки, если нам известна его линейная плотность.

Но спрашивается, как строятся такие графики? Обычно это делается так. Вначале составляется таблица:

 

Здесь в первой строчке таблицы указаны разные (можно сказать, взятые наобум) значения переменной \(\rho\), а во второй строчке приведены соответствующие значения переменной \(L\), рассчитанные по формуле \(L = \frac{12\,{\it г}}{\rho}.\) Затем пары значений \((\rho, L)\) из этой таблицы принимаются за координаты точек. Эти точки строятся на графике с подходящими осями и затем соединяются между собой плавной кривой линией:

 

Разумеется, ход кривой между точками удается угадать лишь приблизительно, но мы всё равно на практике всегда имеем дело не с абсолютно точными, а с приближенными числами. Чем бóльшую точность мы хотим получить, тем больше точек должно быть в нашей таблице и тем чаще друг к другу они должны быть расположены.

Часто бывает так, что нам дан график какой-либо функции, а само исходное выражение с независимой переменной, которое определяет эту функцию, остается неизвестным. Тогда говорят, что функция задана графически. В этом обычно нет большой проблемы, потому что работать с графиками нередко удобнее, чем с математическими формулами. Однако в некоторых случаях исходное выражение удается восстановить по виду графика, о чем, в частности, пойдет речь, в следующей главе.

Конспект

\(1\). Функция, заданная явно, или явная функция: выражение с одной или несколькими независимыми переменными. Среди этих переменных обязательно есть аргумент(ы), но могут присутствовать еще константы (параметры).

Аргумент: независимая переменная, значение которой меняется в ходе наших рассуждений.

Константа: независимая переменная, значение которой остается постоянным.

Зависимая переменная: равна указанному выражению (т.е. функции) при любых значениях аргумента и констант. Вместо «зависимая переменная равна функции...» часто говорят «зависимая переменная является функцией...»

\(2\). Функцию удобно задавать в виде уравнения, где зависимая переменная стоит отдельно в левой части. Однако любое эквивалентное уравнение, записанное в каком-либо другом виде, содержит полную информацию о той же самой функции (если указать, какая именно из переменных является зависимой). В таком случае говорят, что зависимая переменная является неявной функцией или что функция задана неявно.

\(3\). Пусть переменные \(x\) и \(y\) обозначают какие-либо физические величины, и \(y\) является функцией от \(x\). Пусть, далее, на плоскости начерчены две взаимно перпендикулярные шкалы (наподобие координатных осей), причем горизонтальная шкала соответствует величине \(x\), а вертикальная — величине \(y\).

График функции \(y\) от \(x\): линия на плоскости, составленная из точек с координатами \((x, y)\), удовлетворяющими тому же уравнению, которое задает указанную функцию.