<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

4.5. Теорема Фалеса. Разбиение отрезка на заданное число равных частей

Теорема Фалеса

Пусть две произвольные прямые x и y пересекаются тремя параллельными прямыми n₁, n₂ и n₃ в точках X₁, X₂, X₃ и Y₁, Y₂, Y₃, как показано на рисунке:

 

Пусть, далее, про точки X₁, X₂ и X₃, расположенные на прямой x, известно, что они следуют друг за другом через равные расстояния, так что |X₁X₂| = |X₂X₃|. Мы собираемся теперь доказать, что точки Y₁, Y₂ и Y₃, расположенные на прямой y, также следуют друг за другом через равные расстояния: |Y₁Y₂| = |Y₂Y₃|. Это утверждение известно как теорема Фалеса. (Под теоремами математики понимают важные утверждения, которые можно доказать на основании ранее установленных фактов. Некоторые из теорем называются именами выдающихся математиков — как в данном случае.)

Приступаем к доказательству. Для этого через точку Y₂ проведем прямую x₁, параллельную прямой x. У нас образовалось два параллелограмма с общей стороной X₂Y₂.

 

Обозначим точки пересечения прямой x₁ с прямыми n₁ и n₃ как N₁ и N₃, соответственно. Теперь мы можем обозначить параллелограммы по их вершинам как X₁X₂Y₂N₁ и X₂X₃N₃Y₂. Поскольку у параллелограммов противоположные стороны равны между собой, то

|X₁X₂| = |N₁Y₂|,

|X₂X₃| = |Y₂N₃|    

и потому

|N₁Y₂| = |Y₂N₃|.

Таким образом, точка Y₂ является серединой отрезка N₁N₃, а значит,

параллельные прямые n₁ и n₃ симметричны относительно точки Y₂.

Прямая y также симметрична относительно точки Y₂, поскольку она проходит через эту точку.

Следовательно, Y₁ и Y₃ — точки пересечения прямых n₁ и n₃ со стороной y — симметричны относительно Y₂.

Отсюда заключаем, что |Y₁Y₂| = |Y₂Y₃|. Что и требовалось доказать.

Разбиение отрезка на заданное число равных частей

Допустим нам требуется разбить некоторый отрезок OX на три равные части. Теорема Фалеса дает нам возможность сделать это легко и изящно.

 

Проведем от точки O произвольный луч, который образует с отрезком OX любой угол, кроме нуля и 180° (на практике, однако, удобно брать угол в пределах приблизительно от 30° до 90°).

Отметим на этом луче три точки Y₁ Y₂ и Y₃ с одинаковым шагом, начиная от точки O, так чтобы выполнялось соотношение
      |OY₁| = |Y₁Y₂| = |Y₂Y₃|.
(Длина шага принципиальной роли не играет и выбирается из соображения удобства. Например, мы можем приставить к лучу линейку и сделать на нем три засечки через каждый сантиметр. Другая возможность заключается в том, чтобы делать шаги циркулем с фиксированным расстоянием между концами.)

 

Через точку Y₃ и второй конец исходного отрезка — точку X — проведем прямую m.

Через остальные точки, отмеченные на луче, проведем прямые, параллельные прямой m. Согласно теореме Фалеса, эти прямые, пересекая отрезок OX, разобьют его на три равные части.

Подобным же образом, произвольный отрезок можно разбить на любое другое число равных частей.

Еще один способ построения параллельных прямых

Пусть дан угол X₁OY₁ (не равный нулю и не равный 180°) с вершиной в точке O и со сторонами, проходящими через некоторые точки X₁ и Y₁.

 

На стороне OX₁ отметим точки X₂ и X₃, следующие с равным шагом за точкой X₁:

|OX₁| = |X₁X₂| = |X₂X₃|.

На стороне OY₁ отметим точки Y₂ и Y₃, следующие с равным шагом за точкой Y₁:

|OY₁| = |Y₁Y₂| = |Y₂Y₃|.

Построим теперь прямые X₁Y₁, X₂Y₂ и X₃Y₃ и докажем, что они параллельны друг другу.

 

Действительно, через точку Y₂ проведем прямую m₂, параллельную прямой X₁Y₁. По теореме Фалеса, она пересекает сторону OX₁ в точке X₂, то есть она совпадает с прямой X₂Y₂. Следовательно, прямая X₂Y₂ параллельна прямой X₁Y₁. Точно таким же образом доказывается, что прямая X₃Y₃ параллельна прямой X₂Y₂.

Очевидно, что в этом геометрическом построении ряды точек можно продолжить, соблюдая выбранный шаг, так что:

|X₂X₃| = |X₃X₄| = |X₅X₆| и так далее,

|Y₂Y₃| = |Y₃Y₄| = |Y₅Y₆| и так далее.

Рассуждая, как раньше, можно доказать, что все прямые, проходящие через точки X и Y с одинаковыми индексами, параллельны между собой.

Конспект

Теорема Фалеса: Если три параллельные прямые отсекают на некоторой четвертой прямой два равных по длине отрезка, то при пересечении с какой-либо пятой прямой они также отсекут два отрезка равной длины.

Разбиение отрезка OX на n равных частей:

Строим произвольный луч с началом в точке O.

Вдоль луча от точки O делаем n шагов равной длины, делая засечку на каждом шагу.

Последнюю засечку соединяем прямой m с точкой X.

Через остальные засечки проводим прямые, параллельные m. Эти прямые делят отрезок OX на n равных частей.

Построение параллельных прямых: Пусть по двум сторонам угла, начиная от вершины, прошлись равномерным шагом два разных существа, оставляя точечные следы. Тогда все прямые, соединяющие следы с одинаковым порядковым номером, параллельны между собой.

Задачи

4.5.1. Дана геометрическая конструкция:

 

Известно, что |X₁X₂| = |X₂X₃| и |Y₁Y₂| = |Y₂Y₃|. Можно ли утверждать, что прямые n₁, n₂ и n₃ параллельны между собой?

4.5.2. Рассмотрим ту же геометрическую конструкцию:

 

Известно, что |X₁X₂| = |X₂X₃| и |Y₁Y₂| = |Y₂Y₃|. Кроме того, дано, что прямые n₁ и n₂ параллельны. Можно ли утверждать, что прямая n₃ параллельна прямым n₁ и n₂?

4.5.3. Пусть дана конструкция:

 

Здесь прямые n₁, n₂ и n₃ параллельны друг другу, причем |X₁X₂| = |X₂X₃|. Верна ли в этом случае теорема Фалеса?

4.5.4. Рассмотрим конструкцию:

 

Известно, что прямые A₁B₁ и A₂B₂ параллельны, при этом |OA₁| = 1,5 см; |OA₂| = 3,0 см; |A₁B₁| = 1,0 см. Чему равна длина отрезка A₂B₂?

4.5.5. Дан единичный отрезок. С помощью циркуля и линейки без делений построить отрезки длиной (1) ²/₃ и (2) 1²/₅.

4.5.6. Дана прямая и не лежащая на ней точка. Как с помощью линейки с делениями провести через эту точку прямую, параллельную данной?