Образовательный проект Леонида Некина

Учить АНГЛИЙСКИЙ, НЕМЕЦКИЙ по «Эхо»-технологии на тренажере «Бизон»:

попробуйте один раз — и по-другому Вы уже не захотите.

Поддержка бесплатно на все сто — нажать сюда!

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

4.5. Теорема Фалеса. Разбиение отрезка на заданное число равных частей

Теорема Фалеса

Пусть две произвольные прямые x и y пересекаются тремя параллельными прямыми n1, n2 и n3 в точках X1, X2, X3 и Y1, Y2, Y3, как показано на рисунке:

 

Пусть, далее, про точки X1, X2 и X3, расположенные на прямой x, известно, что они следуют друг за другом через равные расстояния, так что |X1X2| = |X2X3|. Мы собираемся теперь доказать, что точки Y1, Y2 и Y3, расположенные на прямой y, также следуют друг за другом через равные расстояния: |Y1Y2| = |Y2Y3|. Это утверждение известно как теорема Фалеса. (Под теоремами математики понимают важные утверждения, которые можно доказать на основании ранее установленных фактов. Некоторые из теорем называются именами выдающихся математиков — как в данном случае.)

Приступаем к доказательству. Для этого через точку Y2 проведем прямую x1, параллельную прямой x. У нас образовалось два параллелограмма с общей стороной X2Y2.

 

Обозначим точки пересечения прямой x1 с прямыми n1 и n3 как N1 и N3, соответственно. Теперь мы можем обозначить параллелограммы по их вершинам как X1X2Y2N1 и X2X3N3Y2. Поскольку у параллелограммов противоположные стороны равны между собой, то

|X1X2| = |N1Y2|,

|X2X3| = |Y2N3|    

и потому

|N1Y2| = |Y2N3|.

Таким образом, точка Y2 является серединой отрезка N1N3, а значит,

параллельные прямые n1 и n3 симметричны относительно точки Y2.

Прямая y также симметрична относительно точки Y2, поскольку она проходит через эту точку.

Следовательно, Y1 и Y3 — точки пересечения прямых n1 и n3 со стороной y — симметричны относительно Y2.

Отсюда заключаем, что |Y1Y2| = |Y2Y3|. Что и требовалось доказать.

Разбиение отрезка на заданное число равных частей

Допустим нам требуется разбить некоторый отрезок OX на три равные части. Теорема Фалеса дает нам возможность сделать это легко и изящно.

 

Проведем от точки O произвольный луч, который образует с отрезком OX любой угол, кроме нуля и 180° (на практике, однако, удобно брать угол в пределах приблизительно от 30° до 90°).

Отметим на этом луче три точки Y1 Y2 и Y3 с одинаковым шагом, начиная от точки O, так чтобы выполнялось соотношение
      |OY1| = |Y1Y2| = |Y2Y3|.
(Длина шага принципиальной роли не играет и выбирается из соображения удобства. Например, мы можем приставить к лучу линейку и сделать на нем три засечки через каждый сантиметр. Другая возможность заключается в том, чтобы делать шаги циркулем с фиксированным расстоянием между концами.)

 

Через точку Y3 и второй конец исходного отрезка — точку X — проведем прямую m.

Через остальные точки, отмеченные на луче, проведем прямые, параллельные прямой m. Согласно теореме Фалеса, эти прямые, пересекая отрезок OX, разобьют его на три равные части.

Подобным же образом, произвольный отрезок можно разбить на любое другое число равных частей.

Еще один способ построения параллельных прямых

Пусть дан угол X1OY1 (не равный нулю и не равный 180°) с вершиной в точке O и со сторонами, проходящими через некоторые точки X1 и Y1.

 

На стороне OX1 отметим точки X2 и X3, следующие с равным шагом за точкой X1:

|OX1| = |X1X2| = |X2X3|.

На стороне OY1 отметим точки Y2 и Y3, следующие с равным шагом за точкой Y1:

|OY1| = |Y1Y2| = |Y2Y3|.

Построим теперь прямые X1Y1, X2Y2 и X3Y3 и докажем, что они параллельны друг другу.

 

Действительно, через точку Y2 проведем прямую m2, параллельную прямой X1Y1. По теореме Фалеса, она пересекает сторону OX1 в точке X2, то есть она совпадает с прямой X2Y2. Следовательно, прямая X2Y2 параллельна прямой X1Y1. Точно таким же образом доказывается, что прямая X3Y3 параллельна прямой X2Y2.

Очевидно, что в этом геометрическом построении ряды точек можно продолжить, соблюдая выбранный шаг, так что:

|X2X3| = |X3X4| = |X5X6| и так далее,

|Y2Y3| = |Y3Y4| = |Y5Y6| и так далее.

Рассуждая, как раньше, можно доказать, что все прямые, проходящие через точки X и Y с одинаковыми индексами, параллельны между собой.

Конспект

Теорема Фалеса: Если три параллельные прямые отсекают на некоторой четвертой прямой два равных по длине отрезка, то при пересечении с какой-либо пятой прямой они также отсекут два отрезка равной длины.

Разбиение отрезка OX на n равных частей:

Строим произвольный луч с началом в точке O.

Вдоль луча от точки O делаем n шагов равной длины, делая засечку на каждом шагу.

Последнюю засечку соединяем прямой m с точкой X.

Через остальные засечки проводим прямые, параллельные m. Эти прямые делят отрезок OX на n равных частей.

Построение параллельных прямых: Пусть по двум сторонам угла, начиная от вершины, прошлись равномерным шагом два разных существа, оставляя точечные следы. Тогда все прямые, соединяющие следы с одинаковым порядковым номером, параллельны между собой.

Задачи

4.5.1. Дана геометрическая конструкция:

 

Известно, что |X1X2| = |X2X3| и |Y1Y2| = |Y2Y3|. Можно ли утверждать, что прямые n1, n2 и n3 параллельны между собой?

4.5.2. Рассмотрим ту же геометрическую конструкцию:

 

Известно, что |X1X2| = |X2X3| и |Y1Y2| = |Y2Y3|. Кроме того, дано, что прямые n1 и n2 параллельны. Можно ли утверждать, что прямая n3 параллельна прямым n1 и n2?

4.5.3. Пусть дана конструкция:

 

Здесь прямые n1, n2 и n3 параллельны друг другу, причем |X1X2| = |X2X3|. Верна ли в этом случае теорема Фалеса?

4.5.4. Рассмотрим конструкцию:

 

Известно, что прямые A1B1 и A2B2 параллельны, при этом |OA1| = 1,5 см; |OA2| = 3,0 см; |A1B1| = 1,0 см. Чему равна длина отрезка A2B2?

4.5.5. Дан единичный отрезок. С помощью циркуля и линейки без делений построить отрезки длиной (1) 2/3 и (2) 12/5.

4.5.6. Дана прямая и не лежащая на ней точка. Как с помощью линейки с делениями провести через эту точку прямую, параллельную данной?